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6. 如果 $|x - 5| + |y + 3| = 0$，求$(x + y)(x - y)$的值。
答案
16.
解析
【分析】
解题时首先回忆绝对值的性质：任意数的绝对值都是非负数，即$\vert a\vert≥0$。两个非负数相加的和为0，说明这两个非负数的值均为0，据此可以分别求出$x$、$y$的值，再将$x$、$y$代入待求代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：根据绝对值的非负性可知：
$\vert x-5\vert≥0$，$\vert y+3\vert≥0$
又$\because\vert x-5\vert+\vert y+3\vert=0$
$\therefore\vert x-5\vert=0$，$\vert y+3\vert=0$
即 $x-5=0$，$y+3=0$
解得：$x=5$，$y=-3$
将$x=5$，$y=-3$代入$(x+y)(x-y)$得：
$\begin{aligned}(x+y)(x-y)&=(5+(-3))×(5-(-3))\\&=2×8\\&=16\end{aligned}$
【答案】
16
【知识点】
绝对值的性质；代数式求值；有理数的乘法运算
【点评】
本题是基础类常考题型，核心考点是绝对值非负性的应用，解题的关键是掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”，代入计算时注意符号运算不要出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆绝对值的性质：任意数的绝对值都是非负数，即$\vert a\vert≥0$。两个非负数相加的和为0，说明这两个非负数的值均为0，据此可以分别求出$x$、$y$的值，再将$x$、$y$代入待求代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：根据绝对值的非负性可知：
$\vert x-5\vert≥0$，$\vert y+3\vert≥0$
又$\because\vert x-5\vert+\vert y+3\vert=0$
$\therefore\vert x-5\vert=0$，$\vert y+3\vert=0$
即 $x-5=0$，$y+3=0$
解得：$x=5$，$y=-3$
将$x=5$，$y=-3$代入$(x+y)(x-y)$得：
$\begin{aligned}(x+y)(x-y)&=(5+(-3))×(5-(-3))\\&=2×8\\&=16\end{aligned}$
【答案】
16
【知识点】
绝对值的性质；代数式求值；有理数的乘法运算
【点评】
本题是基础类常考题型，核心考点是绝对值非负性的应用，解题的关键是掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”，代入计算时注意符号运算不要出错。
【难度系数】
0.8
问题 计算：$(1-\dfrac{1}{2026})(1-\dfrac{1}{2025})(1-\dfrac{1}{2024})\dots(1-\dfrac{1}{3})(1-\dfrac{1}{2}).$
名师指导
本题共有2025个数相乘，找出数与数之间的联系是解题关键。
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
名师指导
本题共有2025个数相乘，找出数与数之间的联系是解题关键。
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
答案
解：
先计算每个括号内的算式：
$1-\dfrac{1}{2026}=\dfrac{2025}{2026}$，
$1-\dfrac{1}{2025}=\dfrac{2024}{2025}$，
$1-\dfrac{1}{2024}=\dfrac{2023}{2024}$，
……
$1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$，
$1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$。
因此原式可转化为：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{2025}{2026}×\dfrac{2024}{2025}×\dfrac{2023}{2024}×\dots×\dfrac{2}{3}×\dfrac{1}{2}\\&=\dfrac{1}{2026}\end{aligned}$
先计算每个括号内的算式：
$1-\dfrac{1}{2026}=\dfrac{2025}{2026}$，
$1-\dfrac{1}{2025}=\dfrac{2024}{2025}$，
$1-\dfrac{1}{2024}=\dfrac{2023}{2024}$，
……
$1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$，
$1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$。
