1. 在做图钉针尖触地的试验中,正确的是 ()

A.甲做了4 000次试验,得出针尖触地的频率稳定在46%,他断定在做第4 001次试验时,针尖不会触地
B.乙认为一次一次做试验速度太慢,他拿来许多一样的图钉随意朝上抛出,统计针尖触地的个数,这样大大提高了试验速度
C.老师安排同学们回家做试验,图钉自由选取
D.老师安排同学们回家做试验,图钉统一发放(完全一样),老师挑选他满意的结果统计

选项A,在做第4 001次试验时,针尖可能触地,也可能不触地;选项B符合大量、重复的试验条件;选项C,应选择一样的图钉,且在相同的条件下做试验;选项D,所有的试验结果都可能发生,也可能不发生,不应该只选满意的结果统计.

【分析】
这道题考查随机试验及用频率估计概率的相关要求，解题时首先要明确三个核心原则：一是随机事件每次发生的结果是不确定的，频率稳定值仅反映事件发生概率的大小，不能断定某一次试验的结果；二是模拟试验必须保证所有试验的条件完全相同，保证试验样本的一致性；三是试验结果要客观统计，不能刻意筛选。我们结合这三个原则逐一判断每个选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：针尖触地的频率稳定在46%，仅说明该事件发生的概率约为46%，每次试验的结果是随机的，第4001次试验针尖可能触地，也可能不触地，不能断定不会触地，因此A错误。
选项B：使用多个完全相同的图钉同时抛出，和逐个抛图钉的试验条件完全一致，属于相同条件下的重复试验，还能提高试验效率，符合试验要求，因此B正确。
选项C：如果自由选取图钉，不同图钉的质量、形状可能存在差异，会改变试验条件，导致试验结果不准确，不符合试验的一致性要求，因此C错误。
选项D：统计试验结果时必须统计所有有效结果，仅挑选满意的结果统计，会破坏结果的客观性，无法得到准确的频率值，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 随机试验要求
3. 随机事件的随机性
【点评】
本题围绕模拟试验的合理性设置选项，易错点在于误以为同时抛多个相同试验材料不符合试验要求，或是误认为频率稳定就能确定单次试验的结果，只要掌握随机试验的核心原则就能准确判断。
【难度系数】
0.7

2. 教材练习变式 某种彩票的中奖机会是1%，下列说法正确的是 ()

A.买1张这种彩票一定不会中奖
B.买1张这种彩票一定会中奖
C.买100张这种彩票一定会中奖
D.当购买彩票的数量很大时，中奖的频率稳定在1%附近

D

【分析】
本题考查对概率含义及频率与概率关系的理解，解题思路如下：首先明确“中奖机会1%”是指彩票中奖的概率为1%，概率仅表示随机事件发生的可能性大小，不代表某次或固定次数试验中事件一定发生或一定不发生；再结合频率与概率的关系：大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在概率附近，逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
彩票中奖属于随机事件，中奖机会1%表示中奖的概率为1%，仅反映中奖的可能性大小：
选项A：买1张彩票仍有1%的概率中奖，并非一定不会中奖，该选项错误；
选项B：买1张彩票的中奖概率仅为1%，中奖可能性很低，并非一定会中奖，该选项错误；
选项C：每次买彩票的中奖结果都是独立随机的，即使买100张彩票，也存在全部不中奖的可能，并非一定会中奖，该选项错误；
选项D：根据频率估计概率的规律，当进行大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在对应的概率附近，因此当购买彩票的数量很大时，中奖的频率稳定在1%附近，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
概率的意义、频率与概率的关系、随机事件的概念
【点评】
本题是概率部分的基础题，核心是正确理解概率的含义，需注意概率仅描述事件发生的可能性，不代表有限次试验中事件必然发生或不发生，掌握大量重复试验下频率与概率的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8

3. 若没有硬币,下列方法可以模拟掷硬币试验的是 ()

A.掷一个瓶盖,盖面朝上代表正面,盖面朝下代表反面
B.掷一枚图钉,钉尖触地代表正面,钉帽触地代表反面
C.用计算器产生1和2两个随机整数,1代表正面,2代表反面
D.转动一个被等分成“红”“蓝”“紫”三份的转盘,指针指向“红”代表正面,指向“蓝”代表反面

