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1[2025江苏常州调研]如图，$\odot O$和直线$l_1$、直线$l_2$在同一平面内，AB是$\odot O$的直径，直线$l_2$是$\odot O$的切线，切点为B，直线$l_1$经过点A，下列条件不能判定直线$l_1$与$\odot O$相切的是（
A.$l_1 // l_2$
B.$l_1 ⊥ AB$
C.$l_1$与$\odot O$只有一个公共点
D.点O到$l_1$上某点的距离等于半径
D
）A.$l_1 // l_2$
B.$l_1 ⊥ AB$
C.$l_1$与$\odot O$只有一个公共点
D.点O到$l_1$上某点的距离等于半径
答案
∵ AB 是$\odot O$ 的直径,且 $l_2$ 是$\odot O$ 的切线,切点为 B,$\therefore l_2 ⊥ AB$. 又$\because l_1// l_2,\therefore l_1 ⊥ AB,\therefore$ 直线 $l_1$ 与$\odot O$ 相切,故选项 A、B 可以判定,不符合题意. 根据圆的切线的定义,可知与圆仅有一个公共点的直线是切线,故选项 C 可以判定,不符合题意. D 选项无法判定直线 $l_1$ 与$\odot O$ 相切. 故选 D.
解析
【分析】
解题时先回忆切线的三类判定方法：①定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；③距离法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。结合已知条件：AB是⊙O直径，l₂是⊙O的切线故l₂⊥AB，点A在⊙O上即OA是⊙O的半径，我们逐个验证选项是否符合切线判定条件，就能选出不能判定的选项。
【解析】
已知AB是⊙O的直径，直线l₂是⊙O的切线，切点为B，根据切线的性质可得$l_2 ⊥ AB$。
选项A：若$l_1 // l_2$，结合$l_2 ⊥ AB$，可得$l_1 ⊥ AB$，又l₁经过半径OA的外端点A，符合切线判定定理，可判定l₁是⊙O的切线，不符合题意；
选项B：若$l_1 ⊥ AB$，同理l₁过半径OA外端A且垂直于OA，符合切线判定定理，可判定l₁是⊙O的切线，不符合题意；
选项C：若$l_1$与$\odot O$只有一个公共点，根据切线的定义，可判定l₁是⊙O的切线，不符合题意；
选项D：若点O到$l_1$上某点的距离等于半径，不能说明圆心O到直线$l_1$的距离等于半径，例如l₁与⊙O相交时，交点到O的距离也等于半径，此时l₁不是切线，故无法判定l₁与⊙O相切，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；切线的性质；平行线的性质
【点评】
本题重点考查切线的判定条件，解题的关键是准确理解切线判定的各个要点，尤其要注意区分“圆心到直线上某点的距离等于半径”和“圆心到直线的距离等于半径”的差异，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆切线的三类判定方法：①定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；③距离法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。结合已知条件：AB是⊙O直径，l₂是⊙O的切线故l₂⊥AB，点A在⊙O上即OA是⊙O的半径，我们逐个验证选项是否符合切线判定条件，就能选出不能判定的选项。
【解析】
已知AB是⊙O的直径，直线l₂是⊙O的切线，切点为B，根据切线的性质可得$l_2 ⊥ AB$。
选项A：若$l_1 // l_2$，结合$l_2 ⊥ AB$，可得$l_1 ⊥ AB$，又l₁经过半径OA的外端点A，符合切线判定定理，可判定l₁是⊙O的切线，不符合题意；
选项B：若$l_1 ⊥ AB$，同理l₁过半径OA外端A且垂直于OA，符合切线判定定理，可判定l₁是⊙O的切线，不符合题意；
选项C：若$l_1$与$\odot O$只有一个公共点，根据切线的定义，可判定l₁是⊙O的切线，不符合题意；
选项D：若点O到$l_1$上某点的距离等于半径，不能说明圆心O到直线$l_1$的距离等于半径，例如l₁与⊙O相交时，交点到O的距离也等于半径，此时l₁不是切线，故无法判定l₁与⊙O相切，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；切线的性质；平行线的性质
【点评】
本题重点考查切线的判定条件，解题的关键是准确理解切线判定的各个要点，尤其要注意区分“圆心到直线上某点的距离等于半径”和“圆心到直线的距离等于半径”的差异，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
2 如图,点 B 在$\odot A$上,点 C 在$\odot A$外,以下条件不能判定 BC 是$\odot A$切线的是 (
A.$∠A=50°,∠C=40°$
B.$∠B - ∠C = ∠A$
C.$AB^2 + BC^2 = AC^2$
D.$\odot A$与 AC 的交点是 AC 中点
(第2题图)
(第3题图)
D
)A.$∠A=50°,∠C=40°$
B.$∠B - ∠C = ∠A$
C.$AB^2 + BC^2 = AC^2$
D.$\odot A$与 AC 的交点是 AC 中点
(第2题图)
(第3题图)
答案
A 选项,$\because ∠A=50^{\circ },∠C=40^{\circ },\therefore ∠B=180^{\circ }-∠A-∠C=90^{\circ },\therefore BC⊥AB.∵$ 点 B 在$\odot A$ 上,$\therefore AB$ 是$\odot A$ 的半径,$\therefore BC$ 是$\odot A$ 的切线. B 选项,$\because ∠B-∠C=∠A,\therefore ∠B=∠A+∠C.\because ∠A+∠B+∠C=180^{\circ },\therefore ∠B=90^{\circ },\therefore BC⊥AB.∵$ 点 B 在$\odot A$ 上,$\therefore AB$ 是$\odot A$ 的半径,$\therefore BC$ 是$\odot A$ 的切线. C 选项,$\because AB^{2}+BC^{2}=AC^{2},\therefore △ ABC$ 是直角三角形,且$∠B=90^{\circ },\therefore BC⊥AB.∵$ 点 B 在$\odot A$ 上,$\therefore AB$ 是$\odot A$ 的半径,$\therefore BC$ 是$\odot A$ 的切线. D 选项,$\because \odot A$ 与 AC 的交点是 AC 中点,$\therefore AB=\frac {1}{2}AC$,但不能证出$∠B=90^{\circ }$,$\therefore$ 不能判定 BC 是$\odot A$ 的切线. 故选 D.