因此原式可转化为：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{2025}{2026}×\dfrac{2024}{2025}×\dfrac{2023}{2024}×\dots×\dfrac{2}{3}×\dfrac{1}{2}\\&=\dfrac{1}{2026}\end{aligned}$
解析
【分析】
观察算式是多个含减法的括号相乘的形式，共有2025个项，若直接逐项计算运算量极大。首先可先计算每个括号内的减法，将其转化为分数形式，再观察分数的分子、分母特点，会发现相邻两个分数中前一个分数的分子与后一个分数的分母相等，可通过约分简化计算，最终快速得到结果。
【解析】
首先计算每个括号内的减法：
$1-\dfrac{1}{2026}=\dfrac{2025}{2026}$，
$1-\dfrac{1}{2025}=\dfrac{2024}{2025}$，
$1-\dfrac{1}{2024}=\dfrac{2023}{2024}$，
……
$1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$，
$1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$。
将上述结果代入原式，可得：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{2025}{2026}×\dfrac{2024}{2025}×\dfrac{2023}{2024}×\dots×\dfrac{2}{3}×\dfrac{1}{2}\\&=\dfrac{1}{2026}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{1}{2026}$
【知识点】
有理数减法；有理数乘法；分数约分
【点评】
本题是有理数运算中的简便计算类题型，解题核心是先化简每个括号内的算式，主动观察相邻项的特点，利用约分规律大幅降低运算量，避免机械计算，侧重对算式规律观察能力的考察。
【难度系数】
0.7
观察算式是多个含减法的括号相乘的形式，共有2025个项，若直接逐项计算运算量极大。首先可先计算每个括号内的减法，将其转化为分数形式，再观察分数的分子、分母特点，会发现相邻两个分数中前一个分数的分子与后一个分数的分母相等，可通过约分简化计算，最终快速得到结果。
【解析】
首先计算每个括号内的减法：
$1-\dfrac{1}{2026}=\dfrac{2025}{2026}$，
$1-\dfrac{1}{2025}=\dfrac{2024}{2025}$，
$1-\dfrac{1}{2024}=\dfrac{2023}{2024}$，
……
$1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$，
$1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$。
将上述结果代入原式，可得：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{2025}{2026}×\dfrac{2024}{2025}×\dfrac{2023}{2024}×\dots×\dfrac{2}{3}×\dfrac{1}{2}\\&=\dfrac{1}{2026}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{1}{2026}$
【知识点】
有理数减法；有理数乘法；分数约分
【点评】
本题是有理数运算中的简便计算类题型，解题核心是先化简每个括号内的算式，主动观察相邻项的特点，利用约分规律大幅降低运算量，避免机械计算，侧重对算式规律观察能力的考察。
【难度系数】
0.7
1. 已知a是整数，且$-3＜a＜4$，则表示a的所有整数的积是
0
。答案
0.
解析
【分析】
解题时先根据给定的a的取值范围和a是整数的条件，罗列出所有符合要求的整数，再计算这些整数的乘积即可。需要注意的是，有理数乘法中只要有一个因数是0，乘积就为0，可利用这个性质简化计算。
【解析】
解：
∵a是整数，且$-3 ＜ a ＜ 4$，
∴符合条件的整数a为：-2、-1、0、1、2、3，
将这些整数相乘可得：
$(-2) × (-1) × 0 × 1 × 2 × 3 = 0$
【答案】
0
【知识点】
不等式的整数解、有理数乘法法则
【点评】
本题是基础运算类题目，解题核心是准确找出取值范围内的所有整数，不要遗漏0，熟练掌握0乘任何数都得0的性质可快速得出答案，减少计算量。
【难度系数】
0.9
解题时先根据给定的a的取值范围和a是整数的条件，罗列出所有符合要求的整数，再计算这些整数的乘积即可。需要注意的是，有理数乘法中只要有一个因数是0，乘积就为0，可利用这个性质简化计算。
【解析】
解：
∵a是整数，且$-3 ＜ a ＜ 4$，
∴符合条件的整数a为：-2、-1、0、1、2、3，
将这些整数相乘可得：
$(-2) × (-1) × 0 × 1 × 2 × 3 = 0$
【答案】
0
【知识点】
不等式的整数解、有理数乘法法则
【点评】
本题是基础运算类题目，解题核心是准确找出取值范围内的所有整数，不要遗漏0，熟练掌握0乘任何数都得0的性质可快速得出答案，减少计算量。
【难度系数】
0.9
2. 有三个互不相等的整数$a,b,c$,如果$abc=3$,那么$a+b+c=$
-3
.答案
$-3$.