在掷硬币的试验中,通过大量的重复试验和数据分析,会发现硬币的正面和反面向上的频率均稳定在50%附近(即替代事件发生的频率也均应稳定在50%附近).通过大量的重复试验和数据分析,选项A,瓶盖的盖面朝上和朝下的频率没有稳定在50%附近,不能代替掷硬币试验;选项B,图钉的针尖与针帽触地的频率没有稳定在50%附近,不能代替掷硬币试验;选项C,计算器产生1和2两个随机整数的频率均稳定在50%附近,能代替掷硬币试验;D选项,指针指向“红”和“蓝”的频率均稳定在33.3%附近,不等于50%,不能代替掷硬币试验.

【分析】
要判断哪个方法可以模拟掷硬币试验，首先要明确掷硬币试验的核心特征：只有正面、反面两种结果，且两种结果出现的可能性相等，概率均为50%。因此我们只需逐个分析选项中指定的两个对应事件，判断它们发生的可能性是否均为50%即可。
【解析】
掷硬币时，正面向上和反面向上的概率相等，均为50%，因此模拟试验需满足两个对应事件的发生概率均为50%：
1. 选项A：瓶盖质地不均匀，盖面朝上和朝下的概率不相等，无法模拟掷硬币试验；
2. 选项B：图钉形状特殊，钉尖触地和钉帽触地的概率不相等，无法模拟掷硬币试验；
3. 选项C：计算器随机产生1和2两个整数时，出现1和出现2的概率相等，均为50%，可以模拟掷硬币试验；
4. 选项D：转盘被等分为3份，指针指向红、蓝的概率均为1/3，不等于50%，无法模拟掷硬币试验。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
等可能事件、模拟试验设计、概率的意义
【点评】
本题考查模拟试验的设计要求，解题关键是抓住原试验的概率特征，即两个结果发生的可能性相等，同时要结合实际物品的特点判断事件是否为等可能事件，不要误以为只要有两种结果就能模拟掷硬币试验。
【难度系数】
0.8

4. [2025黔东南州期末]一名球员在罚球线上投篮的结果记录如下表，这名球员在罚球线上投篮1次，投中的频率约为.(精确到0.1)

0.5 根据题表,可知随着投篮次数越来越多,频率逐渐稳定在0.50附近,所以这名球员在罚球线上投篮1次,投中的频率约为0.5.

【分析】
解决本题需要用到频率估计概率的相关知识，首先明确：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，我们可以用这个稳定的频率来估计该事件发生的概率。解题时先观察表格中随着投篮次数逐渐增加，投中频率的变化趋势，找到频率逐渐趋近的稳定值，即可得到所求结果。
【解析】
观察表格数据可知，随着投篮次数从100逐渐增加到500，投中频率依次为0.53、0.52、0.52、0.49、0.51、0.50，整体逐渐稳定在0.50附近，因此估计这名球员在罚球线上投篮1次，投中的频率约为0.5（精确到0.1）。
【答案】
0.5
【知识点】
频率的稳定性，用频率估计概率
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对频率稳定性的理解，解题时只需观察大量试验下频率的稳定值即可得到答案，易错点是误将少量试验的频率当作最终估计值。
【难度系数】
0.8

5. 一个不透明的袋子里装有50个黑球、2个白球,这些球除颜色外其余都相同.小明同学做摸球试验,将球搅匀后,从中随机摸出一个球,记下它的颜色后放回,然后再重复进行下一次试验,当摸球次数很多时,摸到白球的频率接近于.

$\frac{1}{26}$ 摸到白球的频率接近于$\frac{2}{52}=\frac{1}{26}$.

