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5. 如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过矩形OABC的顶点B，OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上. 若点A(2，0)，点C(0，4)，则k的值为 (
A.8
B.6
C.−8
D.−6
A
)A.8
B.6
C.−8
D.−6
答案
5. A
解析
【分析】
要确定反比例函数中k的值，需先得到反比例函数图象上已知点的坐标。本题中反比例函数过矩形顶点B，因此先利用矩形的性质求出点B的坐标，再将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出k值。
【解析】
∵ 四边形OABC是矩形，OA在x轴正半轴，OC在y轴正半轴，
∴ 点B的横坐标与点A的横坐标相同，点B的纵坐标与点C的纵坐标相同。
∵ A(2,0)，C(0,4)，
∴ B点坐标为(2,4)。
又
∵ 点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
将B(2,4)代入解析式得：$4=\frac{k}{2}$，
解得$k=2×4=8$。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是结合矩形的坐标特征准确得到点B的坐标，再代入反比例函数解析式计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
要确定反比例函数中k的值，需先得到反比例函数图象上已知点的坐标。本题中反比例函数过矩形顶点B，因此先利用矩形的性质求出点B的坐标，再将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出k值。
【解析】
∵ 四边形OABC是矩形，OA在x轴正半轴，OC在y轴正半轴，
∴ 点B的横坐标与点A的横坐标相同，点B的纵坐标与点C的纵坐标相同。
∵ A(2,0)，C(0,4)，
∴ B点坐标为(2,4)。
又
∵ 点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
将B(2,4)代入解析式得：$4=\frac{k}{2}$，
解得$k=2×4=8$。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是结合矩形的坐标特征准确得到点B的坐标，再代入反比例函数解析式计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
6. 如图，这是反比例函数$y=\frac{k}{x}$在第一象限内的图象. 若$△ AOB$的面积是2，则k的值为（
A.2
B.$-2$
C.4
D.$-4$
C
）A.2
B.$-2$
C.4
D.$-4$
答案
6. C
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴（或y轴）作垂线，该点、垂足、原点三点构成的直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$。首先结合反比例函数所在的第一象限，判断k的符号为正，排除负的选项；再将已知的三角形面积代入面积公式，即可求出k的值。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵点A在第一象限的反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上，
∴$k=xy$，且$x＞0,y＞0$，即$k＞0$。
由图可知$△ AOB$为直角三角形，$OB=x$，$AB=y$，
则$△ AOB$的面积$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OB× AB=\frac{1}{2}xy=2$，
将$k=xy$代入得：$\frac{1}{2}k=2$，
解得$k=4$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握反比例函数k的几何意义，解题时要注意结合函数图象所在的象限判断k的符号，避免忽略符号导致错选。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反比例函数系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴（或y轴）作垂线，该点、垂足、原点三点构成的直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$。首先结合反比例函数所在的第一象限，判断k的符号为正，排除负的选项；再将已知的三角形面积代入面积公式，即可求出k的值。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵点A在第一象限的反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上，
∴$k=xy$，且$x＞0,y＞0$，即$k＞0$。
由图可知$△ AOB$为直角三角形，$OB=x$，$AB=y$，