解析
【分析】
解题时先根据乘积为3，确定三个整数都是3的整数因数，先列出3的所有整数因数：±1、±3。再结合有理数乘法的符号规律：积为正数时，负因数的个数是偶数（0个或2个），分别讨论两种情况：①负因数0个（全正）：正因数只有1和3，无法凑出3个互不相等的正整数，排除；②负因数2个，正因数1个：从因数中筛选出三个互不相等、乘积为3的数，最后计算三个数的和即可。
【解析】
第一步：列出3的所有整数因数：$\pm1$、$\pm3$。
第二步：根据$abc=3＞0$，由有理数乘法的符号法则可知，三个数中负因数的个数为偶数，即0个或2个。
第三步：讨论负因数个数为0的情况：此时三个数均为正整数，而3的正因数只有1和3两个，无法得到3个互不相等的正整数，该情况不成立。
第四步：讨论负因数个数为2的情况：此时有1个正因数、2个负因数，筛选符合条件的三个互不相等的整数为$1$、$-1$、$-3$，验证乘积：$1×(-1)×(-3)=3$，满足条件。
第五步：计算三个数的和：$1+(-1)+(-3)=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
有理数乘法法则；有理数加法运算；整数因数分解
【点评】
本题核心是结合有理数乘法的符号规则拆分整数因数，解题时需注意先根据积的符号确定负因数的个数，再逐一验证排除不符合条件的情况，避免遗漏负因数的组合。
【难度系数】
0.6
解题时先根据乘积为3，确定三个整数都是3的整数因数，先列出3的所有整数因数：±1、±3。再结合有理数乘法的符号规律：积为正数时，负因数的个数是偶数（0个或2个），分别讨论两种情况：①负因数0个（全正）：正因数只有1和3，无法凑出3个互不相等的正整数，排除；②负因数2个，正因数1个：从因数中筛选出三个互不相等、乘积为3的数，最后计算三个数的和即可。
【解析】
第一步：列出3的所有整数因数：$\pm1$、$\pm3$。
第二步：根据$abc=3＞0$，由有理数乘法的符号法则可知，三个数中负因数的个数为偶数，即0个或2个。
第三步：讨论负因数个数为0的情况：此时三个数均为正整数，而3的正因数只有1和3两个，无法得到3个互不相等的正整数，该情况不成立。
第四步：讨论负因数个数为2的情况：此时有1个正因数、2个负因数，筛选符合条件的三个互不相等的整数为$1$、$-1$、$-3$，验证乘积：$1×(-1)×(-3)=3$，满足条件。
第五步：计算三个数的和：$1+(-1)+(-3)=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
有理数乘法法则；有理数加法运算；整数因数分解
【点评】
本题核心是结合有理数乘法的符号规则拆分整数因数，解题时需注意先根据积的符号确定负因数的个数，再逐一验证排除不符合条件的情况，避免遗漏负因数的组合。
【难度系数】
0.6
3. $-1\dfrac{1}{3}×(-1\dfrac{1}{2})×\dfrac{3}{4}$的结果是
1.5
。答案
1.5.
