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四、计算题
22.如图所示，在水平桌面上，有一质量为2 kg的实心小球和一薄壁圆柱形容器，容器中装有水。现将小球轻轻放入容器，小球浸没在水中并静止在容器底部，水未溢出。分别测出小球放入前后水对容器底部的压强$ p_{水} $，小球放入前后容器对水平桌面的压强$ p_{桌} $，数据见下表。($ \rho_{水}=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3 $，$ g $取10 N/kg)求：
(1)小球所受的重力；
(2)小球放入前，容器中水的深度；
(3)小球的密度。
22.如图所示，在水平桌面上，有一质量为2 kg的实心小球和一薄壁圆柱形容器，容器中装有水。现将小球轻轻放入容器，小球浸没在水中并静止在容器底部，水未溢出。分别测出小球放入前后水对容器底部的压强$ p_{水} $，小球放入前后容器对水平桌面的压强$ p_{桌} $，数据见下表。($ \rho_{水}=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3 $，$ g $取10 N/kg)求：
(1)小球所受的重力；
(2)小球放入前，容器中水的深度；
(3)小球的密度。
答案
22.(1)20 N (2)0.2 m (3)$2.5×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
解:(1)小球所受的重力
$G=mg=2\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=20\ \mathrm{N}$
(2)由表中数据可知,小球浸入前,水对容器底的压强$p_{\mathrm{水}1}=2\ 000\ \mathrm{Pa}$
由$p=\rho gh$可知容器中水的深度
$h_{\mathrm{水}}=\frac{p_{\mathrm{水}1}}{\rho_{\mathrm{水}}\ g}=\frac{2\ 000\ \mathrm{Pa}}{1×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}}=0.2\ \mathrm{m}$
(3)小球浸入前和浸没后容器对水平桌面的压强差
$\Delta p_{\mathrm{桌}}=p_{\mathrm{桌}2}-p_{\mathrm{桌}1}=3\ 500\ \mathrm{Pa}-2\ 500\ \mathrm{Pa}=1\ 000\ \mathrm{Pa}$
由$p=\frac{F}{S}$可得受力面积(容器底面积)
$S=\frac{\Delta F}{\Delta p_{\mathrm{桌}}}=\frac{G}{\Delta p_{\mathrm{桌}}}=\frac{2\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}}{1\ 000\ \mathrm{Pa}}=0.02\ \mathrm{m^2}$
小球浸入前和浸没后水对容器底的压强差
$\Delta p_{\mathrm{水}}=p_{\mathrm{水}2}-p_{\mathrm{水}1}=2\ 400\ \mathrm{Pa}-2\ 000\ \mathrm{Pa}=400\ \mathrm{Pa}$
由$p=\rho gh$可知容器中水的深度变化
$\Delta h_{\mathrm{水}}=\frac{\Delta p_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}\ g}=\frac{400\ \mathrm{Pa}}{1×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}}=0.04\ \mathrm{m}$
因为小球浸没,所以小球的体积
$V=V_{\mathrm{排}}=S×\Delta h_{\mathrm{水}}=0.02\ \mathrm{m^2}×0.04\ \mathrm{m}=8×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$
小球的密度
$\rho=\frac{m}{V}=\frac{2\ \mathrm{kg}}{8×10^{-4}\ \mathrm{m^3}}=2.5×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
解:(1)小球所受的重力
$G=mg=2\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=20\ \mathrm{N}$
(2)由表中数据可知,小球浸入前,水对容器底的压强$p_{\mathrm{水}1}=2\ 000\ \mathrm{Pa}$
由$p=\rho gh$可知容器中水的深度
$h_{\mathrm{水}}=\frac{p_{\mathrm{水}1}}{\rho_{\mathrm{水}}\ g}=\frac{2\ 000\ \mathrm{Pa}}{1×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}}=0.2\ \mathrm{m}$
(3)小球浸入前和浸没后容器对水平桌面的压强差
$\Delta p_{\mathrm{桌}}=p_{\mathrm{桌}2}-p_{\mathrm{桌}1}=3\ 500\ \mathrm{Pa}-2\ 500\ \mathrm{Pa}=1\ 000\ \mathrm{Pa}$
由$p=\frac{F}{S}$可得受力面积(容器底面积)