解析
【分析】
要判定BC是$\odot A$的切线，已知点B在$\odot A$上，即AB是$\odot A$的半径，因此只需证明$AB⊥ BC$（即$∠ B=90°$）即可。解题时逐一分析每个选项，判断是否能推出$∠ B=90°$，不能推出的即为符合题意的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知$∠ A=50°$，$∠ C=40°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ B=180°-∠ A-∠ C=180°-50°-40°=90°$，即$AB⊥ BC$。又因为点B在$\odot A$上，AB是半径，所以BC是$\odot A$的切线，该选项不符合题意。
B选项：已知$∠ B-∠ C=∠ A$，变形得$∠ B=∠ A+∠ C$。结合三角形内角和$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，代入得$∠ B+∠ B=180°$，解得$∠ B=90°$，即$AB⊥ BC$。又点B在$\odot A$上，所以BC是$\odot A$的切线，该选项不符合题意。
C选项：由$AB^2+BC^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ B=90°$，即$AB⊥ BC$。又点B在$\odot A$上，所以BC是$\odot A$的切线，该选项不符合题意。
D选项：若$\odot A$与AC的交点是AC中点，可得$AB=\frac{1}{2}AC$，但仅这个条件无法推出$∠ B=90°$，因此不能判定BC是$\odot A$的切线，该选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查切线的判定，解题的关键是明确切线判定的两个必要条件：过半径外端、与该半径垂直，本题已满足第一个条件，只需判断是否满足垂直关系即可，难度不大。
【难度系数】
0.8
要判定BC是$\odot A$的切线，已知点B在$\odot A$上，即AB是$\odot A$的半径，因此只需证明$AB⊥ BC$（即$∠ B=90°$）即可。解题时逐一分析每个选项，判断是否能推出$∠ B=90°$，不能推出的即为符合题意的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知$∠ A=50°$，$∠ C=40°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ B=180°-∠ A-∠ C=180°-50°-40°=90°$，即$AB⊥ BC$。又因为点B在$\odot A$上，AB是半径，所以BC是$\odot A$的切线，该选项不符合题意。
B选项：已知$∠ B-∠ C=∠ A$，变形得$∠ B=∠ A+∠ C$。结合三角形内角和$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，代入得$∠ B+∠ B=180°$，解得$∠ B=90°$，即$AB⊥ BC$。又点B在$\odot A$上，所以BC是$\odot A$的切线，该选项不符合题意。
C选项：由$AB^2+BC^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ B=90°$，即$AB⊥ BC$。又点B在$\odot A$上，所以BC是$\odot A$的切线，该选项不符合题意。
D选项：若$\odot A$与AC的交点是AC中点，可得$AB=\frac{1}{2}AC$，但仅这个条件无法推出$∠ B=90°$，因此不能判定BC是$\odot A$的切线，该选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查切线的判定，解题的关键是明确切线判定的两个必要条件：过半径外端、与该半径垂直，本题已满足第一个条件，只需判断是否满足垂直关系即可，难度不大。
【难度系数】
0.8
3 新考向 开放性试题 如图，AB是$\odot O$的直径，要使得直线AT是$\odot O$的切线，需要添加的一个条件是
$∠ TAC= ∠ B$(答案不唯一)
.(写一个条件即可)答案
∵ AB 是$\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ACB=90^{\circ },\therefore ∠B+∠BAC=90^{\circ }.∵ ∠TAC=∠B,\therefore ∠TAC+∠BAC=90^{\circ }$,即$∠OAT=90^{\circ }.∵ OA$ 是$\odot O$ 的半径, $\therefore$ 直线 AT 是$\odot O$ 的切线. 故答案为$∠ TAC= ∠ B$(答案不唯一).
