登录
4. 若$(m^2+1)x=0$,则$x=$
0
;若$(|a|+1)x=0$,则$x=$0
.答案
0 0
解析
【分析】
这道题是含参数的一元一次方程求解问题，解题思路分两步：首先回忆平方、绝对值的非负性，判断两个方程中未知数的系数是否恒不为0；若系数不为0，就可以根据等式的性质2，等式两边同时除以这个非零系数，直接求出x的值。
【解析】
1. 求解$(m^2+1)x=0$：
根据平方的非负性，任意实数的平方都满足$m^2≥0$，因此$m^2+1≥1＞0$，即$m^2+1$恒不为0。
根据等式的性质2：等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。将方程两边同时除以$m^2+1$，得$x=0$。
2. 求解$(|a|+1)x=0$：
根据绝对值的非负性，任意实数的绝对值都满足$|a|≥0$，因此$|a|+1≥1＞0$，即$|a|+1$恒不为0。
同理将方程两边同时除以$|a|+1$，得$x=0$。
【答案】0；0
【知识点】
等式的性质、平方的非负性、绝对值的非负性
【点评】
本题是基础性质的综合应用类题目，解题关键是结合非负数的性质判断方程系数恒为正数，再运用等式的性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
这道题是含参数的一元一次方程求解问题，解题思路分两步：首先回忆平方、绝对值的非负性，判断两个方程中未知数的系数是否恒不为0；若系数不为0，就可以根据等式的性质2，等式两边同时除以这个非零系数，直接求出x的值。
【解析】
1. 求解$(m^2+1)x=0$：
根据平方的非负性，任意实数的平方都满足$m^2≥0$，因此$m^2+1≥1＞0$，即$m^2+1$恒不为0。
根据等式的性质2：等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。将方程两边同时除以$m^2+1$，得$x=0$。
2. 求解$(|a|+1)x=0$：
根据绝对值的非负性，任意实数的绝对值都满足$|a|≥0$，因此$|a|+1≥1＞0$，即$|a|+1$恒不为0。
同理将方程两边同时除以$|a|+1$，得$x=0$。
【答案】0；0
【知识点】
等式的性质、平方的非负性、绝对值的非负性
【点评】
本题是基础性质的综合应用类题目，解题关键是结合非负数的性质判断方程系数恒为正数，再运用等式的性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
5. 若$3x - 4 = -1$与$ax - b + 1 = -c$的解相同，则$(a - b + c)^{2025} =$
-1
.答案
-1
解析
【分析】
本题属于同解方程的问题，解题思路如下：①先求解第一个一元一次方程，得到x的取值；②根据两个方程解相同的含义，将x的值代入第二个方程，通过移项整理得到代数式$a - b + c$的值；③最后根据乘方的运算规则计算最终结果即可。
【解析】
第一步：求解方程$3x - 4 = -1$
移项得：$3x = 4 - 1$
合并同类项得：$3x = 3$
系数化为1得：$x = 1$
第二步：利用同解条件代入第二个方程
因为两个方程的解相同，所以$x=1$也是方程$ax - b + 1 = -c$的解，将$x=1$代入得：
$a×1 - b + 1 = -c$
第三步：整理求$a - b + c$的值
移项得：$a - b + c = -1$
第四步：计算乘方结果
因为2025是奇数，负数的奇次幂为负数，所以$(a - b + c)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元一次方程的解；等式的性质；乘方的运算
【点评】
本题是同解方程的基础应用题型，核心是理解“解相同”的含义，通过代入得到目标代数式的值，计算时需要注意负数乘方的符号判断，属于需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
本题属于同解方程的问题，解题思路如下：①先求解第一个一元一次方程，得到x的取值；②根据两个方程解相同的含义，将x的值代入第二个方程，通过移项整理得到代数式$a - b + c$的值；③最后根据乘方的运算规则计算最终结果即可。
【解析】
第一步：求解方程$3x - 4 = -1$
移项得：$3x = 4 - 1$
合并同类项得：$3x = 3$
系数化为1得：$x = 1$
第二步：利用同解条件代入第二个方程