则$△ AOB$的面积$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OB× AB=\frac{1}{2}xy=2$，
将$k=xy$代入得：$\frac{1}{2}k=2$，
解得$k=4$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握反比例函数k的几何意义，解题时要注意结合函数图象所在的象限判断k的符号，避免忽略符号导致错选。
【难度系数】
0.8
7. 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象如图所示，$AB// y$轴，若$△ ABC$的面积为5，则k的值为（
A.$-5$
B.$\frac{5}{2}$
C.$-10$
D.$-15$
C
）A.$-5$
B.$\frac{5}{2}$
C.$-10$
D.$-15$
答案
7. C
解析
【分析】首先观察图像可知反比例函数图象在第二象限，可判断$k＜0$；已知$AB// y$轴，可得$AB$垂直于$x$轴，$B$在$x$轴上，$C$在$y$轴上，可结合三角形面积公式和反比例函数的性质求解。设点$A$坐标为$(x,\frac{k}{x})$（$x＜0$），则$B$点坐标为$(x,0)$，$AB$的长度为点$A$的纵坐标，点$C$到$AB$的水平距离等于点$A$横坐标的绝对值，代入面积公式即可消去未知数$x$，求出$k$的值。
【解析】解：设点$A$的坐标为$(x,\frac{k}{x})$，由图象可知点$A$在第二象限，因此$x＜0$，$\frac{k}{x}＞0$，即$k＜0$。
$\because AB// y$轴，点$B$在$x$轴上，
$\therefore$点$B$的坐标为$(x,0)$，$AB$的长度为$\frac{k}{x}-0=\frac{k}{x}$，
又$\because$点$C$在$y$轴上，直线$AB$的横坐标为定值$x$，
$\therefore$点$C$到直线$AB$的距离为$|0-x|=-x$（$x＜0$，去绝对值后为$-x$）。
已知$S_{△ ABC}=5$，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× 点C到AB的距离$
代入得：
$\frac{1}{2}× \frac{k}{x}× (-x)=5$
化简得：$\frac{1}{2}× (-k)=5$
解得：$k=-10$
【答案】C
【知识点】反比例函数k的几何意义，三角形面积计算，反比例函数图象性质
【点评】本题考查反比例函数相关性质的应用，解题关键是利用平行线的特征找到三角形的底、高和反比例函数上点的坐标的关联，计算时注意坐标的符号，避免符号错误。
【难度系数】0.65
【解析】解：设点$A$的坐标为$(x,\frac{k}{x})$，由图象可知点$A$在第二象限，因此$x＜0$，$\frac{k}{x}＞0$，即$k＜0$。
$\because AB// y$轴，点$B$在$x$轴上，
$\therefore$点$B$的坐标为$(x,0)$，$AB$的长度为$\frac{k}{x}-0=\frac{k}{x}$，
又$\because$点$C$在$y$轴上，直线$AB$的横坐标为定值$x$，
$\therefore$点$C$到直线$AB$的距离为$|0-x|=-x$（$x＜0$，去绝对值后为$-x$）。
已知$S_{△ ABC}=5$，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× 点C到AB的距离$
代入得：
$\frac{1}{2}× \frac{k}{x}× (-x)=5$
化简得：$\frac{1}{2}× (-k)=5$
解得：$k=-10$
【答案】C
【知识点】反比例函数k的几何意义，三角形面积计算，反比例函数图象性质
【点评】本题考查反比例函数相关性质的应用，解题关键是利用平行线的特征找到三角形的底、高和反比例函数上点的坐标的关联，计算时注意坐标的符号，避免符号错误。
【难度系数】0.65
8. 某新款茶吧机开机加热时，每分钟上升13 ℃，加热到100 ℃后停止加热，水温开始下降，此时水温 y（单位：℃）与通电时间 x（单位：min）近似成反比例函数关系。当水温降至60 ℃时，茶吧机处于恒温保温状态，若要再次加热，启动加热开关即可。当前水温为22 ℃，接通电源开始加热，水温 y（单位：℃）与通电时间 x（单位：min）之间的关系如图所示。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若要求沏茶的最佳水温不低于80 ℃，求从当前水温22 ℃开始加热，到茶吧机处于恒温保温状态的过程中，最佳沏茶的时间有多久。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若要求沏茶的最佳水温不低于80 ℃，求从当前水温22 ℃开始加热，到茶吧机处于恒温保温状态的过程中，最佳沏茶的时间有多久。
答案
解（1）由题意得$(100-22)÷13=6$（min）。
所以当$x=6$时，$y=100$。设$y=\frac{k}{x}$。将$x=6$，$y=100$代入，得$100=\frac{k}{6}$。所以$k=600$。
所以$y=\frac{600}{x}$。
