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1. 乘方的意义
求$n$个的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作。在$a^n$中，$a$叫作，$n$叫作，读作“”或“”。
2. 乘方的性质
正数的任何正整数次幂都是数，负数的奇次幂是数，负数的偶次幂是数，0的任何正整数次幂都是。即当$n$为奇数时，$(-a)^n = -a^n$；当$n$为偶数时，$(-a)^n = a^n$。
求$n$个的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作。在$a^n$中，$a$叫作，$n$叫作，读作“”或“”。
2. 乘方的性质
正数的任何正整数次幂都是数，负数的奇次幂是数，负数的偶次幂是数，0的任何正整数次幂都是。即当$n$为奇数时，$(-a)^n = -a^n$；当$n$为偶数时，$(-a)^n = a^n$。
答案
解：
1. 相同因数；幂；底数；指数；$a$的$n$次方；$a$的$n$次幂
2. 正；负；正；$0$
1. 相同因数；幂；底数；指数；$a$的$n$次方；$a$的$n$次幂
2. 正；负；正；$0$
解析
【分析】
这道题考查有理数乘方的基础概念与性质，属于识记类题目。解题时只需回忆教材中乘方相关的基础定义和性质，依次对应空缺内容填写即可。第一问围绕乘方的定义、各部分名称展开，第二问围绕不同正负性底数的乘方结果的符号规律展开，都是基础知识点的直接考查，不需要复杂推导。
【解析】
1. 根据乘方的意义：求$n$个相同因数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂。在$a^n$中，$a$叫作底数，$n$叫作指数，读作“$a$的$n$次方”或“$a$的$n$次幂”。
2. 根据乘方的性质：正数的任何正整数次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何正整数次幂都是$0$。
【答案】
1. 相同因数；幂；底数；指数；$a$的$n$次方；$a$的$n$次幂
2. 正；负；正；$0$
【知识点】
乘方的意义，乘方的性质
【点评】
本题是乘方模块的基础题目，侧重对基础概念、性质的识记考查，掌握好这些内容是学习后续有理数混合运算的前提，需牢固记忆。
【难度系数】
0.9
这道题考查有理数乘方的基础概念与性质，属于识记类题目。解题时只需回忆教材中乘方相关的基础定义和性质，依次对应空缺内容填写即可。第一问围绕乘方的定义、各部分名称展开，第二问围绕不同正负性底数的乘方结果的符号规律展开，都是基础知识点的直接考查，不需要复杂推导。
【解析】
1. 根据乘方的意义：求$n$个相同因数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂。在$a^n$中，$a$叫作底数，$n$叫作指数，读作“$a$的$n$次方”或“$a$的$n$次幂”。
2. 根据乘方的性质：正数的任何正整数次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何正整数次幂都是$0$。
【答案】
1. 相同因数；幂；底数；指数；$a$的$n$次方；$a$的$n$次幂
2. 正；负；正；$0$
【知识点】
乘方的意义，乘方的性质
【点评】
本题是乘方模块的基础题目，侧重对基础概念、性质的识记考查，掌握好这些内容是学习后续有理数混合运算的前提，需牢固记忆。
【难度系数】
0.9
【例1】下列说法中，正确的是().
