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8. 小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（
A.20
B.300
C.500
D.800
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（
C
）A.20
B.300
C.500
D.800
答案
8.C
解析
【分析】
要解决这道题，需利用“大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近”的规律思考：第一步先计算表格中不同抛掷次数下正面朝上的频率，观察频率的稳定值，这个稳定值就是抛掷硬币正面朝上的概率；第二步再根据“频数=总次数×概率”，估算1000次抛掷时正面朝上的频数即可。
【解析】
首先计算各组试验中正面朝上的频率：
抛掷100次时，频率为$ \frac{53}{100}=0.53 $；
抛掷200次时，频率为$ \frac{98}{200}=0.49 $；
抛掷300次时，频率为$ \frac{156}{300}=0.52 $；
抛掷400次时，频率为$ \frac{202}{400}=0.505 $；
抛掷500次时，频率为$ \frac{244}{500}=0.488 $。
观察可知，随着抛掷次数增加，正面朝上的频率逐渐稳定在0.5附近，即抛掷质地均匀的硬币正面朝上的概率约为0.5。
因此抛掷1000次时，正面朝上的频数最接近$ 1000×0.5=500 $。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率；频数与频率计算
【点评】
本题核心是考查频率与概率的关系，明确大量重复试验下频率的稳定值等于对应事件的概率是解题的突破口，结合频数计算公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需利用“大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近”的规律思考：第一步先计算表格中不同抛掷次数下正面朝上的频率，观察频率的稳定值，这个稳定值就是抛掷硬币正面朝上的概率；第二步再根据“频数=总次数×概率”，估算1000次抛掷时正面朝上的频数即可。
【解析】
首先计算各组试验中正面朝上的频率：
抛掷100次时，频率为$ \frac{53}{100}=0.53 $；
抛掷200次时，频率为$ \frac{98}{200}=0.49 $；
抛掷300次时，频率为$ \frac{156}{300}=0.52 $；
抛掷400次时，频率为$ \frac{202}{400}=0.505 $；
抛掷500次时，频率为$ \frac{244}{500}=0.488 $。
观察可知，随着抛掷次数增加，正面朝上的频率逐渐稳定在0.5附近，即抛掷质地均匀的硬币正面朝上的概率约为0.5。
因此抛掷1000次时，正面朝上的频数最接近$ 1000×0.5=500 $。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率；频数与频率计算
【点评】
本题核心是考查频率与概率的关系，明确大量重复试验下频率的稳定值等于对应事件的概率是解题的突破口，结合频数计算公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
9.质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示.
| 抽检产品数$n$ | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 | 500 | 1000 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 合格产品数$m$ | 89 | 134 |
| 226 | 271 | 451 | 904 |
| 合格率$\frac{m}{n}$ | 0.890 | 0.893 | 0.895 | 0.904 | 0.903 | 0.902 | 0.904 |
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是
| 抽检产品数$n$ | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 | 500 | 1000 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 合格产品数$m$ | 89 | 134 |
| 226 | 271 | 451 | 904 || 合格率$\frac{m}{n}$ | 0.890 | 0.893 | 0.895 | 0.904 | 0.903 | 0.902 | 0.904 |
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是
0.9
.(结果保留一位小数)答案
9.0.9
解析
【分析】
本题考查用频率估计概率的相关知识，解题思路如下：根据概率的统计定义，当大量重复同一试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。我们只需观察表格中随着抽检产品数不断增大，合格率的稳定趋势，再按要求保留一位小数即可得到结果。
【解析】
观察表格内的合格率数据：随着抽检产品数n逐渐增大，合格率依次为0.890、0.893、0.895、0.904、0.903、0.902、0.904，可见当试验次数足够多时，合格率稳定在0.90附近。根据用频率估计概率的原理，任取一件产品是合格产品的概率约等于该稳定的频率值，保留一位小数为0.9。
【答案】
0.9
【知识点】
用频率估计概率、频率与概率的关系
【点评】