因为两个方程的解相同，所以$x=1$也是方程$ax - b + 1 = -c$的解，将$x=1$代入得：
$a×1 - b + 1 = -c$
第三步：整理求$a - b + c$的值
移项得：$a - b + c = -1$
第四步：计算乘方结果
因为2025是奇数，负数的奇次幂为负数，所以$(a - b + c)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元一次方程的解；等式的性质；乘方的运算
【点评】
本题是同解方程的基础应用题型，核心是理解“解相同”的含义，通过代入得到目标代数式的值，计算时需要注意负数乘方的符号判断，属于需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
6. 把方程$\frac{x}{0.2} - \frac{x}{0.3} = 1$变形为$\frac{10x}{2} - \frac{10x}{3} = 1$，其根据是
分数的性质
。答案
分数的性质
解析
【分析】
我们先观察方程的变形特征：左侧两个分数$\frac{x}{0.2}$、$\frac{x}{0.3}$分别变为$\frac{10x}{2}$、$\frac{10x}{3}$，但等号右侧的1没有发生变化。首先辨析变形的适用规则：如果是应用等式的性质，需要等式左右两边同时乘同一个非零数，此时右侧的1也会乘10变为10，和题目的变形不符，说明是对单个分数单独变形。单个分数的分子、分母同时乘同一个不为0的数时分数大小不变，这就是分数的性质，对应本题的变形依据。
【解析】
观察变形过程：
1. 对分数$\frac{x}{0.2}$，分子、分母同时乘10，可得$\frac{x×10}{0.2×10}=\frac{10x}{2}$，分数大小不变；
2. 对分数$\frac{x}{0.3}$，分子、分母同时乘10，可得$\frac{x×10}{0.3×10}=\frac{10x}{3}$，分数大小不变。
整个变形仅调整单个分数的分子、分母形式，分数值不变，且等号右侧的1未参与运算，符合分数的基本性质。
【答案】
分数的性质
【知识点】
1. 分数的基本性质
2. 一元一次方程变形
【点评】
本题属于易错题，核心考查分数基本性质和等式性质的区分，解题时要注意判断变形是针对单个分数的分子分母，还是针对等式整体的两边，避免混淆两类性质。
【难度系数】
0.7
我们先观察方程的变形特征：左侧两个分数$\frac{x}{0.2}$、$\frac{x}{0.3}$分别变为$\frac{10x}{2}$、$\frac{10x}{3}$，但等号右侧的1没有发生变化。首先辨析变形的适用规则：如果是应用等式的性质，需要等式左右两边同时乘同一个非零数，此时右侧的1也会乘10变为10，和题目的变形不符，说明是对单个分数单独变形。单个分数的分子、分母同时乘同一个不为0的数时分数大小不变，这就是分数的性质，对应本题的变形依据。
【解析】
观察变形过程：
1. 对分数$\frac{x}{0.2}$，分子、分母同时乘10，可得$\frac{x×10}{0.2×10}=\frac{10x}{2}$，分数大小不变；
2. 对分数$\frac{x}{0.3}$，分子、分母同时乘10，可得$\frac{x×10}{0.3×10}=\frac{10x}{3}$，分数大小不变。
整个变形仅调整单个分数的分子、分母形式，分数值不变，且等号右侧的1未参与运算，符合分数的基本性质。
【答案】
分数的性质
【知识点】
1. 分数的基本性质
2. 一元一次方程变形
【点评】
本题属于易错题，核心考查分数基本性质和等式性质的区分，解题时要注意判断变形是针对单个分数的分子分母，还是针对等式整体的两边，避免混淆两类性质。
【难度系数】
0.7
7. 请说明由$a=b$经过怎样的变形可以得到下面的式子？
(1) $1-a=1-b$；
(2) $\dfrac{3a+1}{5}=\dfrac{3b+1}{5}$。
(1) $1-a=1-b$；
(2) $\dfrac{3a+1}{5}=\dfrac{3b+1}{5}$。
答案
解：
(1) 第一步：根据等式的性质2，在等式$a=b$的两边同时乘$-1$，得到$-a=-b$；
第二步：根据等式的性质1，在等式$-a=-b$的两边同时加$1$，得到$1-a=1-b$。
(2) 第一步：根据等式的性质2，在等式$a=b$的两边同时乘$3$，得到$3a=3b$；
第二步：根据等式的性质1，在等式$3a=3b$的两边同时加$1$，得到$3a+1=3b+1$；