解析
【分析】
要解这道有理数乘法计算题，第一步先根据有理数乘法的符号法则确定结果的符号：算式中有2个负因数，负因数个数为偶数，所以最终结果为正数；第二步把所有带分数转化为假分数，再计算所有因数绝对值的乘积，计算过程中可以先约分再计算，简化运算量。
【解析】
解：先将带分数化为假分数：
$-1\dfrac{1}{3}=-\dfrac{4}{3}$，$-1\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{2}$
原式$=(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{3}{2})×\dfrac{3}{4}$
根据有理数乘法“同号得正”的规则，先确定符号为正，再计算绝对值的乘积：
$=\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{4}$
约分计算：分子分母的4、3分别约去，得$\dfrac{3}{2}=1.5$
【答案】
1.5
【知识点】
有理数乘法运算；带分数化假分数；分数约分
【点评】
本题属于有理数乘法的基础运算题，解题核心是先判断运算结果的符号，再计算绝对值的乘积，计算时通过先约分再求值的方法可以有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.85
要解这道有理数乘法计算题，第一步先根据有理数乘法的符号法则确定结果的符号：算式中有2个负因数，负因数个数为偶数，所以最终结果为正数；第二步把所有带分数转化为假分数，再计算所有因数绝对值的乘积，计算过程中可以先约分再计算，简化运算量。
【解析】
解：先将带分数化为假分数：
$-1\dfrac{1}{3}=-\dfrac{4}{3}$，$-1\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{2}$
原式$=(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{3}{2})×\dfrac{3}{4}$
根据有理数乘法“同号得正”的规则，先确定符号为正，再计算绝对值的乘积：
$=\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{4}$
约分计算：分子分母的4、3分别约去，得$\dfrac{3}{2}=1.5$
【答案】
1.5
【知识点】
有理数乘法运算；带分数化假分数；分数约分
【点评】
本题属于有理数乘法的基础运算题，解题核心是先判断运算结果的符号，再计算绝对值的乘积，计算时通过先约分再求值的方法可以有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.85
4. 计算：$\frac{1}{3}×(-5)-\frac{1}{3}×13=$
-6
.答案
$-6$.
解析
【分析】
观察算式可以发现，两个乘法项中都含有相同的因数$\frac{1}{3}$，因此可以逆用乘法分配律进行简便计算，避免分别计算乘法再加减的繁琐，同时降低符号出错的概率。解题时先提取公因式$\frac{1}{3}$，再计算括号内的减法，最后计算乘法即可得到结果。
【解析】
解：逆用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{3}×[(-5)-13]\\&=\frac{1}{3}×(-18)\\&=-6\end{aligned}$
也可按常规运算顺序计算：
$\mathrm{原式}=-\frac{5}{3}-\frac{13}{3}=\frac{-5-13}{3}=\frac{-18}{3}=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
有理数乘法运算；乘法分配律；有理数混合运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，重点考查简便运算方法的运用，熟练掌握乘法分配律的逆用能有效提升计算效率，计算过程中要格外注意运算符号的处理，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
观察算式可以发现，两个乘法项中都含有相同的因数$\frac{1}{3}$，因此可以逆用乘法分配律进行简便计算，避免分别计算乘法再加减的繁琐，同时降低符号出错的概率。解题时先提取公因式$\frac{1}{3}$，再计算括号内的减法，最后计算乘法即可得到结果。
【解析】
解：逆用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{3}×[(-5)-13]\\&=\frac{1}{3}×(-18)\\&=-6\end{aligned}$
也可按常规运算顺序计算：
$\mathrm{原式}=-\frac{5}{3}-\frac{13}{3}=\frac{-5-13}{3}=\frac{-18}{3}=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
有理数乘法运算；乘法分配律；有理数混合运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，重点考查简便运算方法的运用，熟练掌握乘法分配律的逆用能有效提升计算效率，计算过程中要格外注意运算符号的处理，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
5. 若$x+y＞0,xy＜0$,且$x＞y$,则$|x|$
＞
$|y|$（选填“＞”“＜”或“=”）。答案
＞.