本题结合实际质检情境考查概率的估算方法，核心是理解大量重复试验下频率的稳定值即为概率，解题时注意结果的精度要求，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
本题考查用频率估计概率的相关知识，解题思路如下：根据概率的统计定义，当大量重复同一试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。我们只需观察表格中随着抽检产品数不断增大，合格率的稳定趋势，再按要求保留一位小数即可得到结果。
【解析】
观察表格内的合格率数据：随着抽检产品数n逐渐增大，合格率依次为0.890、0.893、0.895、0.904、0.903、0.902、0.904，可见当试验次数足够多时，合格率稳定在0.90附近。根据用频率估计概率的原理，任取一件产品是合格产品的概率约等于该稳定的频率值，保留一位小数为0.9。
【答案】
0.9
【知识点】
用频率估计概率、频率与概率的关系
【点评】
本题结合实际质检情境考查概率的估算方法，核心是理解大量重复试验下频率的稳定值即为概率，解题时注意结果的精度要求，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
10. 研究人员为了探索更有利于某品种圣女果（含糖量在5%）的种植环境，在三种不同环境下分别种植了一批圣女果，并在试验后统计了每种环境下该品种圣女果的含糖量的频率，结果如下表：
（1）分别估计三种环境下种植该品种圣女果，收获含糖量在5%的圣女果的概率；（精确到0.01）
（2）哪种环境更有利于含糖量在5%的圣女果的种植？为什么？
（1）分别估计三种环境下种植该品种圣女果，收获含糖量在5%的圣女果的概率；（精确到0.01）
（2）哪种环境更有利于含糖量在5%的圣女果的种植？为什么？
答案
(1)解:
∵由表格可知,环境1下收获含糖量在5%的圣女果的频率稳定在0.92附近,
∴环境1下收获含糖量在5%的圣女果的概率约为0.92;同理,环境2下收获含糖量在5%的圣女果的概率约为0.95;环境3下收获含糖量在5%的圣女果的概率约为0.86;
(2)环境2更有利于含糖量在5%的圣女果的种植,原因是在环境2下收获含糖量在5%的圣女果的概率大于其余两种环境下的概率.
∵由表格可知,环境1下收获含糖量在5%的圣女果的频率稳定在0.92附近,
∴环境1下收获含糖量在5%的圣女果的概率约为0.92;同理,环境2下收获含糖量在5%的圣女果的概率约为0.95;环境3下收获含糖量在5%的圣女果的概率约为0.86;
(2)环境2更有利于含糖量在5%的圣女果的种植,原因是在环境2下收获含糖量在5%的圣女果的概率大于其余两种环境下的概率.
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握用频率估计概率的原理：大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。第(1)问只需观察每种环境下，随着试验果实数增多，含糖量在5%的频率稳定的数值，精确到0.01即可得到对应概率；第(2)问比较三个环境的概率大小，概率越高说明对应环境越有利于种植。
【解析】
(1) 根据频率估计概率的规律：
观察表格中环境1的频率数据，随着果实数增加，频率稳定在0.92附近，因此环境1下收获含糖量在5%的圣女果的概率约为0.92；
同理，环境2的频率稳定在0.95附近，因此对应概率约为0.95；
环境3的频率稳定在0.86附近，因此对应概率约为0.86。
(2) 比较三个环境的概率可得0.95＞0.92＞0.86，因此环境2更有利于含糖量在5%的圣女果的种植，因为环境2下收获符合要求的圣女果的概率更高。
【答案】
(1) 环境1概率约为0.92，环境2概率约为0.95，环境3概率约为0.86；
(2) 环境2更有利于种植，因为在环境2下收获含糖量在5%的圣女果的概率大于其余两种环境下的概率。
【知识点】
频率估计概率；概率的实际应用
【点评】
本题结合农业种植的实际场景考查概率知识，既要求学生理解频率与概率的关联，也引导学生学会用概率知识解决实际决策问题，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.85
解决本题的核心是掌握用频率估计概率的原理：大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。第(1)问只需观察每种环境下，随着试验果实数增多，含糖量在5%的频率稳定的数值，精确到0.01即可得到对应概率；第(2)问比较三个环境的概率大小，概率越高说明对应环境越有利于种植。
【解析】
(1) 根据频率估计概率的规律：
观察表格中环境1的频率数据，随着果实数增加，频率稳定在0.92附近，因此环境1下收获含糖量在5%的圣女果的概率约为0.92；
同理，环境2的频率稳定在0.95附近，因此对应概率约为0.95；
环境3的频率稳定在0.86附近，因此对应概率约为0.86。
(2) 比较三个环境的概率可得0.95＞0.92＞0.86，因此环境2更有利于含糖量在5%的圣女果的种植，因为环境2下收获符合要求的圣女果的概率更高。
【答案】
(1) 环境1概率约为0.92，环境2概率约为0.95，环境3概率约为0.86；
(2) 环境2更有利于种植，因为在环境2下收获含糖量在5%的圣女果的概率大于其余两种环境下的概率。
【知识点】
频率估计概率；概率的实际应用
【点评】
本题结合农业种植的实际场景考查概率知识，既要求学生理解频率与概率的关联，也引导学生学会用概率知识解决实际决策问题，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.85
11.(武汉市中考)某商场开展购物抽奖促销活动,抽奖盒中装有三个小球,它们分别标有10元、20元、30元,一次性随机摸出两个小球,摸出的两球上金额的和为50元的概率是（
