1. 命题“对顶角相等”是 （）

A.角的定义
B.假命题
C.基本事实
D.定理

D

【分析】
拿到这道题首先要明确每个选项对应的概念，再结合“对顶角相等”这个命题的属性逐一排查。首先回忆四个选项的定义：角的定义是用来界定什么是角的表述；假命题是错误的命题；基本事实是人们在长期实践中总结出来的、不需要证明的真命题，可作为证明其他命题的依据；定理是经过推理证明得到的真命题。接下来判断“对顶角相等”的属性：首先它是正确的真命题，可排除B；它不是解释角的定义，可排除A；最后判断它是基本事实还是定理：对顶角相等可以通过“同角的补角相等”推理证明得到，不属于不需要证明的基本事实，因此属于定理，对应选项D。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 角的定义是描述角的构成（有公共端点的两条射线组成的图形）的相关概念，与“对顶角相等”这个性质命题无关，故A错误；
B. 对顶角确实是相等的，该命题是真命题，不是假命题，故B错误；
C. 基本事实是无需证明、被大众公认的真命题（如两点确定一条直线），而对顶角相等可以通过“同角的补角相等”推理证实，不属于基本事实，故C错误；
D. 定理是经过严格推理证明得到的真命题，对顶角相等符合定理的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
命题的分类、定理的定义、对顶角的性质
【点评】
本题考查对几何相关基本概念的辨析，解题的关键是明确基本事实、定理、假命题等概念的差异，只要准确掌握相关概念就能快速作答。
【难度系数】
0.8

2. 下列说法正确的是 （）

A.命题一定有逆命题
B.所有的定理一定有逆定理
C.真命题的逆命题一定是真命题
D.假命题的逆命题一定是假命题

A

【分析】
解决本题首先需要明确命题、逆命题、定理、逆定理的基本定义，再结合实例逐一判断每个选项的正误：①先回忆命题的构成：所有命题都包含题设和结论两部分，将题设和结论互换即可得到原命题的逆命题，由此判断选项A；②再明确定理是经过证明的真命题，而逆定理需要同时满足是原定理的逆命题、本身为真命题两个条件，结合常见的命题实例即可判断B、C、D选项的正误。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 任何命题都由题设和结论两部分组成，将命题的题设和结论互换就能得到它的逆命题，因此命题一定有逆命题，该选项说法正确。
B. 定理是已经被证明为真的命题，但定理的逆命题不一定为真命题，只有逆命题也为真命题时，才称其为原定理的逆定理。例如定理“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，因此该定理没有逆定理，不是所有定理都有逆定理，该选项说法错误。
C. 真命题的逆命题不一定是真命题，例如真命题“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，该选项说法错误。
D. 假命题的逆命题不一定是假命题，例如假命题“相等的角是对顶角”的逆命题“对顶角相等”是真命题，该选项说法错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
命题与逆命题；定理与逆定理；命题真假判断
【点评】
本题属于命题相关的基础概念题，解题核心是理解命题和逆命题的对应关系，明确原命题的真假和它的逆命题的真假没有必然联系，同时要注意区分定理和逆定理的关系，牢记常见的命题实例可以快速判断选项正误。
【难度系数】
0.8

3. 下列说法错误的是 （）

A.命题是判断一件事情正确或不正确的句子
B.基本事实的正确性必须得到证明
C.证明假命题举一个反例即可
D.演绎推理的过程叫作证明

B

【分析】
这是一道几何基础概念辨析题，要求选出错误的说法。解题时需要先明确各相关概念的准确内涵，再逐一核对每个选项的表述是否符合概念定义，即可找到错误选项。首先回忆命题、基本事实、假命题判定方法、证明的定义，逐个判断选项正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 命题的定义就是判断一件事情正确或不正确的句子，包括真命题和假命题，该说法正确，不符合题意；
B. 基本事实（也叫公理）是人们长期实践总结出来的公认的真命题，它的正确性不需要证明，是证明其他命题的初始依据，该说法错误，符合题意；
C. 证明一个命题是假命题，只需举出一个反例（满足命题的条件，但不满足命题的结论）即可，该说法正确，不符合题意；
D. 演绎推理的过程就是证明，也就是通过已知的真命题推理证实待证命题真实性的过程，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
命题的概念；基本事实的特征；证明的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对几何入门阶段相关基础概念的识记和理解，只要准确掌握各个概念的特点，就能轻松作答。
【难度系数】
0.8

4. 阅读下面材料，①～④步中的数学依据错误的是（）
如图，已知直线$ b // c $，$ a ⊥ b $，
求证：$ a ⊥ c $。
证明：①∵$ a ⊥ b $，(已知)
∴$ ∠ 1 = 90° $.(垂直的定义)
又∵$ b // c $，(已知)
②∴$ ∠ 1 = ∠ 2 $.(同位角相等，两直线平行)
③∴$ ∠ 2 = ∠ 1 = 90° $.(等量代换)
④∴$ a ⊥ c $.(垂直的定义)