解析
【分析】
首先根据有理数乘法的符号规律，由xy＜0可判断x和y异号；再结合x＞y的条件，能推出x是正数、y是负数；最后根据有理数异号两数相加的法则，和的符号与绝对值更大的加数一致，已知x+y＞0即和为正，就可以得出正数x的绝对值更大的结论。
【解析】
解：
1. 因为$xy＜0$，根据“两数相乘，异号得负”，可知$x$和$y$异号，即一个为正数，一个为负数。
2. 又因为$x＞y$，正数大于一切负数，因此可判断$x$是正数，$y$是负数。
3. 已知$x+y＞0$，根据异号两数相加的法则：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，现在和为正数，说明作为正数的加数$x$的绝对值更大，因此$|x|＞|y|$。
【答案】
＞
【知识点】
有理数乘法符号判定，有理数加法法则，绝对值的意义
【点评】
本题属于有理数运算的基础应用类题目，需要结合多个已知条件逐步推导数的正负属性，再结合加法法则判断绝对值大小，能很好地考察对有理数运算法则的理解和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
首先根据有理数乘法的符号规律，由xy＜0可判断x和y异号；再结合x＞y的条件，能推出x是正数、y是负数；最后根据有理数异号两数相加的法则，和的符号与绝对值更大的加数一致，已知x+y＞0即和为正，就可以得出正数x的绝对值更大的结论。
【解析】
解：
1. 因为$xy＜0$，根据“两数相乘，异号得负”，可知$x$和$y$异号，即一个为正数，一个为负数。
2. 又因为$x＞y$，正数大于一切负数，因此可判断$x$是正数，$y$是负数。
3. 已知$x+y＞0$，根据异号两数相加的法则：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，现在和为正数，说明作为正数的加数$x$的绝对值更大，因此$|x|＞|y|$。
【答案】
＞
【知识点】
有理数乘法符号判定，有理数加法法则，绝对值的意义
【点评】
本题属于有理数运算的基础应用类题目，需要结合多个已知条件逐步推导数的正负属性，再结合加法法则判断绝对值大小，能很好地考察对有理数运算法则的理解和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
6. 计算:(1) $-0.75×(-0.4)×1\dfrac{2}{3}$；(2) $16×(-18)×0.25×(-100)$。
答案
(1) $\dfrac{1}{2}$；(2) $7\ 200$.
解析
【分析】
本题考查有理数的连乘运算，解题思路如下：1. 先根据有理数乘法符号法则判断积的符号：负因数个数为偶数时，积为正；负因数个数为奇数时，积为负；2. 把小数、带分数统一转化为分数，再结合乘法交换律、结合律对算式变形，简化绝对值的计算过程，最后求出结果。
【解析】
(1) 先确定符号：算式中有2个负因数，积为正，再将各数化成分数计算：
原式$=0.75×0.4×1\dfrac{2}{3}$
$=\dfrac{3}{4}×\dfrac{2}{5}×\dfrac{5}{3}$
约分后计算得：$\dfrac{3}{4}×\dfrac{2}{5}×\dfrac{5}{3}=\dfrac{1}{2}$
(2) 先确定符号：算式中有2个负因数，积为正，利用乘法交换律、结合律分组简便计算：
原式$=16×18×0.25×100$
$=(16×0.25)×(18×100)$
$=4×1800$
$=7200$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{2}$；(2) $7200$
【知识点】
有理数乘法法则；乘法运算律；分数小数互化
【点评】
本题属于有理数乘法的基础运算题，解题核心是先定符号再算绝对值，合理运用乘法运算律可以大幅提升计算效率，降低出错概率。
【难度系数】
0.9
本题考查有理数的连乘运算，解题思路如下：1. 先根据有理数乘法符号法则判断积的符号：负因数个数为偶数时，积为正；负因数个数为奇数时，积为负；2. 把小数、带分数统一转化为分数，再结合乘法交换律、结合律对算式变形，简化绝对值的计算过程，最后求出结果。