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
C
）A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
11.C
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路分为三步：第一步，先明确所有等可能的摸球结果，因为是一次性摸出两个小球，不需要考虑两个球的先后顺序，只需列举出所有不重复的组合即可；第二步，找出两个小球金额之和为50元的符合条件的结果数；第三步，根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算出对应概率，匹配选项即可。
【解析】
首先列举一次性随机摸出两个小球的所有等可能结果：
共有3种情况，分别是：（10元，20元）、（10元，30元）、（20元，30元），每种结果出现的可能性相等。
接下来计算每种情况的金额和：
10+20=30元，10+30=40元，20+30=50元，其中金额和为50元的情况只有1种。
根据概率公式，摸出两球金额和为50元的概率$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{1}{3}$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 古典概型计算
【点评】
本题属于概率基础题，解题的核心是正确列举所有等可能的结果，注意一次性摸两个球无需考虑顺序，避免重复计数，掌握基础的概率计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路分为三步：第一步，先明确所有等可能的摸球结果，因为是一次性摸出两个小球，不需要考虑两个球的先后顺序，只需列举出所有不重复的组合即可；第二步，找出两个小球金额之和为50元的符合条件的结果数；第三步，根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算出对应概率，匹配选项即可。
【解析】
首先列举一次性随机摸出两个小球的所有等可能结果：
共有3种情况，分别是：（10元，20元）、（10元，30元）、（20元，30元），每种结果出现的可能性相等。
接下来计算每种情况的金额和：
10+20=30元，10+30=40元，20+30=50元，其中金额和为50元的情况只有1种。
根据概率公式，摸出两球金额和为50元的概率$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{1}{3}$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 古典概型计算
【点评】
本题属于概率基础题，解题的核心是正确列举所有等可能的结果，注意一次性摸两个球无需考虑顺序，避免重复计数，掌握基础的概率计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
12.(注重跨学科融合)有一电路AB由如图所示的开关控制，闭合a,b,c,d,e五个开关中的任意两个开关，能使电路形成通路的概率是
$\frac{3}{5}$
。答案
12.$\frac{3}{5}$
解析
【分析】
这是结合电路知识的古典概型概率题，解题思路如下：首先用列举法算出从5个开关中任选2个的所有等可能结果总数；其次明确串并联电路的通路要求：左侧a、b并联，右侧c、d、e并联，两部分串联，因此要通路需要左侧和右侧各至少有1个开关闭合，也就是选出的2个开关分别在左右两侧；接着数出符合通路要求的结果数；最后用符合条件的结果数除以总结果数得到概率。
【解析】
首先列出从5个开关中任选2个的所有等可能情况：$(a,b)$、$(a,c)$、$(a,d)$、$(a,e)$、$(b,c)$、$(b,d)$、$(b,e)$、$(c,d)$、$(c,e)$、$(d,e)$，共10种。
电路通路需满足左侧、右侧各至少1个开关闭合，筛选符合条件的情况有：$(a,c)$、$(a,d)$、$(a,e)$、$(b,c)$、$(b,d)$、$(b,e)$，共6种。
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
概率计算，串并联电路特点，列举法计数
【点评】
本题是跨学科基础综合题，将物理电路知识和数学概率计算结合，考查综合分析能力，只要理清通路条件，正确列举所有情况就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是结合电路知识的古典概型概率题，解题思路如下：首先用列举法算出从5个开关中任选2个的所有等可能结果总数；其次明确串并联电路的通路要求：左侧a、b并联，右侧c、d、e并联，两部分串联，因此要通路需要左侧和右侧各至少有1个开关闭合，也就是选出的2个开关分别在左右两侧；接着数出符合通路要求的结果数；最后用符合条件的结果数除以总结果数得到概率。
【解析】
首先列出从5个开关中任选2个的所有等可能情况：$(a,b)$、$(a,c)$、$(a,d)$、$(a,e)$、$(b,c)$、$(b,d)$、$(b,e)$、$(c,d)$、$(c,e)$、$(d,e)$，共10种。
电路通路需满足左侧、右侧各至少1个开关闭合，筛选符合条件的情况有：$(a,c)$、$(a,d)$、$(a,e)$、$(b,c)$、$(b,d)$、$(b,e)$，共6种。
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
概率计算，串并联电路特点，列举法计数
【点评】
本题是跨学科基础综合题，将物理电路知识和数学概率计算结合，考查综合分析能力，只要理清通路条件，正确列举所有情况就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
13.如图，有4张分别印有Q版西游图案的卡片：A唐僧、B孙悟空、C猪八戒、D沙悟净.