解析
【分析】
要判定直线AT是$\odot O$的切线，根据切线判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。已知AT已经过半径OA的外端点A，因此只需证明$AB⊥ AT$（即$∠ BAT=90°$）即可。结合AB是直径的条件，直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ACB=90°$，即$∠ B+∠ BAC=90°$，因此只需补充能推出$∠ TAC+∠ BAC=90°$的条件即可，比如$∠ TAC=∠ B$，通过等量代换就能得到$∠ BAT=90°$，满足切线判定要求。
【解析】
添加条件：$\boldsymbol{∠ TAC=∠ B}$（答案不唯一）。
证明：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∴$∠ B + ∠ BAC = 90°$（直角三角形两锐角互余）。
又
∵$∠ TAC = ∠ B$，
∴$∠ TAC + ∠ BAC = 90°$，即$∠ BAT = 90°$，
∴$AB ⊥ AT$。
∵OA是$\odot O$的半径，且AT过半径OA的外端点A，
∴直线AT是$\odot O$的切线。
注：也可添加$AB⊥ AT$、$∠ T + ∠ ABT = 90°$等条件，均可推出AT是切线。
【答案】
$∠TAC=∠B$（答案不唯一）
【知识点】
1. 切线的判定定理
2. 圆周角定理推论
3. 直角三角形性质
【点评】
本题属于开放性基础题，结合圆的性质考查切线的判定方法，解题时需先明确切线判定的核心条件，再结合已知图形的性质反推需要补充的条件，解题思路灵活，答案不唯一，逻辑自洽即可。
【难度系数】
0.8
要判定直线AT是$\odot O$的切线，根据切线判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。已知AT已经过半径OA的外端点A，因此只需证明$AB⊥ AT$（即$∠ BAT=90°$）即可。结合AB是直径的条件，直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ACB=90°$，即$∠ B+∠ BAC=90°$，因此只需补充能推出$∠ TAC+∠ BAC=90°$的条件即可，比如$∠ TAC=∠ B$，通过等量代换就能得到$∠ BAT=90°$，满足切线判定要求。
【解析】
添加条件：$\boldsymbol{∠ TAC=∠ B}$（答案不唯一）。
证明：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∴$∠ B + ∠ BAC = 90°$（直角三角形两锐角互余）。
又
∵$∠ TAC = ∠ B$，
∴$∠ TAC + ∠ BAC = 90°$，即$∠ BAT = 90°$，
∴$AB ⊥ AT$。
∵OA是$\odot O$的半径，且AT过半径OA的外端点A，
∴直线AT是$\odot O$的切线。
注：也可添加$AB⊥ AT$、$∠ T + ∠ ABT = 90°$等条件，均可推出AT是切线。
【答案】
$∠TAC=∠B$（答案不唯一）
【知识点】
1. 切线的判定定理
2. 圆周角定理推论
3. 直角三角形性质
【点评】
本题属于开放性基础题，结合圆的性质考查切线的判定方法，解题时需先明确切线判定的核心条件，再结合已知图形的性质反推需要补充的条件，解题思路灵活，答案不唯一，逻辑自洽即可。
【难度系数】
0.8
4[2025四川资阳中考]如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$AB$是$\odot O$的直径，$∠ BAC$的平分线交$\odot O$于点$D$，过点$D$作$BC$的平行线交$AC$的延长线于点$E$。
(1)求证:$DE$是$\odot O$的切线；
(2)若$∠ BAC=60°,CE=\sqrt{3}$,求$\odot O$的半径。
(1)求证:$DE$是$\odot O$的切线；
(2)若$∠ BAC=60°,CE=\sqrt{3}$,求$\odot O$的半径。
答案
(1)【证明】连接 OD,如图
.∵ $\odot O$ 是$△ ABC$ 的外接圆,AB 是$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ACB=90^{\circ }$,
$OA=OD,\therefore ∠OAD=∠ODA.$
∵ $DE// BC,\therefore ∠AED=∠ACB=90^{\circ }.$
∵ $∠BAC$ 的平分线交$\odot O$ 于点 D, $\therefore ∠EAD=∠BAD,\therefore ∠EAD=∠ADO$,
$\therefore OD// AE,\therefore ∠ODE=180^{\circ }-∠AED=90^{\circ }.∵ OD$ 为$\odot O$ 的半径,$\therefore DE$ 是$\odot O$ 的切线.
