1.(答题模板)完成下面的证明过程:
如图,已知$AB⊥BC,DC⊥BC,∠1=∠2$.
求证:$BE// CF$.
证明:$\because AB⊥BC,DC⊥BC$,(已知)
$\therefore ∠ABC=∠BCD=90^{\circ }.$()
$\because ∠2=∠1$,()
$\therefore ∠ABC-∠2=∠BCD-∠1$,()
即$∠EBC=∠FCB$,
$\therefore BE// CF.$()

1. 垂直的定义 已知 等式的性质
内错角相等,两直线平行

【分析】
这是一道几何证明补全推导依据的基础题，解题时逐步骤分析推导逻辑即可：首先由两条直线垂直得到夹角为90°，对应垂直的定义；其次∠1=∠2是题目直接给出的条件；接着两个相等的角分别减去相等的角，差仍然相等，符合等式的性质；最后得到的∠EBC和∠FCB是内错角，由内错角相等可推出两直线平行，对应平行线的判定定理。
【解析】
逐空对应推导逻辑填写依据：
1. 若两条直线互相垂直，则它们的夹角为90°，这是垂直的定义，因此第一空填垂直的定义；
2. ∠2=∠1是题目明确给出的已知条件，因此第二空填已知；
3. 相等的量减去相等的量，差仍相等，属于等式的性质，因此第三空填等式的性质；
4. ∠EBC和∠FCB是直线BE、CF被BC所截形成的内错角，内错角相等可判定两直线平行，因此第四空填内错角相等，两直线平行。
【答案】
垂直的定义；已知；等式的性质；内错角相等，两直线平行
【知识点】
垂直的定义；等式的性质；平行线的判定
【点评】
本题是几何证明的入门题型，核心考察基础几何定义、定理的应用，熟练掌握证明的基本逻辑和常用基础定理，即可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.85

2. 补全下面的证明过程，并填上推理的依据.
已知:如图,点 F 在线段AD 上,点 B,C,E 共线,∠B+∠BCD=180°,∠B=∠D.
求证:∠E=∠DFE.
证明:∵∠B+∠BCD=180°(已知),
∴AB//CD(),
∴∠B=(),
又∵∠B=∠D(已知),
∴∠DCE=(),
∴AD//BE(),
∴∠E=∠DFE().

2. 同旁内角互补,两直线平行
∠DCE 两直线平行,同位角相等
∠D 等量代换 内错角相等,两直线平行
两直线平行,内错角相等

【分析】
本题考查平行线的判定与性质的综合应用，解题时要明确：平行线的判定是由角的数量关系推导直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系推导角的数量关系。首先根据已知的同旁内角互补判定AB与CD平行，再利用平行线的性质得到∠B对应的同位角相等，结合已知∠B=∠D做等量代换，得到相等的内错角后判定AD与BE平行，最后利用平行线的性质即可得到待证的等角。
【解析】
证明:
∵∠B+∠BCD=180°(已知),
∴AB//CD(同旁内角互补,两直线平行),
∴∠B= ∠DCE (两直线平行,同位角相等),
又
∵∠B=∠D(已知),
∴∠DCE= ∠D (等量代换),
∴AD//BE(内错角相等,两直线平行),
∴∠E=∠DFE(两直线平行,内错角相等).
【答案】
同旁内角互补,两直线平行
∠DCE 两直线平行,同位角相等
∠D 等量代换 内错角相等,两直线平行
两直线平行,内错角相等
【知识点】
平行线的判定，平行线的性质，等量代换
【点评】
本题属于几何证明基础填空题，重点考查对平行线判定和性质的理解与区分，解题时需准确识别三线八角中的同位角、内错角、同旁内角，结合已知条件逐步推导即可完成解答。
【难度系数】
0.8

3.【开放性问题】如图，已知点A，B，C在一条直线上.
（1）请从三个论断：①$AD// BE$；②$∠ 1=∠ 2$；③$∠ A=∠ E$中选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题：
条件：.
结论：.
（2）证明你所构建的真命题.

