登录
1. 下列各式中，能用平方差公式计算的是 （
A.$(-m+n)(m-n)$
B.$(m-3)(-3-m)$
C.$(2n+m)(2m-n)$
D.$(-m-n)(m+n)$
B
）A.$(-m+n)(m-n)$
B.$(m-3)(-3-m)$
C.$(2n+m)(2m-n)$
D.$(-m-n)(m+n)$
答案
1.B
解析
【分析】
要判断式子能否用平方差公式计算，首先要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数，满足这个特征就可以用平方差公式计算。我们只需逐个分析各选项是否符合上述特征即可得到答案。
【解析】
平方差公式的形式为：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，核心特征是两个相乘的二项式中，存在一组完全相同的项，另一组互为相反数。
逐一分析选项：
选项A：$(-m+n)(m-n)=-(m-n)(m-n)$，两个因式的两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式计算。
选项B：$(m-3)(-3-m)=(-3+m)(-3-m)$，其中相同项是$-3$，互为相反数的项是$m$和$-m$，符合平方差公式特征，可以用平方差公式计算，计算结果为$(-3)^2 - m^2=9-m^2$。
选项C：$(2n+m)(2m-n)$，两个因式中既没有相同的项，也没有互为相反数的项，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式计算。
选项D：$(-m-n)(m+n)=-(m+n)(m+n)$，两个因式的两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式计算。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；整式乘法公式识别
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查平方差公式的适用条件，解题的关键是准确把握平方差公式“一项相同、一项互为相反数”的结构特点，熟练掌握公式结构是解决这类识别类题型的核心。
【难度系数】
0.8
要判断式子能否用平方差公式计算，首先要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数，满足这个特征就可以用平方差公式计算。我们只需逐个分析各选项是否符合上述特征即可得到答案。
【解析】
平方差公式的形式为：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，核心特征是两个相乘的二项式中，存在一组完全相同的项，另一组互为相反数。
逐一分析选项：
选项A：$(-m+n)(m-n)=-(m-n)(m-n)$，两个因式的两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式计算。
选项B：$(m-3)(-3-m)=(-3+m)(-3-m)$，其中相同项是$-3$，互为相反数的项是$m$和$-m$，符合平方差公式特征，可以用平方差公式计算，计算结果为$(-3)^2 - m^2=9-m^2$。
选项C：$(2n+m)(2m-n)$，两个因式中既没有相同的项，也没有互为相反数的项，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式计算。
选项D：$(-m-n)(m+n)=-(m+n)(m+n)$，两个因式的两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式计算。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；整式乘法公式识别
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查平方差公式的适用条件，解题的关键是准确把握平方差公式“一项相同、一项互为相反数”的结构特点，熟练掌握公式结构是解决这类识别类题型的核心。
【难度系数】
0.8
2.运用乘法公式计算$(4+x)(x-4)$的结果是 （
A.$x^2 -16$
B.$x^2 +16$
C.$16 -x^2$
D.$-x^2 -16$
A
）A.$x^2 -16$
B.$x^2 +16$
C.$16 -x^2$
D.$-x^2 -16$
答案
2.A
解析
【分析】
观察算式结构，两个因式均为二项式，可先将$(4+x)$调整为$(x+4)$，此时两个因式中存在相同的项$x$，以及互为相反数的项$+4$和$-4$，符合平方差公式$(a+b)(a-b)$的结构特征，因此可直接套用平方差公式计算。解题时先确定公式中对应$a$、$b$的量：相同项$x$对应$a$，相反数项的绝对值$4$对应$b$，再代入公式$a^2-b^2$即可得出结果。
【解析】
先对原式变形可得：
$\begin{aligned}(4+x)(x-4)&=(x+4)(x-4)\\&=x^2 - 4^2\\&=x^2 - 16\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式、整式乘法运算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查平方差公式的应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，即两个因式中一项相同、一项互为相反数，套用公式可快速简化计算，避免多项式逐项相乘的繁琐。