$S=\frac{\Delta F}{\Delta p_{\mathrm{桌}}}=\frac{G}{\Delta p_{\mathrm{桌}}}=\frac{2\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}}{1\ 000\ \mathrm{Pa}}=0.02\ \mathrm{m^2}$
小球浸入前和浸没后水对容器底的压强差
$\Delta p_{\mathrm{水}}=p_{\mathrm{水}2}-p_{\mathrm{水}1}=2\ 400\ \mathrm{Pa}-2\ 000\ \mathrm{Pa}=400\ \mathrm{Pa}$
由$p=\rho gh$可知容器中水的深度变化
$\Delta h_{\mathrm{水}}=\frac{\Delta p_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}\ g}=\frac{400\ \mathrm{Pa}}{1×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}}=0.04\ \mathrm{m}$
因为小球浸没,所以小球的体积
$V=V_{\mathrm{排}}=S×\Delta h_{\mathrm{水}}=0.02\ \mathrm{m^2}×0.04\ \mathrm{m}=8×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$
小球的密度
$\rho=\frac{m}{V}=\frac{2\ \mathrm{kg}}{8×10^{-4}\ \mathrm{m^3}}=2.5×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
解析
【分析】
本题为力学综合计算题，需结合重力、压强、密度相关知识解题。思路如下：(1)小球重力可直接用公式G=mg计算，已知小球质量和g，代入即可；(2)求放入前水的深度，利用液体压强公式p=ρgh变形为h=p/(ρg)，需先确定放入前水对容器底的压强，代入公式求解；(3)求小球密度需先算体积：先通过容器对桌面的压强差求容器底面积（放入小球后桌面增加的压力等于小球重力，由Δp=F/S得S=G/Δp桌），再通过水对容器底的压强差求液面变化高度Δh，小球浸没则体积V=SΔh，最后用ρ=m/V计算密度。
【解析】
解：(1)小球所受的重力：
G=mg=2 kg×10 N/kg=20 N；
(2)由题意知，小球放入前水对容器底的压强p水1=2000 Pa，根据液体压强公式p=ρgh，可得容器中水的深度：
h水=p水1/(ρ水g)=2000 Pa/(1×10³ kg/m³×10 N/kg)=0.2 m；
(3)①小球放入前后容器对水平桌面的压强差：
Δp桌=p桌2-p桌1=3500 Pa-2500 Pa=1000 Pa；
容器对桌面增加的压力等于小球重力，即ΔF=G=20 N，由p=F/S得容器底面积：
S=ΔF/Δp桌=20 N/1000 Pa=0.02 m²；
②小球放入前后水对容器底的压强差：
Δp水=p水2-p水1=2400 Pa-2000 Pa=400 Pa；
由液体压强公式得水的深度变化：
Δh水=Δp水/(ρ水g)=400 Pa/(1×10³ kg/m³×10 N/kg)=0.04 m；
小球浸没在水中，故小球体积等于排开水的体积：
V=V排=S×Δh水=0.02 m²×0.04 m=8×10⁻⁴ m³；
③小球的密度：
ρ=m/V=2 kg/(8×10⁻⁴ m³)=2.5×10³ kg/m³；
【答案】
(1)20 N (2)0.2 m (3)2.5×10³ kg/m³
【知识点】
重力计算、液体压强、固体压强、密度计算
【点评】
本题综合考查重力、压强、密度的计算，关键是利用压强差推导容器底面积和小球体积，需熟练掌握相关公式的变形应用，是一道典型的力学综合题。
【难度系数】
0.5
本题为力学综合计算题，需结合重力、压强、密度相关知识解题。思路如下：(1)小球重力可直接用公式G=mg计算，已知小球质量和g，代入即可；(2)求放入前水的深度，利用液体压强公式p=ρgh变形为h=p/(ρg)，需先确定放入前水对容器底的压强，代入公式求解；(3)求小球密度需先算体积：先通过容器对桌面的压强差求容器底面积（放入小球后桌面增加的压力等于小球重力，由Δp=F/S得S=G/Δp桌），再通过水对容器底的压强差求液面变化高度Δh，小球浸没则体积V=SΔh，最后用ρ=m/V计算密度。
【解析】
解：(1)小球所受的重力：
G=mg=2 kg×10 N/kg=20 N；
(2)由题意知，小球放入前水对容器底的压强p水1=2000 Pa，根据液体压强公式p=ρgh，可得容器中水的深度：
h水=p水1/(ρ水g)=2000 Pa/(1×10³ kg/m³×10 N/kg)=0.2 m；
(3)①小球放入前后容器对水平桌面的压强差：
Δp桌=p桌2-p桌1=3500 Pa-2500 Pa=1000 Pa；
容器对桌面增加的压力等于小球重力，即ΔF=G=20 N，由p=F/S得容器底面积：
S=ΔF/Δp桌=20 N/1000 Pa=0.02 m²；
②小球放入前后水对容器底的压强差：
Δp水=p水2-p水1=2400 Pa-2000 Pa=400 Pa；
由液体压强公式得水的深度变化：
Δh水=Δp水/(ρ水g)=400 Pa/(1×10³ kg/m³×10 N/kg)=0.04 m；
小球浸没在水中，故小球体积等于排开水的体积：
V=V排=S×Δh水=0.02 m²×0.04 m=8×10⁻⁴ m³；
③小球的密度：
ρ=m/V=2 kg/(8×10⁻⁴ m³)=2.5×10³ kg/m³；
【答案】
(1)20 N (2)0.2 m (3)2.5×10³ kg/m³
【知识点】
重力计算、液体压强、固体压强、密度计算
【点评】
本题综合考查重力、压强、密度的计算，关键是利用压强差推导容器底面积和小球体积，需熟练掌握相关公式的变形应用，是一道典型的力学综合题。
【难度系数】
0.5
