1 新情境 设计数学探究活动 (2023·德阳中考)在“点燃我的梦想,数学皆有可能”数学创新设计活动中,“智多星”小强设计了一个数学探究活动:对依次排列的两个整式m,n按如下规律进行操作:
第1次操作后得到整式串$m,n,n-m$;
第2次操作后得到整式串$m,n,n-m,-m$;
第3次操作后……
其操作规则为:每次操作增加的项,都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差,小强将这个活动命名为“回头差”游戏,则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是().

A.$m+n$
B.$m$
C.$n-m$
D.$2n$

1.D
[解析]第1次操作后得到的整式串 m,n,n−m;
第2次操作后得到的整式串 m,n,n−m,−m;
第3次操作后得到的整式串 m,n,n−m,−m,−n;
第4次操作后得到的整式串 m,n,n−m,−m,−n,−n+m;
第5次操作后得到的整式串 m,n,n−m,−m,−n,−n+m,m;
第6次操作后得到的整式串 m,n,n−m,−m,−n,−n+m,m,n;
第7次操作后得到的整式串 m,n,n−m,−m,−n,−n+m,m,n,n−m;
…;
第2 023次操作后得到的整式串 m,n,n−m,−m,−n,−n+m,m,n,n−m,…,共2 025个整式.归纳可得以上整式串每六次一循环.每6个整式的整式之和为m+n+(n−m)+(−m)+(−n)+(−n+m)=0.
∵2 025÷6=337……3,
∴第2 023次操作后得到的整式中,求最后三项之和即可,
∴这个和为m+n+(n−m)=2n.故选 D.

2 从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表：
| 加数的个数n | 和 S |
| --- | --- |
| 1 | $2=1×2$ |
| 2 | $2+4=6=2×3$ |
| 3 | $4+6=12=3×4$ |
| 4 | $2+4+6+8=20=4×5$ |
| 5 | $2+4+6+8+10=30=5×6$ |
(1)若$n=8$，则$S$的值为；
(2)根据表中的规律猜想：用含$n$的式子表示$S$的公式为$S=2+4+6+8+…+2n=$；
(3)根据上题的规律计算$102+104+106+108+…+200=$。

2.(1)72 (2)n(n+1)
(3)7 550
[解析]102+104+106+…+200=(2+4+6+…+102+…+200)−(2+4+6+…+100)=100×101−50×51=7 550.

3（2024·牡丹江中考）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形。第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形，…，按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（）。


A.2 022
B.2 023
C.2 024
D.2 025

3.B

4 [问题背景]在$△ ABC$内部有一点$P_1$，连接点$P_1$与$△ ABC$的三个顶点可构成3个不重叠的小三角形(如图(1)).
[探究发现]当$△ ABC$内的点的个数增加时，若其他条件不变，探究三角形内互不重叠的小三角形的个数情况.
(1)填表：

(2)当$△ ABC$内部有2023个点$(P_1,P_2,\dots,P_{2023})$时，三角形内不重叠的小三角形的个数$S$为多少？

4.(1)3 5 7 9
(2)观察图形,可知 S₁=3=2×1+1,S₂=5=2×2+1,S₃=7=2×3+1,S₄=9=2×4+1,…,
∴Sₙ=2n+1(n 为正整数).
当 n=2 023 时,S₂₀₂₃=2×2 023+1=4 047.
故第 2 023 个图形中共有 4 047 个不重叠的小三角形.