14.如图，AB是$\odot O$的直径，过点A作射线AC，P是射线AC上一点，连接OP，过点B作$BD// OP$，交$\odot O$于点D，连接PD.
(1)请补全图形.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)求证:$PA=PD$.

(1) 补全图形
按尺规作图要求，过点B作$BD// OP$，交$\odot O$于点D，连接$PD$，保留作图痕迹即可。
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(2) 证明：
连接$OD$。
$\because BD// OP$，
$\therefore ∠ POA = ∠ OBD$，$∠ POD = ∠ ODB$。
$\because OB$、$OD$都是$\odot O$的半径，
$\therefore OB = OD$，
$\therefore ∠ OBD = ∠ ODB$，
$\therefore ∠ POA = ∠ POD$。
在$△ POA$和$△ POD$中：
$\begin{cases}OA = OD \\∠ POA = ∠ POD \\OP = OP\end{cases}$
$\therefore △ POA ≌ △ POD \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore PA = PD$。

【分析】
(1) 补全图形的核心是用尺规作平行线，依据“同位角相等，两直线平行”的原理，在点B处作一个角等于∠POA，使角的另一边与⊙O交于点D，再连接PD即可完成作图。
(2) 要证明PA=PD，可通过证明两条边所在的三角形全等实现。观察图形，连接OD后，PA属于△POA，PD属于△POD，两个三角形已有公共边OP，且OA、OD都是⊙O的半径，OA=OD，因此只需证明夹角∠POA=∠POD即可。结合BD//OP的平行线性质，以及同圆半径相等推出的等腰三角形底角相等，可推导得到两个角相等，进而用SAS判定三角形全等，即可得到对应边相等。
【解析】
(1) 按照尺规作图要求，利用作一个角等于已知角的方法过点B作$BD// OP$，交$\odot O$于点D，再连接$PD$，保留作图痕迹即可。
(2) 证明：
连接$OD$。
$\because BD// OP$，
$\therefore ∠ POA = ∠ OBD$，$∠ POD = ∠ ODB$。
$\because OB$、$OD$都是$\odot O$的半径，
$\therefore OB = OD$，
$\therefore ∠ OBD = ∠ ODB$，
$\therefore ∠ POA = ∠ POD$。
在$△ POA$和$△ POD$中：
$\begin{cases}OA = OD \\∠ POA = ∠ POD \\OP = OP\end{cases}$
$\therefore △ POA ≌ △ POD \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore PA = PD$。
【答案】
(1) 按尺规作图要求补全BD、PD，保留作图痕迹即可；
(2) 证明成立，$PA=PD$。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；圆的基本性质
【点评】
本题结合圆的背景考查尺规作图与几何证明，作图题考查基础作图技能，证明题需要合理添加辅助线构造全等三角形，综合运用平行线、等腰三角形、全等三角形的性质推导结论，可锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

15.如图是由小正方形组成的$6×6$网格,每个小正方形的顶点叫作格点.已知点A在格点上,$\odot O$经过点A,点B和点D为$\odot O$与横格线的交点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务.
(1)先将点D绕点O旋转$180°$得到点F,再将线段AD绕点O旋转$180°$得到线段EF;(在中作图)
(2)在$\odot O$上画点C(点C异于点A),使$∠ CDB=∠ ADB$.(在中作图)

解：
(1) 作直线DO，交⊙O于点F，点F即为点D绕点O旋转$180°$得到的点；作直线AO，交⊙O于点E，连接EF，线段EF即为线段AD绕点O旋转$180°$得到的线段。
(2) 在⊙O上取点C（异于点A），使$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AB}$，根据同圆中等弧所对的圆周角相等，可得$∠CDB=∠ADB$，点C即为所求。
按上述步骤在对应网格中完成作图即可。

【分析】
(1) 绕点O旋转180°的本质是作关于点O的中心对称图形，根据中心对称的性质：对称点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，因此点D的对应点F是DO延长线与⊙O的另一个交点；点A的对应点E是AO延长线与⊙O的另一个交点，连接EF即可得到AD旋转后的对应线段。
(2) 根据圆周角定理的推论：同圆中，相等的弧所对的圆周角相等，要使∠CDB=∠ADB，只需让两个角所对的弧相等，即$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AB}$，据此在⊙O上找到异于A的点C即可。
【解析】
(1) ①用直尺连接DO并延长，与⊙O交于除D外的另一点，该点即为所求的点F；
②用直尺连接AO并延长，与⊙O交于除A外的另一点，记为点E；
③用直尺连接EF，线段EF即为线段AD绕点O旋转180°得到的线段。
(2) 观察网格特征，在⊙O上找到点C（异于点A），满足$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AB}$，此时根据同圆中等弧对等圆周角的性质，可得∠CDB=∠ADB，点C即为所求。
【答案】
(1) 作直线DO，交⊙O于点F，点F即为点D绕点O旋转$180°$得到的点；作直线AO，交⊙O于点E，连接EF，线段EF即为线段AD绕点O旋转$180°$得到的线段。
(2) 在⊙O上取点C（异于点A），使$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AB}$，根据同圆中等弧所对的圆周角相等，可得$∠CDB=∠ADB$，点C即为所求。
按上述步骤在对应网格中完成作图即可。
【知识点】
中心对称的性质；圆周角定理推论；圆的基本性质
【点评】
本题是网格背景下的几何作图题，综合考查旋转的性质和圆的相关性质，解题的关键是熟练掌握中心对称的特征和圆周角与弧的对应关系，仅借助无刻度直尺连线即可完成作图，侧重对基础性质应用能力的考查。
【难度系数】
0.7