【难度系数】
0.9
观察算式结构，两个因式均为二项式，可先将$(4+x)$调整为$(x+4)$，此时两个因式中存在相同的项$x$，以及互为相反数的项$+4$和$-4$，符合平方差公式$(a+b)(a-b)$的结构特征，因此可直接套用平方差公式计算。解题时先确定公式中对应$a$、$b$的量：相同项$x$对应$a$，相反数项的绝对值$4$对应$b$，再代入公式$a^2-b^2$即可得出结果。
【解析】
先对原式变形可得：
$\begin{aligned}(4+x)(x-4)&=(x+4)(x-4)\\&=x^2 - 4^2\\&=x^2 - 16\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式、整式乘法运算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查平方差公式的应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，即两个因式中一项相同、一项互为相反数，套用公式可快速简化计算，避免多项式逐项相乘的繁琐。
【难度系数】
0.9
3. 计算$(x+2)(x^2+4)(x-2)-x^4+16$的结果是（
A.$2x^3$
B.$-32$
C.$0$
D.$78$
C
）A.$2x^3$
B.$-32$
C.$0$
D.$78$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先观察式子中的因式特征，发现存在$(x+2)$和$(x-2)$，符合平方差公式的结构，因此优先利用乘法公式简化运算，避免直接展开多项式带来的繁琐计算。第一步先计算$(x+2)(x-2)$，将所得结果再与$(x^2+4)$相乘，再次运用平方差公式化简，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：调整运算顺序，结合平方差公式逐步计算：
$\begin{aligned}&(x+2)(x^2+4)(x-2)-x^4+16\\=&(x+2)(x-2)(x^2+4)-x^4+16\\=&(x^2-4)(x^2+4)-x^4+16 \quad \mathrm{（利用平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$）}\\=&x^4-16-x^4+16 \quad \mathrm{（第二次利用平方差公式计算）}\\=&0\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，整式混合运算，合并同类项
【点评】
本题核心考查平方差公式的灵活应用，解题时要先观察整式的结构特征，优先选用乘法公式简化运算，能大幅降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察式子中的因式特征，发现存在$(x+2)$和$(x-2)$，符合平方差公式的结构，因此优先利用乘法公式简化运算，避免直接展开多项式带来的繁琐计算。第一步先计算$(x+2)(x-2)$，将所得结果再与$(x^2+4)$相乘，再次运用平方差公式化简，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：调整运算顺序，结合平方差公式逐步计算：
$\begin{aligned}&(x+2)(x^2+4)(x-2)-x^4+16\\=&(x+2)(x-2)(x^2+4)-x^4+16\\=&(x^2-4)(x^2+4)-x^4+16 \quad \mathrm{（利用平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$）}\\=&x^4-16-x^4+16 \quad \mathrm{（第二次利用平方差公式计算）}\\=&0\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，整式混合运算，合并同类项
【点评】
本题核心考查平方差公式的灵活应用，解题时要先观察整式的结构特征，优先选用乘法公式简化运算，能大幅降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.8
4. 计算 $2024 × 2026 - 2025^2$ 的结果是 （
A.-1
B.0
C.1
D.2
A
）A.-1
B.0
C.1
D.2
答案
4.A
解析
【分析】观察算式的数字特征，2024、2025、2026是三个连续整数，2024=2025-1，2026=2025+1，因此前半部分的乘法符合平方差公式$(a-b)(a+b)$的结构，我们可以先套用平方差公式展开乘法项，再进行后续的减法运算，无需计算大数乘积即可快速得到结果。
【解析】
第一步：对乘法项进行变形，凑平方差公式的结构：
$2024×2026=(2025-1)×(2025+1)$
第二步：根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$展开：
$(2025-1)×(2025+1)=2025^2 - 1^2=2025^2 - 1$
第三步：代入原式计算最终结果：
$2024×2026 - 2025^2=(2025^2 - 1)-2025^2=-1$
【答案】A
【知识点】平方差公式；整式混合运算
【点评】本题侧重考查平方差公式的灵活运用，解题核心是发现连续数字的特征，将乘法项转化为平方差公式的标准形式，通过公式简化运算，规避大数乘法的繁琐计算，减少运算出错的可能。
【难度系数】0.8