(2)【解】设 OD 交 BC 于点 F,如图. $\because ∠BAC=60^{\circ }$,$∠ACB=90^{\circ },\therefore ∠ABC=30^{\circ }.∵ CE// DF,DE// CF$,$∠E=90^{\circ }$,$\therefore$ 四边形 CEDF 为矩形,$\therefore ∠DFC=90^{\circ }$,$DF=CE=\sqrt {3}$,$\therefore ∠OFB=90^{\circ }$. 设$\odot O$ 的半径为 r,则$OB=OD=r,OF=OD-DF=r-\sqrt {3}.\because ∠OFB=90^{\circ }$,$∠ABC=30^{\circ },\therefore OB=2OF,\therefore r=2(r-\sqrt {3}),\therefore r=2\sqrt {3}$,$\therefore \odot O$ 的半径为$2\sqrt {3}$.
解析
【分析】
(1) 要证DE是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需连接半径OD，证明$OD⊥ DE$即可。首先由“直径所对的圆周角为直角”得$∠ ACB=90°$，结合$DE// BC$推出$∠ E=90°$；再利用角平分线的性质和等腰三角形等边对等角的性质，推导角相等得到$OD// AE$，即可得出$∠ ODE=90°$，完成切线的证明。
(2) 先根据平行线和直角的条件判定四边形CEDF是矩形，得到$DF=CE=\sqrt{3}$；再在$Rt△ OFB$中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质，得到OB和OF的数量关系，设$\odot O$半径为r，列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
(1) 【证明】连接OD，如图。
∵ $\odot O$ 是$△ ABC$ 的外接圆，AB 是$\odot O$ 的直径，$\therefore ∠ACB=90^{\circ }$，$OA=OD$，$\therefore ∠OAD=∠ODA$。
∵ $DE// BC$，$\therefore ∠AED=∠ACB=90^{\circ }$。
∵ $∠BAC$ 的平分线交$\odot O$ 于点 D， $\therefore ∠EAD=∠BAD$，$\therefore ∠EAD=∠ADO$，
$\therefore OD// AE$，$\therefore ∠ODE=180^{\circ }-∠AED=90^{\circ }$。
∵ OD 为$\odot O$ 的半径，$\therefore DE$ 是$\odot O$ 的切线。
(2) 【解】设 OD 交 BC 于点 F，如图。
$\because ∠BAC=60^{\circ }$，$∠ACB=90^{\circ }$，$\therefore ∠ABC=30^{\circ }$。
$\because CE// DF$，$DE// CF$，$∠E=90^{\circ }$，$\therefore$ 四边形 CEDF 为矩形，
$\therefore ∠DFC=90^{\circ }$，$DF=CE=\sqrt {3}$，$\therefore ∠OFB=90^{\circ }$。
设$\odot O$ 的半径为 r，则$OB=OD=r$，$OF=OD-DF=r-\sqrt {3}$。
$\because ∠OFB=90^{\circ }$，$∠ABC=30^{\circ }$，$\therefore OB=2OF$，
$\therefore r=2(r-\sqrt {3})$，解得$r=2\sqrt {3}$。
【答案】
(1) 已证DE是$\odot O$的切线；
(2) $\odot O$的半径为$2\sqrt{3}$。
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；矩形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的综合常规题型，考查了切线的证明思路、几何图形中矩形的判定和特殊直角三角形的性质，解题时注意掌握“证切线，连半径，证垂直”的辅助线作法，计算类问题可通过设未知数列方程简化求解，是中考高频考点题型。
【难度系数】
0.65
(1) 要证DE是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需连接半径OD，证明$OD⊥ DE$即可。首先由“直径所对的圆周角为直角”得$∠ ACB=90°$，结合$DE// BC$推出$∠ E=90°$；再利用角平分线的性质和等腰三角形等边对等角的性质，推导角相等得到$OD// AE$，即可得出$∠ ODE=90°$，完成切线的证明。
(2) 先根据平行线和直角的条件判定四边形CEDF是矩形，得到$DF=CE=\sqrt{3}$；再在$Rt△ OFB$中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质，得到OB和OF的数量关系，设$\odot O$半径为r，列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
(1) 【证明】连接OD，如图
。∵ $\odot O$ 是$△ ABC$ 的外接圆，AB 是$\odot O$ 的直径，$\therefore ∠ACB=90^{\circ }$，$OA=OD$，$\therefore ∠OAD=∠ODA$。
∵ $DE// BC$，$\therefore ∠AED=∠ACB=90^{\circ }$。
∵ $∠BAC$ 的平分线交$\odot O$ 于点 D， $\therefore ∠EAD=∠BAD$，$\therefore ∠EAD=∠ADO$，
$\therefore OD// AE$，$\therefore ∠ODE=180^{\circ }-∠AED=90^{\circ }$。