第三步：根据等式的性质2，在等式$3a+1=3b+1$的两边同时除以$5$，得到$\dfrac{3a+1}{5}=\dfrac{3b+1}{5}$。
(1) 第一步：根据等式的性质2，在等式$a=b$的两边同时乘$-1$，得到$-a=-b$；
第二步：根据等式的性质1，在等式$-a=-b$的两边同时加$1$，得到$1-a=1-b$。
(2) 第一步：根据等式的性质2，在等式$a=b$的两边同时乘$3$，得到$3a=3b$；
第二步：根据等式的性质1，在等式$3a=3b$的两边同时加$1$，得到$3a+1=3b+1$；
第三步：根据等式的性质2，在等式$3a+1=3b+1$的两边同时除以$5$，得到$\dfrac{3a+1}{5}=\dfrac{3b+1}{5}$。
解析
【分析】
本题考查等式的变形，解题核心依据是等式的两个基本性质。思考时先对比目标式子和原式$a=b$的差异，倒推需要执行的运算：(1)目标式左边为$1-a$，对比原式的$a$，需要先乘$-1$得到$-a$，再加1即可，每一步运算要保证等式两边同时进行；(2)目标式左边为$\dfrac{3a+1}{5}$，对比原式的$a$，需要先乘3得到$3a$，再加1得到$3a+1$，最后除以5即可，每一步变形都要符合等式性质的要求，保证等式始终成立。
【解析】
(1) 第一步：根据等式的性质2，在等式$a=b$的两边同时乘$-1$，得到$-a=-b$；
第二步：根据等式的性质1，在等式$-a=-b$的两边同时加$1$，得到$1-a=1-b$。
(2) 第一步：根据等式的性质2，在等式$a=b$的两边同时乘$3$，得到$3a=3b$；
第二步：根据等式的性质1，在等式$3a=3b$的两边同时加$1$，得到$3a+1=3b+1$；
第三步：根据等式的性质2，在等式$3a+1=3b+1$的两边同时除以$5$，得到$\dfrac{3a+1}{5}=\dfrac{3b+1}{5}$。
【答案】
(1) 先将$a=b$两边同时乘$-1$得$-a=-b$，再将两边同时加1得$1-a=1-b$；
(2) 先将$a=b$两边同时乘3得$3a=3b$，再将两边同时加1得$3a+1=3b+1$，最后将两边同时除以5得$\dfrac{3a+1}{5}=\dfrac{3b+1}{5}$。
【知识点】
等式的性质1，等式的性质2
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题关键是熟练掌握等式的两个性质，变形时需保证等式两边同时进行相同的运算，避免出现单边运算的错误，是后续学习解方程的重要基础。
【难度系数】
0.8
本题考查等式的变形，解题核心依据是等式的两个基本性质。思考时先对比目标式子和原式$a=b$的差异，倒推需要执行的运算：(1)目标式左边为$1-a$，对比原式的$a$，需要先乘$-1$得到$-a$，再加1即可，每一步运算要保证等式两边同时进行；(2)目标式左边为$\dfrac{3a+1}{5}$，对比原式的$a$，需要先乘3得到$3a$，再加1得到$3a+1$，最后除以5即可，每一步变形都要符合等式性质的要求，保证等式始终成立。
【解析】
(1) 第一步：根据等式的性质2，在等式$a=b$的两边同时乘$-1$，得到$-a=-b$；
第二步：根据等式的性质1，在等式$-a=-b$的两边同时加$1$，得到$1-a=1-b$。
(2) 第一步：根据等式的性质2，在等式$a=b$的两边同时乘$3$，得到$3a=3b$；
第二步：根据等式的性质1，在等式$3a=3b$的两边同时加$1$，得到$3a+1=3b+1$；
第三步：根据等式的性质2，在等式$3a+1=3b+1$的两边同时除以$5$，得到$\dfrac{3a+1}{5}=\dfrac{3b+1}{5}$。
【答案】
(1) 先将$a=b$两边同时乘$-1$得$-a=-b$，再将两边同时加1得$1-a=1-b$；
(2) 先将$a=b$两边同时乘3得$3a=3b$，再将两边同时加1得$3a+1=3b+1$，最后将两边同时除以5得$\dfrac{3a+1}{5}=\dfrac{3b+1}{5}$。
【知识点】
等式的性质1，等式的性质2
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题关键是熟练掌握等式的两个性质，变形时需保证等式两边同时进行相同的运算，避免出现单边运算的错误，是后续学习解方程的重要基础。
【难度系数】
0.8
8. 若等式$(x-2)m=x-2$成立且$m≠1$，求$2x^2-(3x^2-x^3-2)+1$的值.