A.①
B.②
C.③
D.④

B

【分析】
拿到这道题，我们需要逐一审视证明过程中每一步的数学依据是否匹配该步的逻辑推导关系。首先要明确几个定理的适用场景：垂直的定义既可以由两直线垂直推出夹角为90°，也可以由夹角为90°推出两直线垂直；平行线的判定是由角的数量关系推两直线平行的位置关系，平行线的性质是由两直线平行的位置关系推角的数量关系，二者因果顺序相反。接下来我们逐一核对每一步的推导和对应依据，就能找出错误的选项。
【解析】
我们逐个分析每一步的依据：
1. 步骤①：已知$a⊥b$，根据垂直的定义，两条直线互相垂直时夹角为$90°$，因此可得$∠ 1=90°$，该步依据正确。
2. 步骤②：已知$b// c$，$∠ 1$和$∠ 2$是直线$b$、$c$被直线$a$所截形成的同位角，此时是由两直线平行的位置关系推导角的数量关系，依据应为“两直线平行，同位角相等”。题中所写的“同位角相等，两直线平行”是平行线的判定定理，作用是由角相等推平行，和该步的推导逻辑相反，因此该步依据错误。
3. 步骤③：已经得到$∠ 1=90°$且$∠ 1=∠ 2$，将$∠ 1$替换为$90°$得到$∠ 2=90°$，属于等量代换，该步依据正确。
4. 步骤④：已知$∠ 2=90°$，即直线$a$、$c$的夹角为$90°$，根据垂直的定义可推出$a⊥c$，该步依据正确。
综上，依据错误的是步骤②，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
垂直的定义；平行线的性质；平行线的判定
【点评】
本题核心考查平行线的性质与判定的区别，解题时要理清推导的因果关系：由平行推角的关系用性质定理，由角的关系推平行用判定定理，二者的逻辑顺序不能混淆，属于几何证明入门阶段的常见易错题。
【难度系数】
0.7

5.甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖.在比赛结果揭晓之前，四个人进行了如下猜测：
甲:两名获奖者在乙、丙、丁中.
乙:我没有获奖，丙获奖了.
丙:甲、乙两个人中有且只有一个人获奖.
丁:乙说得对.
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，
则两名获奖者为
（）

A.甲、丁
B.甲、丙
C.乙、丁
D.以上都不正确

C
【点拨】①假设乙、丁的猜测成立，则甲、丙的猜测不成立，根据乙、丁的猜测可知，乙没有获奖，丙获奖，则甲、丁中必有一人获奖，由甲的猜测不成立可知甲获奖，这与丙的猜测不成立相矛盾，故乙、丁的猜测不成立.②假设乙、丁的猜测不成立，则甲、丙的猜测成立，则丙不获奖，乙获奖，甲不获奖，丁获奖.从而获奖的是乙和丁.故选C.

【分析】
首先观察四人的猜测可发现，乙和丁的表述完全一致，因此二人的猜测必然同真同假。结合题干“有且只有两个人的猜测正确”的条件，可将问题分为两种情况讨论：①乙、丁猜测均正确，甲、丙猜测均错误；②乙、丁猜测均错误，甲、丙猜测均正确。接下来分别对两种情况进行验证，若推导过程出现矛盾则排除该情况，最终符合所有条件的情况即为正确结论。
【解析】
我们分两种假设进行推理：
①假设乙、丁的猜测成立，则甲、丙的猜测不成立。
根据乙的猜测可知：乙没有获奖，丙获奖，此时另一名获奖者在甲、丁中。
由甲的猜测不成立可知，“两名获奖者在乙、丙、丁中”是假命题，即甲是获奖者之一，此时获奖者为甲、丙。
此时验证丙的猜测：“甲、乙两个人中有且只有一个人获奖”，甲获奖、乙未获奖，该表述是正确的，与假设中“丙的猜测不成立”矛盾，因此该假设不成立。
②假设乙、丁的猜测不成立，则甲、丙的猜测成立。
由乙的猜测不成立可知：乙获奖或丙未获奖。
由甲的猜测成立可知：两名获奖者在乙、丙、丁中，即甲未获奖。
由丙的猜测成立可知：甲、乙中有且只有一人获奖，结合甲未获奖的结论，可推出乙一定获奖。
乙获奖说明乙的前半句表述错误，符合乙猜测不成立的条件，同时可推出乙表述里的“丙获奖”也不成立，即丙未获奖。
现在已知甲、丙均未获奖，两名获奖者只能是乙和丁，所有条件均符合。
【答案】
C
【知识点】
逻辑推理；假设法；矛盾分析
【点评】
本题是典型的逻辑证明类问题，解题的核心是先找到同真同假的乙、丁的猜测作为突破口，通过分类讨论和矛盾验证排除错误情况，最终得到正确结论，能够有效考查逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.7

6. 教材母题 教材P₇₇练习T₂变式 在括号内填写推理依据：
如图，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1=∠2，∠E=62°，求∠F的度数.
解：∵AB⊥BC，BC⊥CD，（已知）
∴∠ABC=∠BCD=90°.（）
又∵∠1=∠2，（已知）
∴∠EBC=∠BCF.（）
∴EB//CF.（）
∴∠F=∠E.（）
∵∠E=62°，（已知）
∴∠F=62°.（等量代换）