A.$-2^8$的底数是$-2$
B.$2^5$表示5个2相加
C.$(-3)^3$与$-3^3$的意义相同
D.$2^8$的底数是2
A.$-2^8$的底数是$-2$
B.$2^5$表示5个2相加
C.$(-3)^3$与$-3^3$的意义相同
D.$2^8$的底数是2
答案
D
解析
【分析】
本题考查有理数乘方的基础概念，解题核心是紧扣乘方的定义逐项判断：首先回忆乘方的定义：求n个相同因数乘积的运算叫做乘方，记作$a^n$，其中$a$是底数，$n$是指数，表示n个$a$相乘。解题时逐个分析每个选项，结合定义判断说法是否正确，尤其要注意底数带括号和不带括号的区别。
【解析】
首先明确乘方的相关概念：形如$a^n$的乘方中，$a$为底数，$n$为指数，$a^n$表示$n$个$a$相乘。
选项A：$-2^8$的负号不属于底数部分，底数是2，不是$-2$，故A错误；
选项B：$2^5$表示5个2相乘，5个2相加应为$2×5$，故B错误；
选项C：$(-3)^3$表示3个$-3$相乘，底数是$-3$；$-3^3$表示3个3相乘的相反数，底数是3，二者意义不同，故C错误；
选项D：$2^8$符合乘方的标准形式，底数是2，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
乘方的定义；底数的判断；乘方的意义
【点评】
本题是乘方的基础概念考查题，易错点在于区分底数带括号和不带括号的差异，只有准确理解乘方各部分的含义，才能快速判断此类题目。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数乘方的基础概念，解题核心是紧扣乘方的定义逐项判断：首先回忆乘方的定义：求n个相同因数乘积的运算叫做乘方，记作$a^n$，其中$a$是底数，$n$是指数，表示n个$a$相乘。解题时逐个分析每个选项，结合定义判断说法是否正确，尤其要注意底数带括号和不带括号的区别。
【解析】
首先明确乘方的相关概念：形如$a^n$的乘方中，$a$为底数，$n$为指数，$a^n$表示$n$个$a$相乘。
选项A：$-2^8$的负号不属于底数部分，底数是2，不是$-2$，故A错误；
选项B：$2^5$表示5个2相乘，5个2相加应为$2×5$，故B错误；
选项C：$(-3)^3$表示3个$-3$相乘，底数是$-3$；$-3^3$表示3个3相乘的相反数，底数是3，二者意义不同，故C错误；
选项D：$2^8$符合乘方的标准形式，底数是2，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
乘方的定义；底数的判断；乘方的意义
【点评】
本题是乘方的基础概念考查题，易错点在于区分底数带括号和不带括号的差异，只有准确理解乘方各部分的含义，才能快速判断此类题目。
【难度系数】
0.8
【变式1】$(-5)^3$的意义是 ______，$-5^3$的意义是 ______。
答案
解：3个$-5$相乘，5的3次方的相反数。
解析
【分析】
解题首先要明确乘方的定义：$a^n$（n为正整数）表示n个a相乘，其中a是底数，n是指数。解决本题的核心是区分两个式子的底数：①$(-5)^3$的底数是括号内的$-5$，指数是3，结合乘方定义就能确定它的意义；②$-5^3$没有括号，根据有理数运算顺序，乘方运算优先级高于相反数的运算，所以要先计算$5^3$，再取相反数，由此就能确定它的意义。
【解析】
根据乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，$a^n$表示n个a相乘。
1. 对于$(-5)^3$，底数为$-5$，指数为3，因此它的意义是3个$-5$相乘；
2. 对于$-5^3$，运算顺序为先算乘方$5^3$，再求所得结果的相反数，因此它的意义是5的3次方的相反数。
【答案】
3个$-5$相乘，5的3次方的相反数
【知识点】
乘方的意义，有理数运算顺序
【点评】
本题是乘方部分的基础易错题，核心考查对乘方底数的判断，解题时要注意有无括号时底数的差异，牢记运算优先级规则就能避免出错。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确乘方的定义：$a^n$（n为正整数）表示n个a相乘，其中a是底数，n是指数。解决本题的核心是区分两个式子的底数：①$(-5)^3$的底数是括号内的$-5$，指数是3，结合乘方定义就能确定它的意义；②$-5^3$没有括号，根据有理数运算顺序，乘方运算优先级高于相反数的运算，所以要先计算$5^3$，再取相反数，由此就能确定它的意义。
【解析】
根据乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，$a^n$表示n个a相乘。
1. 对于$(-5)^3$，底数为$-5$，指数为3，因此它的意义是3个$-5$相乘；
2. 对于$-5^3$，运算顺序为先算乘方$5^3$，再求所得结果的相反数，因此它的意义是5的3次方的相反数。
【答案】
3个$-5$相乘，5的3次方的相反数
【知识点】
乘方的意义，有理数运算顺序
【点评】
本题是乘方部分的基础易错题，核心考查对乘方底数的判断，解题时要注意有无括号时底数的差异，牢记运算优先级规则就能避免出错。
【难度系数】
0.7
【例2】计算：
(1)$6^3$；
(2)$-(-2)^3$。
(1)$6^3$；
(2)$-(-2)^3$。
答案
解：
(1) $6^3 = 6×6×6 = 216$