∵ OD 为$\odot O$ 的半径，$\therefore DE$ 是$\odot O$ 的切线。
(2) 【解】设 OD 交 BC 于点 F，如图。
$\because ∠BAC=60^{\circ }$，$∠ACB=90^{\circ }$，$\therefore ∠ABC=30^{\circ }$。
$\because CE// DF$，$DE// CF$，$∠E=90^{\circ }$，$\therefore$ 四边形 CEDF 为矩形，
$\therefore ∠DFC=90^{\circ }$，$DF=CE=\sqrt {3}$，$\therefore ∠OFB=90^{\circ }$。
设$\odot O$ 的半径为 r，则$OB=OD=r$，$OF=OD-DF=r-\sqrt {3}$。
$\because ∠OFB=90^{\circ }$，$∠ABC=30^{\circ }$，$\therefore OB=2OF$，
$\therefore r=2(r-\sqrt {3})$，解得$r=2\sqrt {3}$。
【答案】
(1) 已证DE是$\odot O$的切线；
(2) $\odot O$的半径为$2\sqrt{3}$。
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；矩形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的综合常规题型，考查了切线的证明思路、几何图形中矩形的判定和特殊直角三角形的性质，解题时注意掌握“证切线，连半径，证垂直”的辅助线作法，计算类问题可通过设未知数列方程简化求解，是中考高频考点题型。
【难度系数】
0.65
5[2026江苏连云港期末]如图，AB所在直线与$\odot O$相切于点C，AO交$\odot O$于点D，连接CD，OC。若$∠ ACD=20°$，则$∠ COD$的度数是（
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
（第5题图）
（第6题图）
B
）A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
（第5题图）
（第6题图）
答案
∵ AB 所在直线与$\odot O$ 相切于点 C, $\therefore OC⊥AC$, 即 $∠ACO=90^{\circ }.∵ ∠ACD=20^{\circ }$,$\therefore ∠DCO=70^{\circ }.∵ OD=OC,\therefore ∠ODC=∠DCO=70^{\circ }$,$\therefore ∠COD=180^{\circ }-∠ODC-∠DCO=40^{\circ }$, 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，看到直线与圆相切，优先回忆切线的性质：切线垂直于过切点的半径，由此可得OC垂直AB，得到直角∠ACO；结合已知的∠ACD度数，可求出∠OCD的度数；再根据圆的半径相等，可知△OCD是等腰三角形，两底角相等，最后利用三角形内角和定理即可求出∠COD的度数。
【解析】
∵ AB所在直线与$\odot O$相切于点C，
∴ $OC⊥AC$，即$∠ACO=90^{\circ }$，
∵ $∠ACD=20^{\circ }$，
∴ $∠DCO=∠ACO-∠ACD=90^{\circ }-20^{\circ }=70^{\circ }$，
∵ $OD=OC$（均为$\odot O$的半径），
∴ $∠ODC=∠DCO=70^{\circ }$，
在$△ OCD$中，根据三角形内角和为$180^{\circ }$可得：
$∠COD=180^{\circ }-∠ODC-∠DCO=180^{\circ }-70^{\circ }-70^{\circ }=40^{\circ }$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的几何综合题，核心考查切线性质与三角形性质的结合应用，熟练掌握切线垂直过切点的半径这一关键性质，梳理清楚角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件，看到直线与圆相切，优先回忆切线的性质：切线垂直于过切点的半径，由此可得OC垂直AB，得到直角∠ACO；结合已知的∠ACD度数，可求出∠OCD的度数；再根据圆的半径相等，可知△OCD是等腰三角形，两底角相等，最后利用三角形内角和定理即可求出∠COD的度数。
【解析】
∵ AB所在直线与$\odot O$相切于点C，
∴ $OC⊥AC$，即$∠ACO=90^{\circ }$，
∵ $∠ACD=20^{\circ }$，
∴ $∠DCO=∠ACO-∠ACD=90^{\circ }-20^{\circ }=70^{\circ }$，
∵ $OD=OC$（均为$\odot O$的半径），
∴ $∠ODC=∠DCO=70^{\circ }$，
在$△ OCD$中，根据三角形内角和为$180^{\circ }$可得：
$∠COD=180^{\circ }-∠ODC-∠DCO=180^{\circ }-70^{\circ }-70^{\circ }=40^{\circ }$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的几何综合题，核心考查切线性质与三角形性质的结合应用，熟练掌握切线垂直过切点的半径这一关键性质，梳理清楚角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6[2026江苏连云港期末]如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,P为切点.若两圆半径分别为5 cm,13 cm,则弦AB的长为
24 cm
.答案
如图