3. (1)①$AD// BE$; ②$∠1=∠2$ ③$∠A=∠E$
(2)证明: $\because AD// BE$,
$\therefore ∠A=∠EBC. \because ∠1=∠2,\therefore DE// BC. \therefore ∠E=∠EBC. \therefore ∠A=∠E.$(答案不唯一)

【分析】
这是一道开放性几何题，核心考查平行线的判定和性质的应用。解题时首先明确：平行线的性质是“由平行得角相等/互补”，平行线的判定是“由角相等/互补得平行”。我们可任选两个论断作为条件，通过角与直线位置关系的推导得到第三个论断。以选①②作为条件、推导③为例：首先利用AD平行BE的性质得到∠A与∠EBC相等，再由∠1=∠2可判定DE平行于AC，进而得到∠E与∠EBC相等，最后通过等量代换即可证得∠A=∠E。
【解析】
（1）选择条件：①$AD// BE$，②$∠1=∠2$；结论：③$∠A=∠E$（答案不唯一）
（2）证明：
$\because AD// BE$，
$\therefore ∠A=∠EBC$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠1=∠2$，
$\therefore DE// BC$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore ∠E=∠EBC$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠A=∠E$（等量代换）。
【答案】
（1）条件：①$AD// BE$，②$∠1=∠2$；结论：③$∠A=∠E$（答案不唯一）
（2）证明过程如上述解析。
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；等量代换
【点评】
本题属于开放性命题，重点考查平行线判定与性质的综合运用，需要明确平行线的判定和性质的区别，能灵活完成角的数量关系与直线平行的位置关系之间的转化，命题合理、证明逻辑严谨即可。
【难度系数】
0.7

4.【新考法·续写证明过程】请完成证明命题“三个角都等于$60°$的三角形的任意两条角平分线所夹钝角等于$120°$”的具体过程.
(1)首先根据命题,画出符合题意的图形,并根据条件和结论,结合图形,得到“已知”和“求证”.
已知:如图,在$△ ABC$中,$∠ A=∠ ABC=∠ ACB=60°$,

;
求证:;
(2)将以下证明过程补充完整.
证明:$\because BD$平分$∠ ABC$,$CE$平分$∠ ACB$,

4. (1)BD平分$∠ABC$交AC于D,CE平分$∠ACB$交AB于点E,交BD于点F $∠BFC=120°$
(2)$\therefore ∠ABD =∠CBD = \frac{1}{2} ∠ABC, ∠ACE =∠BCE=\frac{1}{2} ∠ACB.$(角平分线的定义), $\because ∠A=∠ABC=∠ACB=60°$,(已知), $\therefore ∠CBD=∠BCE=30°$,$\therefore$ 在$△ BFC$中,$∠BFC=180°-∠FBC-∠BCF=120°$.(三角形内角和定理)

【分析】
本题为几何命题证明题，解题思路分为两部分：①补全已知和求证：紧扣命题中“任意两条角平分线”“所夹钝角等于120°”的描述，补充两条角平分线的交点、位置信息作为已知条件，将两条角平分线的夹角为120°作为求证内容；②补全证明过程：先根据角平分线的定义得到角的数量关系，结合已知三角形各角均为60°算出两个小角的度数，最后利用三角形内角和定理求出夹角的度数即可。
【解析】
(1) 已知条件需补充两条角平分线的相关描述：BD平分$∠ABC$交AC于D，CE平分$∠ACB$交AB于点E，BD与CE交于点F；
求证内容为两条角平分线所夹的钝角为$120°$，即$∠BFC=120°$。
(2) 证明：
$\because BD$平分$∠ABC$，$CE$平分$∠ACB$，
$\therefore ∠ABD =∠CBD = \frac{1}{2} ∠ABC, ∠ACE =∠BCE=\frac{1}{2} ∠ACB$（角平分线的定义），
$\because ∠A=∠ABC=∠ACB=60°$（已知），
$\therefore ∠CBD=\frac{1}{2}×60°=30°，∠BCE=\frac{1}{2}×60°=30°$，
在$△ BFC$中，根据三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠BFC=180°-∠FBC-∠BCF=180°-30°-30°=120°$（三角形内角和定理）。
【答案】
(1)BD平分$∠ABC$交AC于D，CE平分$∠ACB$交AB于点E，交BD于点F；$∠BFC=120°$
(2)$\therefore ∠ABD =∠CBD = \frac{1}{2} ∠ABC, ∠ACE =∠BCE=\frac{1}{2} ∠ACB.$(角平分线的定义), $\because ∠A=∠ABC=∠ACB=60°$,(已知), $\therefore ∠CBD=∠BCE=30°$,$\therefore$ 在$△ BFC$中,$∠BFC=180°-∠FBC-∠BCF=120°$.(三角形内角和定理)
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；命题证明
【点评】
本题侧重考查几何证明的规范书写，要求学生能准确结合命题提炼条件和结论，证明过程每一步都要有对应的依据，是几何证明入门的典型基础题。
【难度系数】
0.75