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1. |数学文化（2024·南通中考）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为$m,n(m＞n)$.若小正方形面积为$5,(m+n)^2=21$,则大正方形面积为 （
A.12
B.13
C.14
D.15
＞＞ 对点专练 P90
（第1题）
B
）A.12
B.13
C.14
D.15
＞＞ 对点专练 P90
（第1题）答案
1. B
2. ★★★(2026·宁波期中)如图,在锐角$△ ABC$中,$AC=2$,$AC$边上的中线$BD=\sqrt{3}$.过点$A$作$AE ⊥ BC$于点$E$,记$BC$的长为$a$,$BE$的长为$b$.当$a$,$b$的值发生变化时,下列代数式的值不变的是 (
A.$a+b$
B.$a-b$
C.$a^2+b^2$
D.$ab$
D
)A.$a+b$
B.$a-b$
C.$a^2+b^2$
D.$ab$
答案
2. D
3. 如图，在$△ ABC$中，$CF ⊥ AB$于点$F$，$BE ⊥ AC$于点$E$，$M$为$BC$的中点，$EF=6$，$BC=10$，则$△ EFM$的面积是（
A.6
B.8
C.12
D.30
C
）A.6
B.8
C.12
D.30
答案
3. C
4. （2026·珠海期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且AN=CM，AB=$\sqrt{2}$.当AM+BN的值最小时，CM的长为
$2-\sqrt{2}$
. ＞＞对点专练 P110答案
4. $2-\sqrt{2}$
5. （甘孜州中考改编）如图，在$Rt△ ABC$中，$AC=BC=3\sqrt{2}$，点D在AB边上，连结CD，将CD绕点C逆时针旋转$90°$得到CE，连结BE，DE.
(1)求证：$△ CAD≌△ CBE$；
(2)若$AD=2$时，求DE的长；
(3)点D在AB上运动时，试探究$AD^2+BD^2$的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由.
＞＞ 对点专练 P95
＞＞ 根据诊断结果,请完成对应的练习
(1)求证：$△ CAD≌△ CBE$；
(2)若$AD=2$时，求DE的长；
(3)点D在AB上运动时，试探究$AD^2+BD^2$的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由.
＞＞ 对点专练 P95
＞＞ 根据诊断结果,请完成对应的练习
答案
5. (1)由题意,可知∠ACB=∠DCE=90°,CA=CB,CD=CE,
∴ ∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB.
∴ ∠ACD=∠BCE.
在△CAD 和△CBE 中,$\begin{cases} CA=CB, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴ △CAD≌△CBE(SAS).
(2)
∵ 在 Rt△ABC 中,AC=BC=3√2,
∴ ∠CAB=∠CBA=45°,AB=6,
∴ BD=AB-AD=6-2=4.
∵ △CAD≌△CBE,
∴ BE = AD = 2,∠CBE = ∠CAD = 45°,
∴ ∠ABE = ∠ABC + ∠CBE = 90°,
∴ DE=√(BD²+BE²)=√20.
(3)存在.由(2)可知,AD²+BD²=BE²+BD²=DE²=2CD²,
∴ 当CD最小时,有AD²+BD²的值最小,此时 CD⊥AB.
∵ △ABC 为等腰直角三角形,
∴ CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3,
∴ AD²+BD²=2CD²≥2×3²=18,即 AD²+BD²的最小值为 18.
∴ ∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB.
∴ ∠ACD=∠BCE.
在△CAD 和△CBE 中,$\begin{cases} CA=CB, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴ △CAD≌△CBE(SAS).
(2)
∵ 在 Rt△ABC 中,AC=BC=3√2,
∴ ∠CAB=∠CBA=45°,AB=6,
∴ BD=AB-AD=6-2=4.
∵ △CAD≌△CBE,
∴ BE = AD = 2,∠CBE = ∠CAD = 45°,
∴ ∠ABE = ∠ABC + ∠CBE = 90°,
∴ DE=√(BD²+BE²)=√20.
(3)存在.由(2)可知,AD²+BD²=BE²+BD²=DE²=2CD²,
∴ 当CD最小时,有AD²+BD²的值最小,此时 CD⊥AB.
∵ △ABC 为等腰直角三角形,
∴ CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3,
∴ AD²+BD²=2CD²≥2×3²=18,即 AD²+BD²的最小值为 18.