,连接 OA. 根据题意得,$OA=13\ \mathrm{cm}$,$OP=5\ \mathrm{cm}$.∵ AB 是小圆的切线,P 为切点,$\therefore OP⊥AB$,$\therefore$ 由勾股定理得 $AP=\sqrt {OA^{2}-OP^{2}}=\sqrt {13^{2}-5^{2}}=12(\mathrm{cm})$,$\therefore AB=2AP=24\ \mathrm{cm}$,故答案为 24 cm.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：AB是小圆的切线，P为切点，两圆半径分别为5cm、13cm。第一步，根据切线的性质，连接过切点的半径OP，可得OP⊥AB；第二步，要算弦AB的长度，结合垂径定理“垂直于弦的半径平分弦”，可知AB=2AP，因此只需求出AP的长度即可；第三步，连接大圆半径OA，得到Rt△OPA，OA、OP的长度已知，用勾股定理就能算出AP，进而得到AB的长度。
【解析】
如图，连接OA，根据题意得：$OA=13\ \mathrm{cm}$，$OP=5\ \mathrm{cm}$。
∵AB是小圆的切线，P为切点，根据切线的性质可得$OP⊥ AB$。
由垂径定理可知$AP=PB$，在$\mathrm{Rt}△ OPA$中，根据勾股定理得：
$AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12(\mathrm{cm})$
$\therefore AB=2AP=2×12=24(\mathrm{cm})$
【答案】
24 cm
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆相关的基础综合题，考查切线性质、垂径定理与勾股定理的结合应用，解题的关键是通过连接半径构造直角三角形，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：AB是小圆的切线，P为切点，两圆半径分别为5cm、13cm。第一步，根据切线的性质，连接过切点的半径OP，可得OP⊥AB；第二步，要算弦AB的长度，结合垂径定理“垂直于弦的半径平分弦”，可知AB=2AP，因此只需求出AP的长度即可；第三步，连接大圆半径OA，得到Rt△OPA，OA、OP的长度已知，用勾股定理就能算出AP，进而得到AB的长度。
【解析】
如图
，连接OA，根据题意得：$OA=13\ \mathrm{cm}$，$OP=5\ \mathrm{cm}$。∵AB是小圆的切线，P为切点，根据切线的性质可得$OP⊥ AB$。
由垂径定理可知$AP=PB$，在$\mathrm{Rt}△ OPA$中，根据勾股定理得：
$AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12(\mathrm{cm})$
$\therefore AB=2AP=2×12=24(\mathrm{cm})$
【答案】
24 cm
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆相关的基础综合题，考查切线性质、垂径定理与勾股定理的结合应用，解题的关键是通过连接半径构造直角三角形，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
7[2025江苏南通调研]如图, 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形, $∠ A=90°$, D为$\overset{\frown}{AC}$的中点, AD, BC的延长线交于点E, $\odot O$的切线DF与BE交于点F.
(1)求证: DF是$∠ CDE$的平分线;
(2)若$∠ E=30°, BE=6$, 求CF的长.
刷易错 ............小心有坑~
(1)求证: DF是$∠ CDE$的平分线;
(2)若$∠ E=30°, BE=6$, 求CF的长.
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答案
(1)【证明】如图
,连接 BD. $\because ∠A=90^{\circ },\therefore BD$ 是$\odot O$ 的直径. $\because DF$ 是$\odot O$ 的切线, $\therefore ∠BDF=90^{\circ }.\because D$ 是$\overset{\frown}{AC}$ 的中点,$\therefore ∠ABD=∠CBD$,$\therefore ∠BDA=∠BDC.\because ∠BDF=90^{\circ }$,$\therefore ∠BDA+∠FDE=90^{\circ },∠BDC+∠CDF=90^{\circ }$,$\therefore ∠FDE=∠CDF$,$\therefore DF$ 是$∠CDE$ 的平分线.(2)【解】$\because ∠E=30^{\circ },\therefore ∠ABE=60^{\circ },\therefore ∠ABD=∠EBD=30^{\circ }$,即$∠EBD=∠E$,$\therefore DB=DE$.
$\because ∠BCD=90^{\circ },\therefore BC=CE=\frac {1}{2}BE=3$. 在$\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,$BD=2CD$,$BD^{2}=CD^{2}+BC^{2}$,$\therefore 4CD^{2}=CD^{2}+3^{2}$,$\therefore CD=\sqrt {3}$. 在$\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,$∠CDF=\frac {1}{2}∠CDE=\frac {1}{2}(90^{\circ }-∠E)=30^{\circ }$,$\therefore DF=2CF.\because DF^{2}=CD^{2}+CF^{2}$,$\therefore 4CF^{2}=(\sqrt {3})^{2}+CF^{2}$,$\therefore CF=1$.