（2）由题意得$(80-22)÷13=\frac{58}{13}$（min）。将$y=80$代入$y=\frac{600}{x}$，得$80=\frac{600}{x}$。所以$x=\frac{15}{2}$。
所以$\frac{15}{2}-\frac{58}{13}=\frac{79}{26}$（min）。
所以最佳沏茶的时间有$\frac{79}{26}\ \mathrm{min}$。
所以当$x=6$时，$y=100$。设$y=\frac{k}{x}$。将$x=6$，$y=100$代入，得$100=\frac{k}{6}$。所以$k=600$。
所以$y=\frac{600}{x}$。
（2）由题意得$(80-22)÷13=\frac{58}{13}$（min）。将$y=80$代入$y=\frac{600}{x}$，得$80=\frac{600}{x}$。所以$x=\frac{15}{2}$。
所以$\frac{15}{2}-\frac{58}{13}=\frac{79}{26}$（min）。
所以最佳沏茶的时间有$\frac{79}{26}\ \mathrm{min}$。
解析
【分析】
（1）求反比例函数解析式，首先要先确定停止加热时对应的时间和水温，得到反比例函数经过的点的坐标，再用待定系数法代入计算即可得到解析式。
（2）要算最佳沏茶的时长，需分别找到加热阶段水温第一次达到80℃的时间，和降温阶段水温降到80℃的时间，两个时间的差值就是水温不低于80℃的总时长。
【解析】
（1）先计算加热到100℃需要的时间：
已知初始水温22℃，加热时每分钟上升13℃，则升温至100℃的时间为$(100-22)÷ 13=6$（min），即反比例函数过点$(6,100)$。
设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，把$x=6$，$y=100$代入解析式，得：
$100=\frac{k}{6}$，解得$k=6×100=600$，
因此反比例函数的解析式为$y=\frac{600}{x}$。
（2）首先计算加热阶段水温上升到80℃的时间：
升温至80℃所需时间为$(80-22)÷13=\frac{58}{13}$（min）。
再计算降温阶段水温降到80℃对应的时间：
把$y=80$代入$y=\frac{600}{x}$，得$80=\frac{600}{x}$，解得$x=\frac{600}{80}=\frac{15}{2}$（min）。
则最佳沏茶的时长为$\frac{15}{2}-\frac{58}{13}=\frac{195-116}{26}=\frac{79}{26}$（min）。
【答案】
（1）$y=\frac{600}{x}$；（2）$\frac{79}{26}\ \mathrm{min}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的实际应用，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查函数的综合应用，解题核心是明确不同水温变化阶段对应的函数类型，准确提取关键点的坐标代入计算，难度不高，需要注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
（1）求反比例函数解析式，首先要先确定停止加热时对应的时间和水温，得到反比例函数经过的点的坐标，再用待定系数法代入计算即可得到解析式。
（2）要算最佳沏茶的时长，需分别找到加热阶段水温第一次达到80℃的时间，和降温阶段水温降到80℃的时间，两个时间的差值就是水温不低于80℃的总时长。
【解析】
（1）先计算加热到100℃需要的时间：
已知初始水温22℃，加热时每分钟上升13℃，则升温至100℃的时间为$(100-22)÷ 13=6$（min），即反比例函数过点$(6,100)$。
设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，把$x=6$，$y=100$代入解析式，得：
$100=\frac{k}{6}$，解得$k=6×100=600$，
因此反比例函数的解析式为$y=\frac{600}{x}$。
（2）首先计算加热阶段水温上升到80℃的时间：
升温至80℃所需时间为$(80-22)÷13=\frac{58}{13}$（min）。
再计算降温阶段水温降到80℃对应的时间：
把$y=80$代入$y=\frac{600}{x}$，得$80=\frac{600}{x}$，解得$x=\frac{600}{80}=\frac{15}{2}$（min）。
则最佳沏茶的时长为$\frac{15}{2}-\frac{58}{13}=\frac{195-116}{26}=\frac{79}{26}$（min）。
【答案】
（1）$y=\frac{600}{x}$；（2）$\frac{79}{26}\ \mathrm{min}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的实际应用，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查函数的综合应用，解题核心是明确不同水温变化阶段对应的函数类型，准确提取关键点的坐标代入计算，难度不高，需要注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