【解析】
第一步：对乘法项进行变形，凑平方差公式的结构：
$2024×2026=(2025-1)×(2025+1)$
第二步：根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$展开：
$(2025-1)×(2025+1)=2025^2 - 1^2=2025^2 - 1$
第三步：代入原式计算最终结果：
$2024×2026 - 2025^2=(2025^2 - 1)-2025^2=-1$
【答案】A
【知识点】平方差公式；整式混合运算
【点评】本题侧重考查平方差公式的灵活运用，解题核心是发现连续数字的特征，将乘法项转化为平方差公式的标准形式，通过公式简化运算，规避大数乘法的繁琐计算，减少运算出错的可能。
【难度系数】0.8
5. $(5a^{2}+4b^{2})(\quad)=25a^{4}-16b^{4}$，括号内应填 $(\quad)$
A.$5a^{2}+4b^{2}$
B.$5a^{2}-4b^{2}$
C.$-5a^{2}-4b^{2}$
D.$-5a^{2}+4b^{2}$
A.$5a^{2}+4b^{2}$
B.$5a^{2}-4b^{2}$
C.$-5a^{2}-4b^{2}$
D.$-5a^{2}+4b^{2}$
答案
5.B
解析
【分析】
观察等式右侧的$25a^4-16b^4$，是典型的平方差形式，可通过平方差公式逆向推导求解。首先回忆平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于它们的平方差，即$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$。先把等式右侧的多项式转化为平方差结构：$25a^4=(5a^2)^2$，$16b^4=(4b^2)^2$，对应公式里的$x^2-y^2$，其中$x=5a^2$，$y=4b^2$。已知其中一个因式是$(5a^2+4b^2)$，对应$(x+y)$，那么另一个因式就是$(x-y)$，即$5a^2-4b^2$。
【解析】
根据平方差公式：$\boldsymbol{(m+n)(m-n)=m^2-n^2}$。
先将等式右侧的多项式变形：
$25a^4=(5a^2)^2$，$16b^4=(4b^2)^2$，因此：
$25a^4-16b^4=(5a^2)^2-(4b^2)^2=(5a^2+4b^2)(5a^2-4b^2)$
结合已知的因式$(5a^2+4b^2)$，可得括号内应填$5a^2-4b^2$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、整式乘法运算
【点评】
本题考查平方差公式的基础应用，解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，准确识别公式中的相同项和相反项即可快速得出结果，属于整式乘法部分的常规基础题。
【难度系数】
0.9
观察等式右侧的$25a^4-16b^4$，是典型的平方差形式，可通过平方差公式逆向推导求解。首先回忆平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于它们的平方差，即$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$。先把等式右侧的多项式转化为平方差结构：$25a^4=(5a^2)^2$，$16b^4=(4b^2)^2$，对应公式里的$x^2-y^2$，其中$x=5a^2$，$y=4b^2$。已知其中一个因式是$(5a^2+4b^2)$，对应$(x+y)$，那么另一个因式就是$(x-y)$，即$5a^2-4b^2$。
【解析】
根据平方差公式：$\boldsymbol{(m+n)(m-n)=m^2-n^2}$。
先将等式右侧的多项式变形：
$25a^4=(5a^2)^2$，$16b^4=(4b^2)^2$，因此：
$25a^4-16b^4=(5a^2)^2-(4b^2)^2=(5a^2+4b^2)(5a^2-4b^2)$
结合已知的因式$(5a^2+4b^2)$，可得括号内应填$5a^2-4b^2$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、整式乘法运算
【点评】
本题考查平方差公式的基础应用，解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，准确识别公式中的相同项和相反项即可快速得出结果，属于整式乘法部分的常规基础题。
【难度系数】
0.9
6.计算：$\dfrac{2035}{2035^2 - 2036 × 2034} =$
2 035
.答案
6.2 035
解析
【分析】
观察算式的分母部分，2036和2034分别与2035相差1，可将2036转化为2035+1、2034转化为2035-1，此时2036×2034符合平方差公式的结构特征，利用平方差公式简化分母的计算，即可快速求出分式的值。
【解析】
先计算分母：
$\begin{aligned}2035^2 - 2036× 2034&=2035^2 - (2035+1)(2035-1)\\&=2035^2 - (2035^2 - 1^2)\\&=2035^2 - 2035^2 +1\\&=1\end{aligned}$
再代入原式计算：
原式$=\dfrac{2035}{1}=2035$
【答案】
2035
【知识点】
平方差公式，整式化简，分式计算