答案
因为$(x-2)m=x-2$成立且$m≠1$,所以$x-2=0$,解得$x=2$.原式$=x^3-x^2+3$,当$x=2$时,原式$=7.$
解析
【分析】
解题分两步走：第一步先求x的值，从已知等式$(x-2)m=x-2$和$m≠1$的条件出发，根据等式的性质，若假设$x-2≠0$，那么等式两边同时除以$x-2$会得到$m=1$，和已知$m≠1$矛盾，因此只能$x-2=0$，解得$x=2$；第二步计算代数式的值，先对要求的代数式去括号、合并同类项化简，再代入$x=2$计算即可得到结果。
【解析】
1. 求x的值：
已知$(x-2)m=x-2$，若$x-2≠0$，根据等式的性质，等式两边同时除以不为0的$x-2$，可得$m=1$，与题目给出的$m≠1$矛盾，因此$x-2=0$，解得$x=2$。
2. 化简并代入求值：
对$2x^2-(3x^2-x^3-2)+1$去括号，括号前是负号，括号内各项都要变号：
$2x^2 - 3x^2 + x^3 + 2 + 1$
合并同类项得：
$x^3 - x^2 + 3$
将$x=2$代入化简后的式子：
原式$=2^3 - 2^2 + 3 = 8 - 4 + 3 = 7$
【答案】
7
【知识点】
等式的性质；整式的化简；代数式求值
【点评】
本题是等式性质与整式运算的综合题，解题的突破口是根据已知条件推出$x$的取值，化简代数式时要注意去括号的符号规则，代入计算时要按照运算顺序准确计算。
【难度系数】
0.7
解题分两步走：第一步先求x的值，从已知等式$(x-2)m=x-2$和$m≠1$的条件出发，根据等式的性质，若假设$x-2≠0$，那么等式两边同时除以$x-2$会得到$m=1$，和已知$m≠1$矛盾，因此只能$x-2=0$，解得$x=2$；第二步计算代数式的值，先对要求的代数式去括号、合并同类项化简，再代入$x=2$计算即可得到结果。
【解析】
1. 求x的值：
已知$(x-2)m=x-2$，若$x-2≠0$，根据等式的性质，等式两边同时除以不为0的$x-2$，可得$m=1$，与题目给出的$m≠1$矛盾，因此$x-2=0$，解得$x=2$。
2. 化简并代入求值：
对$2x^2-(3x^2-x^3-2)+1$去括号，括号前是负号，括号内各项都要变号：
$2x^2 - 3x^2 + x^3 + 2 + 1$
合并同类项得：
$x^3 - x^2 + 3$
将$x=2$代入化简后的式子：
原式$=2^3 - 2^2 + 3 = 8 - 4 + 3 = 7$
【答案】
7
【知识点】
等式的性质；整式的化简；代数式求值
【点评】
本题是等式性质与整式运算的综合题，解题的突破口是根据已知条件推出$x$的取值，化简代数式时要注意去括号的符号规则，代入计算时要按照运算顺序准确计算。
【难度系数】
0.7
9. 已知方程$(a-6)x^{|a|-5} -7=8$是一元一次方程，求$a$的值和这个一元一次方程，并利用等式的性质解这个方程。
答案
$a=-6,x=-\dfrac{5}{4}.$
解析
【分析】
解题需先明确一元一次方程的核心判定条件：只含1个未知数、未知数的最高次数为1、含未知数项的系数不为0。首先根据次数为1列方程求a的可能取值，再结合系数不为0排除不符合的取值，得到正确的a后代入原方程，最后利用等式的两条性质逐步解方程即可。
【解析】
1. 根据一元一次方程的定义列条件：
① 未知数x的次数为1：$\left|a\right|-5=1$
② 一次项系数不为0：$a-6≠ 0$
2. 求解a的值：
解$\left|a\right|-5=1$，得$\left|a\right|=6$，即$a=6$或$a=-6$
结合$a-6≠ 0$可知$a≠ 6$，因此$a=-6$
3. 代入a得到原方程并求解：
将$a=-6$代入原方程，得：$(-6-6)x -7=8$，化简为$-12x -7=8$
用等式的性质解方程：
第一步，等式两边同时加7：$-12x -7 +7=8 +7$，得$-12x=15$
第二步，等式两边同时除以$-12$：$-12x÷ (-12)=15÷ (-12)$，化简得$x=-\dfrac{5}{4}$
【答案】
$a=-6,x=-\dfrac{5}{4}$
【知识点】
一元一次方程的定义,等式的性质,绝对值运算
【点评】
本题重点考查一元一次方程定义的应用，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，错将a=6计入结果，解方程时要严格按照等式的性质规范运算，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