解析
【分析】
(1) 要证明DF是∠CDE的平分线，需证∠CDF=∠EDF。首先由圆内接四边形中∠A=90°，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，连接BD可得BD是⊙O的直径；再结合切线性质得BD⊥DF，即∠BDF=90°；由D是$\overset{\frown}{AC}$中点可得等弧所对圆周角∠ABD=∠CBD，进而推出∠BDA=∠BDC；最后利用等角的余角相等即可证明∠FDE=∠CDF，完成证明。
(2) 先根据∠E=30°、∠A=90°求出∠ABE=60°，结合角平分线性质得∠ABD=∠CBD=30°，可得DB=DE；再由直径所对圆周角∠BCD=90°，利用等腰三角形三线合一得BC=CE=3；在Rt△BCD中用勾股定理求出CD的长度；再根据角平分线性质求出∠CDF=30°，最后在Rt△CDF中用勾股定理求出CF的长。
【解析】
(1) 证明：如图，连接BD。
∵ ∠A=90°，
∴ BD是$\odot O$的直径。
∵ DF是$\odot O$的切线，
∴ BD⊥DF，即∠BDF=90°。
∵ D为$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ ∠ABD=∠CBD。
∵ ∠A=∠BCD=90°，
∴ ∠BDA=90°-∠ABD，∠BDC=90°-∠CBD，
∴ ∠BDA=∠BDC。
∵ ∠BDF=90°，
∴ ∠BDA+∠FDE=90°，∠BDC+∠CDF=90°，
∴ ∠FDE=∠CDF，
∴ DF是∠CDE的平分线。
(2) 解：在Rt△ABE中，∠A=90°，∠E=30°，
∴ ∠ABE=90°-∠E=60°。
∵ ∠ABD=∠CBD，
∴ ∠ABD=∠CBD=30°，
∴ ∠CBD=∠E=30°，
∴ DB=DE。
∵ BD是直径，
∴ ∠BCD=90°，即DC⊥BE，
∴ $BC=CE=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×6=3$。
在Rt△BCD中，∠CBD=30°，
∴ BD=2CD，
由勾股定理得$BD^2=CD^2+BC^2$，
代入得$(2CD)^2=CD^2+3^2$，解得$CD=\sqrt{3}$。
∵ ∠CDE=90°-∠E=60°，DF平分∠CDE，
∴ ∠CDF=$\frac{1}{2}$∠CDE=30°。
在Rt△CDF中，∠DCF=90°，
∴ DF=2CF，
由勾股定理得$DF^2=CD^2+CF^2$，
代入得$(2CF)^2=(\sqrt{3})^2+CF^2$，解得$CF=1$。
【答案】
(1) 如图，连接BD. $\because ∠A=90^{\circ },\therefore BD$ 是$\odot O$ 的直径. $\because DF$ 是$\odot O$ 的切线, $\therefore ∠BDF=90^{\circ }.\because D$ 是$\overset{\frown}{AC}$ 的中点,$\therefore ∠ABD=∠CBD$,$\therefore ∠BDA=∠BDC.\because ∠BDF=90^{\circ }$,$\therefore ∠BDA+∠FDE=90^{\circ },∠BDC+∠CDF=90^{\circ }$,$\therefore ∠FDE=∠CDF$,$\therefore DF$ 是$∠CDE$ 的平分线.
(2) CF的长为1。
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型中档题，综合考查了圆的相关性质和直角三角形的计算，解题关键是合理添加辅助线构造直径所对的圆周角，通过角的等量转化、等腰三角形性质和勾股定理逐步推导求解。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明DF是∠CDE的平分线，需证∠CDF=∠EDF。首先由圆内接四边形中∠A=90°，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，连接BD可得BD是⊙O的直径；再结合切线性质得BD⊥DF，即∠BDF=90°；由D是$\overset{\frown}{AC}$中点可得等弧所对圆周角∠ABD=∠CBD，进而推出∠BDA=∠BDC；最后利用等角的余角相等即可证明∠FDE=∠CDF，完成证明。
(2) 先根据∠E=30°、∠A=90°求出∠ABE=60°，结合角平分线性质得∠ABD=∠CBD=30°，可得DB=DE；再由直径所对圆周角∠BCD=90°，利用等腰三角形三线合一得BC=CE=3；在Rt△BCD中用勾股定理求出CD的长度；再根据角平分线性质求出∠CDF=30°，最后在Rt△CDF中用勾股定理求出CF的长。
【解析】
(1) 证明：如图
，连接BD。∵ ∠A=90°，
∴ BD是$\odot O$的直径。
∵ DF是$\odot O$的切线，
∴ BD⊥DF，即∠BDF=90°。
∵ D为$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ ∠ABD=∠CBD。
∵ ∠A=∠BCD=90°，
∴ ∠BDA=90°-∠ABD，∠BDC=90°-∠CBD，
∴ ∠BDA=∠BDC。
∵ ∠BDF=90°，
∴ ∠BDA+∠FDE=90°，∠BDC+∠CDF=90°，
∴ ∠FDE=∠CDF，
∴ DF是∠CDE的平分线。
(2) 解：在Rt△ABE中，∠A=90°，∠E=30°，
∴ ∠ABE=90°-∠E=60°。
∵ ∠ABD=∠CBD，
∴ ∠ABD=∠CBD=30°，
∴ ∠CBD=∠E=30°，
∴ DB=DE。
∵ BD是直径，
∴ ∠BCD=90°，即DC⊥BE，
∴ $BC=CE=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×6=3$。
在Rt△BCD中，∠CBD=30°，
∴ BD=2CD，
由勾股定理得$BD^2=CD^2+BC^2$，
代入得$(2CD)^2=CD^2+3^2$，解得$CD=\sqrt{3}$。
∵ ∠CDE=90°-∠E=60°，DF平分∠CDE，
∴ ∠CDF=$\frac{1}{2}$∠CDE=30°。
在Rt△CDF中，∠DCF=90°，
∴ DF=2CF，