现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片.求下列事件发生的概率：
（1）第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为
（2）求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率.
现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片.求下列事件发生的概率：
（1）第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为
$\frac{1}{4}$
；（2）求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率.
答案
(1)$\frac{1}{4}$
(2)解:画树状图如图所示:
由图可以看出一共有16种等可能的结果,其中至少有1张图案为“A唐僧”的结果有7种.$\therefore P$(至少有1张图案为“A唐僧”)$=\frac{7}{16}$.
解析
【分析】
（1）第一问是单次抽取的概率问题，首先明确4张卡片被抽到的可能性相等，总共有4种等可能的抽取结果，取出“B孙悟空”是其中1种符合要求的结果，直接根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。
（2）第二问是有放回的两次抽取概率问题，两次抽取的结果互不影响，我们可以通过画树状图列出所有等可能的结果，再从中筛选出“至少有1张是A唐僧”的结果，最后代入概率公式计算即可。注意“至少有1张A”包含“第一次是A第二次不是、第一次不是A第二次是A、两次都是A”三类情况，筛选时不要遗漏。
【解析】
（1）第一次抽取时，共有A、B、C、D4种等可能的结果，其中取出B孙悟空的结果有1种，因此概率为$\frac{1}{4}$。
（2）该抽取为有放回试验，两次抽取的卡片均有4种可能，画树状图如下：
由树状图可知，总共有$4×4=16$种等可能的结果。
其中至少有1张图案为“A唐僧”的结果有：(A,A)、(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,A)、(C,A)、(D,A)，共7种。
根据概率公式可得：$P$(至少有1张图案为“A唐僧”)$=\frac{7}{16}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$
(2)解:画树状图如图所示:
由图可以看出一共有16种等可能的结果,其中至少有1张图案为“A唐僧”的结果有7种.$\therefore P$(至少有1张图案为“A唐僧”)$=\frac{7}{16}$.
【知识点】
概率公式，树状图法求概率，放回型随机事件概率
【点评】
本题属于概率基础题，考查了单步概率计算和两步放回试验的概率计算，解题的关键是准确梳理所有等可能的结果，注意区分放回和不放回试验的差异，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
（1）第一问是单次抽取的概率问题，首先明确4张卡片被抽到的可能性相等，总共有4种等可能的抽取结果，取出“B孙悟空”是其中1种符合要求的结果，直接根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。
（2）第二问是有放回的两次抽取概率问题，两次抽取的结果互不影响，我们可以通过画树状图列出所有等可能的结果，再从中筛选出“至少有1张是A唐僧”的结果，最后代入概率公式计算即可。注意“至少有1张A”包含“第一次是A第二次不是、第一次不是A第二次是A、两次都是A”三类情况，筛选时不要遗漏。
【解析】
（1）第一次抽取时，共有A、B、C、D4种等可能的结果，其中取出B孙悟空的结果有1种，因此概率为$\frac{1}{4}$。
（2）该抽取为有放回试验，两次抽取的卡片均有4种可能，画树状图如下：
由树状图可知，总共有$4×4=16$种等可能的结果。
其中至少有1张图案为“A唐僧”的结果有：(A,A)、(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,A)、(C,A)、(D,A)，共7种。
根据概率公式可得：$P$(至少有1张图案为“A唐僧”)$=\frac{7}{16}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$
(2)解:画树状图如图所示:
由图可以看出一共有16种等可能的结果,其中至少有1张图案为“A唐僧”的结果有7种.$\therefore P$(至少有1张图案为“A唐僧”)$=\frac{7}{16}$.
【知识点】
概率公式，树状图法求概率，放回型随机事件概率
【点评】
本题属于概率基础题，考查了单步概率计算和两步放回试验的概率计算，解题的关键是准确梳理所有等可能的结果，注意区分放回和不放回试验的差异，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