解题需先明确一元一次方程的核心判定条件：只含1个未知数、未知数的最高次数为1、含未知数项的系数不为0。首先根据次数为1列方程求a的可能取值，再结合系数不为0排除不符合的取值，得到正确的a后代入原方程，最后利用等式的两条性质逐步解方程即可。
【解析】
1. 根据一元一次方程的定义列条件：
① 未知数x的次数为1：$\left|a\right|-5=1$
② 一次项系数不为0：$a-6≠ 0$
2. 求解a的值：
解$\left|a\right|-5=1$，得$\left|a\right|=6$，即$a=6$或$a=-6$
结合$a-6≠ 0$可知$a≠ 6$，因此$a=-6$
3. 代入a得到原方程并求解：
将$a=-6$代入原方程，得：$(-6-6)x -7=8$，化简为$-12x -7=8$
用等式的性质解方程：
第一步，等式两边同时加7：$-12x -7 +7=8 +7$，得$-12x=15$
第二步，等式两边同时除以$-12$：$-12x÷ (-12)=15÷ (-12)$，化简得$x=-\dfrac{5}{4}$
【答案】
$a=-6,x=-\dfrac{5}{4}$
【知识点】
一元一次方程的定义,等式的性质,绝对值运算
【点评】
本题重点考查一元一次方程定义的应用，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，错将a=6计入结果，解方程时要严格按照等式的性质规范运算，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
10. 服装厂用 355 m 布做成人服装和儿童服装，成人服装平均每套用布 3.5 m，儿童服装平均每套用布 1.5 m. 现已做了 80 套成人服装，用余下的布还可以做几套儿童服装(列方程并用等式的性质解方程)？
答案
设用余下的布还可以做$x$套儿童服装.由题意,得$3.5×80+1.5x=355$,解得$x=50.$
解析
【分析】
解题时首先要抓住题目中的不变量：总布长为355m，等量关系为“成人服装总用布量+儿童服装总用布量=总布长”。第一步设余下的布可做x套儿童服装；第二步分别表示出成人、儿童服装的用布总量，结合等量关系列出方程；第三步严格按照等式的性质逐步解方程，最后验证结果符合实际即可。
【解析】
解：设用余下的布还可以做$x$套儿童服装。
由题意得：$3.5×80 + 1.5x = 355$
先计算乘法化简得：$280 + 1.5x = 355$
根据等式的性质1，两边同时减280：
$280 + 1.5x - 280 = 355 - 280$
化简得：$1.5x = 75$
根据等式的性质2，两边同时除以1.5：
$1.5x÷1.5 = 75÷1.5$
解得：$x=50$
经检验，$x=50$符合实际题意。
【答案】
用余下的布还可以做50套儿童服装。
【知识点】
一元一次方程应用、等式的性质、解方程
【点评】
本题是基础的方程实际应用题，解题关键是找准总布长不变的等量关系，同时要求熟练运用等式的性质规范解方程，能有效考查学生的方程应用能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先要抓住题目中的不变量：总布长为355m，等量关系为“成人服装总用布量+儿童服装总用布量=总布长”。第一步设余下的布可做x套儿童服装；第二步分别表示出成人、儿童服装的用布总量，结合等量关系列出方程；第三步严格按照等式的性质逐步解方程，最后验证结果符合实际即可。
【解析】
解：设用余下的布还可以做$x$套儿童服装。
由题意得：$3.5×80 + 1.5x = 355$
先计算乘法化简得：$280 + 1.5x = 355$
根据等式的性质1，两边同时减280：
$280 + 1.5x - 280 = 355 - 280$
化简得：$1.5x = 75$
根据等式的性质2，两边同时除以1.5：
$1.5x÷1.5 = 75÷1.5$
解得：$x=50$
经检验，$x=50$符合实际题意。
【答案】
用余下的布还可以做50套儿童服装。
【知识点】
一元一次方程应用、等式的性质、解方程
【点评】
本题是基础的方程实际应用题，解题关键是找准总布长不变的等量关系，同时要求熟练运用等式的性质规范解方程，能有效考查学生的方程应用能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