【解析】
(1) 先确定符号：算式中有2个负因数，积为正，再将各数化成分数计算：
原式$=0.75×0.4×1\dfrac{2}{3}$
$=\dfrac{3}{4}×\dfrac{2}{5}×\dfrac{5}{3}$
约分后计算得：$\dfrac{3}{4}×\dfrac{2}{5}×\dfrac{5}{3}=\dfrac{1}{2}$
(2) 先确定符号：算式中有2个负因数，积为正，利用乘法交换律、结合律分组简便计算：
原式$=16×18×0.25×100$
$=(16×0.25)×(18×100)$
$=4×1800$
$=7200$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{2}$；(2) $7200$
【知识点】
有理数乘法法则；乘法运算律；分数小数互化
【点评】
本题属于有理数乘法的基础运算题，解题核心是先定符号再算绝对值，合理运用乘法运算律可以大幅提升计算效率，降低出错概率。
【难度系数】
0.9
7. 若定义一种新的运算“*”，规定有理数 $a*b = -ab$，如 $2*3 = -2×3 = -6$。
（1）求 $3*(-4)$ 的值。（2）求 $(-2)*(6*3)$ 的值。
（1）求 $3*(-4)$ 的值。（2）求 $(-2)*(6*3)$ 的值。
答案
解：(1) $3 * (- 4) = -3×(-4)=12$. (2) $6 * 3 = -6×3 = -18$,所以$(-2) *(6 * 3)=(-2) * (-18)=-(-2)×(-18)=-36$.
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题首先要准确理解新运算“*”的规则：两个有理数进行“*”运算，结果等于这两个数乘积的相反数。运算顺序和常规四则运算一致，有括号时要先计算括号内的运算，再计算括号外的运算。
第（1）问直接把$a=3$、$b=-4$代入新运算公式计算即可；第（2）问先按照规则算出括号内$6*3$的结果，再把这个结果作为新的运算数，和$-2$一起代入公式计算最终结果。
【解析】
（1）根据新运算规则$a*b=-ab$，将$a=3$，$b=-4$代入得：
$3*(-4)=-3×(-4)=12$
（2）先计算括号内的$6*3$，将$a=6$，$b=3$代入规则得：
$6*3=-6×3=-18$
再计算$(-2)*(-18)$，将$a=-2$，$b=-18$代入规则得：
$(-2)*(-18)=-(-2)×(-18)=-36$
【答案】
（1）$\boxed{12}$；（2）$\boxed{-36}$
【知识点】
新定义运算，有理数乘法，混合运算顺序
【点评】
本题解题核心是准确把握新运算的换算规则，运算时遵循常规的混合运算顺序，计算有理数乘法时要特别注意符号的判断，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.85
本题是新定义运算类题目，解题首先要准确理解新运算“*”的规则：两个有理数进行“*”运算，结果等于这两个数乘积的相反数。运算顺序和常规四则运算一致，有括号时要先计算括号内的运算，再计算括号外的运算。
第（1）问直接把$a=3$、$b=-4$代入新运算公式计算即可；第（2）问先按照规则算出括号内$6*3$的结果，再把这个结果作为新的运算数，和$-2$一起代入公式计算最终结果。
【解析】
（1）根据新运算规则$a*b=-ab$，将$a=3$，$b=-4$代入得：
$3*(-4)=-3×(-4)=12$
（2）先计算括号内的$6*3$，将$a=6$，$b=3$代入规则得：
$6*3=-6×3=-18$
再计算$(-2)*(-18)$，将$a=-2$，$b=-18$代入规则得：
$(-2)*(-18)=-(-2)×(-18)=-36$
【答案】
（1）$\boxed{12}$；（2）$\boxed{-36}$
【知识点】
新定义运算，有理数乘法，混合运算顺序
【点评】
本题解题核心是准确把握新运算的换算规则，运算时遵循常规的混合运算顺序，计算有理数乘法时要特别注意符号的判断，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.85