由勾股定理得$DF^2=CD^2+CF^2$，
代入得$(2CF)^2=(\sqrt{3})^2+CF^2$，解得$CF=1$。
【答案】
(1) 如图
，连接BD. $\because ∠A=90^{\circ },\therefore BD$ 是$\odot O$ 的直径. $\because DF$ 是$\odot O$ 的切线, $\therefore ∠BDF=90^{\circ }.\because D$ 是$\overset{\frown}{AC}$ 的中点,$\therefore ∠ABD=∠CBD$,$\therefore ∠BDA=∠BDC.\because ∠BDF=90^{\circ }$,$\therefore ∠BDA+∠FDE=90^{\circ },∠BDC+∠CDF=90^{\circ }$,$\therefore ∠FDE=∠CDF$,$\therefore DF$ 是$∠CDE$ 的平分线.(2) CF的长为1。
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型中档题，综合考查了圆的相关性质和直角三角形的计算，解题关键是合理添加辅助线构造直径所对的圆周角，通过角的等量转化、等腰三角形性质和勾股定理逐步推导求解。
【难度系数】
0.6
8 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB=56°。若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为
$62°$或$118°$
。答案
如图
所示,连接 AC,BC. 当点 C 在优弧 ACB 上时,$\because PA,PB$ 分别与$\odot O$ 相切于 A,B 两点,$\therefore ∠PAO=∠PBO=90^{\circ }$.$\because ∠APB=56^{\circ },\therefore ∠AOB=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-56^{\circ }=124^{\circ }$,$\therefore ∠ACB=\frac {1}{2}∠AOB=62^{\circ }$. 当点$C'$ 在劣弧 AB 上时,$\because$ 四边形$AC'BC$ 是$\odot O$ 的内接四边形,$\therefore ∠C'=180^{\circ }-∠C=118^{\circ }$. 故答案为$62^{\circ }$或$118^{\circ }$.
解析
【分析】
解题时首先根据切线的性质，连接过切点的半径OA、OB，得到两个直角，再利用四边形内角和为360°求出圆心角∠AOB的度数；接下来注意点C的位置有两种情况：在优弧AB上和在劣弧AB上，分别结合圆周角定理、圆内接四边形对角互补的性质计算∠ACB的度数即可，注意不要漏解。
【解析】
连接OA、OB，分两种情况讨论：
1. 当点C在优弧AB上时：
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ PAO=∠ PBO=90^{\circ }$，
∵四边形PAOB的内角和为$360^{\circ }$，$∠ APB=56^{\circ }$，
∴$∠ AOB=360^{\circ }-∠ PAO-∠ PBO-∠ APB=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-56^{\circ }=124^{\circ }$，
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}× 124^{\circ }=62^{\circ }$；
2. 当点C在劣弧AB上时：
此时点C与优弧上的点C、A、B构成圆的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，
∴劣弧上的$∠ ACB=180^{\circ }-62^{\circ }=118^{\circ }$。
【答案】
$62^{\circ }$或$118^{\circ }$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是切线性质与圆周角相关定理的综合应用题，易错点是忽略点C的位置有两种情况，造成漏解，解题时要注意分类讨论思想的运用。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据切线的性质，连接过切点的半径OA、OB，得到两个直角，再利用四边形内角和为360°求出圆心角∠AOB的度数；接下来注意点C的位置有两种情况：在优弧AB上和在劣弧AB上，分别结合圆周角定理、圆内接四边形对角互补的性质计算∠ACB的度数即可，注意不要漏解。
【解析】
连接OA、OB，分两种情况讨论：1. 当点C在优弧AB上时：
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ PAO=∠ PBO=90^{\circ }$，
∵四边形PAOB的内角和为$360^{\circ }$，$∠ APB=56^{\circ }$，
∴$∠ AOB=360^{\circ }-∠ PAO-∠ PBO-∠ APB=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-56^{\circ }=124^{\circ }$，
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}× 124^{\circ }=62^{\circ }$；
2. 当点C在劣弧AB上时：
此时点C与优弧上的点C、A、B构成圆的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，
∴劣弧上的$∠ ACB=180^{\circ }-62^{\circ }=118^{\circ }$。
【答案】
$62^{\circ }$或$118^{\circ }$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是切线性质与圆周角相关定理的综合应用题，易错点是忽略点C的位置有两种情况，造成漏解，解题时要注意分类讨论思想的运用。
【难度系数】
0.6