垂直的定义;等式的性质;内错角相等，两直线平行;两直线平行，内错角相等

【分析】
这是一道几何推理依据填写题，解题时我们按推理步骤逐一分析：首先已知两条直线垂直，根据垂直的定义可直接得到夹角为90°；接下来两个相等的90°角分别减去相等的∠1和∠2，剩余的角仍然相等，这符合等式的性质；得到的∠EBC和∠BCF是直线EB、CF被BC所截形成的内错角，内错角相等即可判定两条直线平行；最后两直线平行时，被第三条直线所截形成的内错角∠E和∠F相等，对应平行线的性质，最终通过等量代换得到∠F的度数。
【解析】
我们逐空分析推理依据：
1. 若两条直线互相垂直，则它们的夹角为90°，因此由AB⊥BC，BC⊥CD得到∠ABC=∠BCD=90°的依据是垂直的定义；
2. 已知∠ABC=∠BCD，∠1=∠2，根据等式的性质，等式两边同时减去相等的量，等式仍成立，即∠ABC-∠1=∠BCD-∠2，也就是∠EBC=∠BCF，因此依据是等式的性质；
3. ∠EBC和∠BCF是内错角，内错角相等可判定两条被截直线平行，因此依据是内错角相等，两直线平行；
4. 两直线平行时，内错角相等，因此由EB//CF得到∠F=∠E的依据是两直线平行，内错角相等。
【答案】
垂直的定义;等式的性质;内错角相等，两直线平行;两直线平行，内错角相等
【知识点】
垂直的定义、平行线的判定、平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何推理类题目，主要考查对基础几何定义、定理的掌握和应用能力，熟练掌握相关概念和定理是准确填写推理依据的关键，这类题目能帮助学生建立规范的几何推理逻辑。
【难度系数】
0.8

7. 新考法开放探究法 如图，点C,B,D在一条直线上，$∠ 1=∠ 2$.
(1)请直接添加一个与直线AC有关的条件，由此可得出BE是$∠ ABD$的平分线.
(2)请直接添加一个与$∠ 1$有关的条件，由此可得出BE是$∠ ABD$的平分线.
(3)“点C,B,D在一条直线上，$∠ 1=∠ 2$”不变，请你把(1)中添加的条件与所得的结论互换，所得的命题是否是真命题？并说明理由.

【解】(1)添加 $AC// BE$.
(2)答案不唯一，如$∠1=∠ABE$.
(3)是真命题. 理由: $\because BE$ 是$∠ABD$ 的平分线，
$\therefore ∠ABE=∠DBE$.
$\because$ 点 $C,B,D$ 在一条直线上，
$\therefore ∠ABD=180°-∠ABC=∠1+∠2$.
$\therefore ∠ABE+∠DBE=∠1+∠2$.
又$\because ∠ABE=∠DBE,∠1=∠2$,
$\therefore ∠ABE=∠1,\therefore AC// BE$.

【分析】
(1) 要得到BE是$∠ABD$的平分线，即需要证明$∠ABE=∠DBE$。已知$∠1=∠2$，若添加$AC// BE$，根据平行线的性质可得同位角$∠DBE=∠2$、内错角$∠ABE=∠1$，结合$∠1=∠2$即可推出$∠ABE=∠DBE$，满足角平分线的要求。
(2) 要求添加与$∠1$有关的条件，若添加$∠1=∠ABE$，结合已知$∠1=∠2$，可得$∠ABE=∠2$，再结合平角的性质即可推出$∠DBE=∠ABE$，即可得到BE平分$∠ABD$，答案不唯一，符合要求即可。
(3) 将(1)的条件和结论互换后，命题变为：若BE是$∠ABD$的平分线，求证$AC// BE$。要证平行，只需证明一组内错角或同位角相等，结合角平分线的性质、平角的性质以及已知$∠1=∠2$，可推出$∠1=∠ABE$，根据内错角相等两直线平行即可得证，因此是真命题。
【解析】
(1) 添加条件：$AC// BE$。
(2) 添加条件示例：$∠1=∠ABE$（答案不唯一，$∠1=∠DBE$等符合要求的条件均可）。
(3) 所得命题是真命题，理由如下：
$\because BE$ 是$∠ABD$ 的平分线，
$\therefore ∠ABE=∠DBE$。
$\because$ 点 $C,B,D$ 在一条直线上，
$\therefore ∠ABD=180°-∠ABC=∠1+∠2$。
$\therefore ∠ABE+∠DBE=∠1+∠2$。
又$\because ∠ABE=∠DBE,∠1=∠2$,
$\therefore ∠ABE=∠1$，
$\therefore AC// BE$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) $AC// BE$
(2) 示例：$∠1=∠ABE$（答案不唯一）
(3) 是真命题，理由见解析
【知识点】
1. 平行线的判定与性质
2. 角平分线的定义
3. 平角的性质
【点评】
本题属于开放探究类题型，围绕角平分线、平行线的核心知识点设置问题，既考查了对基础几何性质的运用能力，也锻炼了逆向推导的逻辑思维能力，解题时需结合图形梳理角之间的位置和数量关系。
【难度系数】
0.7