(2) $-(-2)^3 = -[(-2)×(-2)×(-2)] = -(-8) = 8$
(1) $6^3 = 6×6×6 = 216$
(2) $-(-2)^3 = -[(-2)×(-2)×(-2)] = -(-8) = 8$
解析
【分析】
解题时首先明确乘方的定义：$a^n$表示n个a相乘，计算时先将乘方运算转化为乘法运算再求解。遇到带多重符号的乘方问题时，要遵循运算顺序：先计算乘方部分，再处理乘方外的符号，同时牢记负数的奇次幂为负、偶次幂为正的规律，避免符号出错。
【解析】
(1) 根据乘方的定义，$6^3$表示3个6相乘，计算得：
$6^3 = 6×6×6 = 216$
(2) 先计算$(-2)^3$，再处理外层的负号：
$-(-2)^3 = -[(-2)×(-2)×(-2)] = -(-8) = 8$
【答案】
(1) $\boxed{216}$；(2) $\boxed{8}$
【知识点】
1. 乘方的定义 2. 有理数乘法运算 3. 乘方符号法则
【点评】
本题属于乘方运算的基础题型，核心是掌握乘方的意义，解题时需重点关注带负号的乘方运算的符号判断，明确运算顺序，避免因符号混淆出现错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确乘方的定义：$a^n$表示n个a相乘，计算时先将乘方运算转化为乘法运算再求解。遇到带多重符号的乘方问题时，要遵循运算顺序：先计算乘方部分，再处理乘方外的符号，同时牢记负数的奇次幂为负、偶次幂为正的规律，避免符号出错。
【解析】
(1) 根据乘方的定义，$6^3$表示3个6相乘，计算得：
$6^3 = 6×6×6 = 216$
(2) 先计算$(-2)^3$，再处理外层的负号：
$-(-2)^3 = -[(-2)×(-2)×(-2)] = -(-8) = 8$
【答案】
(1) $\boxed{216}$；(2) $\boxed{8}$
【知识点】
1. 乘方的定义 2. 有理数乘法运算 3. 乘方符号法则
【点评】
本题属于乘方运算的基础题型，核心是掌握乘方的意义，解题时需重点关注带负号的乘方运算的符号判断，明确运算顺序，避免因符号混淆出现错误。
【难度系数】
0.8
【变式2】下列各式中，计算正确的是（）.
A.$(-\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{4}{3}$
B.$2^3 = 6$
C.$-3^2 = 9$
D.$-2^3 = -8$
A.$(-\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{4}{3}$
B.$2^3 = 6$
C.$-3^2 = 9$
D.$-2^3 = -8$
答案
D
解析
【分析】
本题考查有理数乘方的计算，解题时首先要明确乘方的定义：$a^n$表示$n$个$a$相乘，同时要注意区分负号是否在括号内，判断清楚底数后逐个计算各选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一计算验证：
A选项：$(-\dfrac{2}{3})^2 = (-\dfrac{2}{3}) × (-\dfrac{2}{3}) = \dfrac{4}{9} ≠ \dfrac{4}{3}$，故A错误；
B选项：$2^3 = 2 × 2 × 2 = 8 ≠ 6$，故B错误；
C选项：$-3^2$的底数为3，先算乘方再加负号，即$-3^2 = -(3 × 3) = -9 ≠ 9$，故C错误；
D选项：$-2^3$的底数为2，先算乘方再加负号，即$-2^3 = -(2 × 2 × 2) = -8$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算、乘方符号判断
【点评】
本题是乘方运算的基础常考题，核心考查对乘方定义的理解和运算时符号的正确处理，做题时需注意区分负号是否属于底数（即负号是否在括号内），这是此类题最容易出错的点。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数乘方的计算，解题时首先要明确乘方的定义：$a^n$表示$n$个$a$相乘，同时要注意区分负号是否在括号内，判断清楚底数后逐个计算各选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一计算验证：
A选项：$(-\dfrac{2}{3})^2 = (-\dfrac{2}{3}) × (-\dfrac{2}{3}) = \dfrac{4}{9} ≠ \dfrac{4}{3}$，故A错误；
B选项：$2^3 = 2 × 2 × 2 = 8 ≠ 6$，故B错误；
C选项：$-3^2$的底数为3，先算乘方再加负号，即$-3^2 = -(3 × 3) = -9 ≠ 9$，故C错误；
D选项：$-2^3$的底数为2，先算乘方再加负号，即$-2^3 = -(2 × 2 × 2) = -8$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算、乘方符号判断
【点评】
本题是乘方运算的基础常考题，核心考查对乘方定义的理解和运算时符号的正确处理，做题时需注意区分负号是否属于底数（即负号是否在括号内），这是此类题最容易出错的点。
【难度系数】
0.7
【例3】有一种纸的厚度为0.1 mm，若拿两张重叠在一起，将它对折一次后，厚度为$2^2 × 0.1$ mm.