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，通过对接近的数字进行变形，构造平方差公式的结构，可避免大数乘法的繁琐运算，有效提高计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
观察算式的分母部分，2036和2034分别与2035相差1，可将2036转化为2035+1、2034转化为2035-1，此时2036×2034符合平方差公式的结构特征，利用平方差公式简化分母的计算，即可快速求出分式的值。
【解析】
先计算分母：
$\begin{aligned}2035^2 - 2036× 2034&=2035^2 - (2035+1)(2035-1)\\&=2035^2 - (2035^2 - 1^2)\\&=2035^2 - 2035^2 +1\\&=1\end{aligned}$
再代入原式计算：
原式$=\dfrac{2035}{1}=2035$
【答案】
2035
【知识点】
平方差公式，整式化简，分式计算
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，通过对接近的数字进行变形，构造平方差公式的结构，可避免大数乘法的繁琐运算，有效提高计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
7.用平方差公式计算：
(1)$(4+5x)(4-5x)$；
(2)$(x-3y)(x+3y)$；
(3)$(-a+b)(-a-b)$；
(4)$198×202$。
(1)$(4+5x)(4-5x)$；
(2)$(x-3y)(x+3y)$；
(3)$(-a+b)(-a-b)$；
(4)$198×202$。
答案
7.(1)$16-25x^2$ (2)$x^2-9y^2$ (3)$a^2-b^2$ (4)39 996
解析
【分析】
解题要先明确平方差公式：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，公式特点是两个因式中一项完全相同（对应公式中的$a$），另一项互为相反数（对应公式中的$b$）。解题步骤：①先找出每个式子中相同的项$a$和互为相反数的项$b$；②代入平方差公式展开；③化简得到最终结果。对于数字类运算，先将两个数转化为同一个整十/整百数加、减同一个数的形式，再套用公式简化计算。
【解析】
(1) 该式中相同项为$4$，互为相反数的项为$5x$和$-5x$，即$a=4$，$b=5x$，代入公式得：
$(4+5x)(4-5x)=4^2-(5x)^2=16-25x^2$
(2) 该式中相同项为$x$，互为相反数的项为$-3y$和$3y$，即$a=x$，$b=3y$，代入公式得：
$(x-3y)(x+3y)=x^2-(3y)^2=x^2-9y^2$
(3) 该式中相同项为$-a$，互为相反数的项为$b$和$-b$，即$a=-a$，$b=b$，代入公式得：
$(-a+b)(-a-b)=(-a)^2-b^2=a^2-b^2$
(4) 先将两个数凑整：$198=200-2$，$202=200+2$，此时相同项为$200$，互为相反数的项为$-2$和$2$，即$a=200$，$b=2$，代入公式得：
$198×202=(200-2)(200+2)=200^2-2^2=40000-4=39996$
【答案】
(1)$16-25x^2$ (2)$x^2-9y^2$ (3)$a^2-b^2$ (4)$39996$
【知识点】
平方差公式，整式乘法，简便运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，核心是准确识别公式中的$a$和$b$，注意项的符号和乘方运算的化简规则，数字类计算通过凑整套用公式可大幅降低运算量，避免出错。
【难度系数】
0.85
解题要先明确平方差公式：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，公式特点是两个因式中一项完全相同（对应公式中的$a$），另一项互为相反数（对应公式中的$b$）。解题步骤：①先找出每个式子中相同的项$a$和互为相反数的项$b$；②代入平方差公式展开；③化简得到最终结果。对于数字类运算，先将两个数转化为同一个整十/整百数加、减同一个数的形式，再套用公式简化计算。
【解析】
(1) 该式中相同项为$4$，互为相反数的项为$5x$和$-5x$，即$a=4$，$b=5x$，代入公式得：
$(4+5x)(4-5x)=4^2-(5x)^2=16-25x^2$
(2) 该式中相同项为$x$，互为相反数的项为$-3y$和$3y$，即$a=x$，$b=3y$，代入公式得：
$(x-3y)(x+3y)=x^2-(3y)^2=x^2-9y^2$
(3) 该式中相同项为$-a$，互为相反数的项为$b$和$-b$，即$a=-a$，$b=b$，代入公式得：
$(-a+b)(-a-b)=(-a)^2-b^2=a^2-b^2$
(4) 先将两个数凑整：$198=200-2$，$202=200+2$，此时相同项为$200$，互为相反数的项为$-2$和$2$，即$a=200$，$b=2$，代入公式得：
$198×202=(200-2)(200+2)=200^2-2^2=40000-4=39996$
【答案】
(1)$16-25x^2$ (2)$x^2-9y^2$ (3)$a^2-b^2$ (4)$39996$
【知识点】
平方差公式，整式乘法，简便运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，核心是准确识别公式中的$a$和$b$，注意项的符号和乘方运算的化简规则，数字类计算通过凑整套用公式可大幅降低运算量，避免出错。
【难度系数】
0.85