【分析】
当摸球次数足够多时，根据频率估计概率的原理，摸到白球的频率会稳定在摸到白球的理论概率附近，因此解题时只需先计算摸到白球的理论概率即可。计算概率时，按照简单概率的计算方法，用白球的数量除以球的总数量就能得到对应概率。
【解析】
首先计算袋子中球的总个数：$50+2=52$（个）
已知袋子里有2个白球，根据概率公式，随机摸出1个球是白球的概率为：
$P(\mathrm{摸到白球})=\frac{\mathrm{白球的数量}}{\mathrm{球的总数量}}=\frac{2}{52}=\frac{1}{26}$
根据大量重复试验中频率趋近于概率的规律，可知当摸球次数很多时，摸到白球的频率接近于$\frac{1}{26}$。
【答案】
$\frac{1}{26}$
【知识点】
频率估计概率，简单概率计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对频率与概率关系的理解，掌握大量重复试验下频率稳定在概率附近的规律，结合简单的概率计算即可快速求解。
【难度系数】
0.9

6. 教材试验变式 在一个不透明的盒子中有2个白球和1个黄球,这些小球除颜色外,其余的都相同,每次从该盒中摸出1个球,然后放回,搅匀再摸,在摸球试验中得到如表中部分数据:

(1)将数据表补充完整.
(2)根据上表中的数据在下图中绘制折线统计图.

(3)观察上面图表可以发现,随着试验次数的增加,摸出黄球的频率有何特点?
(4)从该盒中摸出1个黄球的机会约是多少?

解:(1)0.3 86(或87)
当试验次数是80时,摸出黄球的频率为24 ÷ 80 = 0.3,根据频数与频率的关系,频数等于频率与样本容量的积,设试验次数为240时,摸出黄球的频数为m,则240 × 0.355 ≤ m ＜ 240 × 0.365,故85.2≤m ＜87.6,所以m的值为86或87.
(2)根据(1)的数据,绘制折线统计图如图所示.
(3)从折线统计图可以看出,随着试验次数的增加,摸出黄球的频率逐渐平稳.
(4)观察折线统计图可知,摸出1个黄球的频率逐渐稳定在0.34附近,故摸出1个黄球的机会约为34%.
频率$=\frac{频数}{总次数}$,频数 = 频率 × 总次数.在这里,频数可以表示“所关注结果发生的次数”,总次数可以表示“重复试验的次数”.

【分析】
本题围绕摸球试验的频率统计展开，解题思路如下：1. 求解第(1)问时，依据“频率=频数÷总试验次数”“频数=频率×总试验次数”的关系计算，注意频数为正整数，取值要符合实际；2. 第(2)问绘制折线统计图，需先确定每组试验次数对应的频率，在坐标系中描出对应点，再顺次连接各点即可；3. 第(3)问观察折线的变化趋势，总结试验次数增加时频率的变化特点；4. 第(4)问利用大量重复试验中频率的稳定值近似等于概率的规律，估算摸出黄球的概率。
【解析】
(1) 当试验次数为80次，摸出黄球的频数是24，因此频率=24÷80=0.3；
当试验次数为240次时，对应频率约为0.36，设摸出黄球的频数为m，考虑频率的近似性，频率取值范围为0.355≤频率＜0.365，因此m=240×频率，可得85.2≤m＜87.6，又因为频数为正整数，所以m可取86或87。
(2) 统计各试验次数对应的频率：40次对应0.35、80次对应0.3、120次对应0.32、160次对应0.33、200次对应0.34、240次对应0.36、280次对应0.35、320次对应0.35、360次对应0.33、400次对应0.34，在坐标系中依次描出上述点，再用线段顺次连接各点，得到折线统计图。
(3) 观察绘制好的折线统计图，可见试验次数较少时，摸出黄球的频率波动较大，随着试验次数不断增加，频率的波动逐渐变小，整体趋于平稳。
(4) 根据频率估计概率的规律，大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率。本题中摸出黄球的频率逐渐稳定在0.34附近，因此摸出1个黄球的机会约为34%。
【答案】
(1)0.3；86(或87)
(2)根据(1)的数据，绘制折线统计图如图所示。
(3)随着试验次数的增加，摸出黄球的频率逐渐平稳。
(4)摸出1个黄球的机会约为34%。
【知识点】
频率与频数计算，用频率估计概率，折线统计图应用
【点评】
本题结合摸球试验场景，考查了统计与概率的基础知识点，既要求掌握频率、频数的计算方法，也需要具备读取图表、分析数据变化趋势的能力，体现了统计中用样本估计总体的思想，是概率统计部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7