(1)对折2次后，厚度为多少毫米？
(2)对折6次后，厚度为多少毫米？
(1)对折2次后，厚度为多少毫米？
(2)对折6次后，厚度为多少毫米？
答案
解：
(1) 对折2次后，厚度为：
$2^3 × 0.1 = 8 × 0.1 = 0.8 \ (\mathrm{mm})$
(2) 对折6次后，厚度为：
$2^7 × 0.1 = 128 × 0.1 = 12.8 \ (\mathrm{mm})$
答：(1) 对折2次后，厚度为0.8毫米；(2) 对折6次后，厚度为12.8毫米。
(1) 对折2次后，厚度为：
$2^3 × 0.1 = 8 × 0.1 = 0.8 \ (\mathrm{mm})$
(2) 对折6次后，厚度为：
$2^7 × 0.1 = 128 × 0.1 = 12.8 \ (\mathrm{mm})$
答：(1) 对折2次后，厚度为0.8毫米；(2) 对折6次后，厚度为12.8毫米。
解析
【分析】
首先根据题目给出的已知条件找规律：初始是2张纸重叠，每对折1次，纸张厚度就变为原来的2倍。已知对折1次后厚度为$2^2×0.1$mm，可推出对折$n$次后，厚度为$2^{n+1}×0.1$mm。解题时只需把对应的对折次数代入规律式，再按照乘方的运算规则计算即可。
【解析】
(1) 对折2次后，厚度为：
$2^3 × 0.1 = 8 × 0.1 = 0.8 \ (\mathrm{mm})$
(2) 对折6次后，厚度为：
$2^7 × 0.1 = 128 × 0.1 = 12.8 \ (\mathrm{mm})$
答：(1) 对折2次后，厚度为0.8毫米；(2) 对折6次后，厚度为12.8毫米。
【答案】
(1) 0.8毫米；(2) 12.8毫米
【知识点】
1. 有理数的乘方运算
2. 乘方的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考察乘方的相关应用，解题核心是抓住“每对折一次厚度翻倍”的特点，结合已知示例推导出厚度与对折次数的关系，熟练掌握乘方运算即可正确求解。
【难度系数】
0.8
首先根据题目给出的已知条件找规律：初始是2张纸重叠，每对折1次，纸张厚度就变为原来的2倍。已知对折1次后厚度为$2^2×0.1$mm，可推出对折$n$次后，厚度为$2^{n+1}×0.1$mm。解题时只需把对应的对折次数代入规律式，再按照乘方的运算规则计算即可。
【解析】
(1) 对折2次后，厚度为：
$2^3 × 0.1 = 8 × 0.1 = 0.8 \ (\mathrm{mm})$
(2) 对折6次后，厚度为：
$2^7 × 0.1 = 128 × 0.1 = 12.8 \ (\mathrm{mm})$
答：(1) 对折2次后，厚度为0.8毫米；(2) 对折6次后，厚度为12.8毫米。
【答案】
(1) 0.8毫米；(2) 12.8毫米
【知识点】
1. 有理数的乘方运算
2. 乘方的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考察乘方的相关应用，解题核心是抓住“每对折一次厚度翻倍”的特点，结合已知示例推导出厚度与对折次数的关系，熟练掌握乘方运算即可正确求解。
【难度系数】
0.8
