1. 已知$|m|=5$，$|n-3|$与$|p-2|$互为相反数，则$\frac{mn}{p}$的值为（）

A.$-\frac{15}{2}$
B.$\frac{15}{2}$
C.$-\frac{15}{2}$或$\frac{15}{2}$
D.$-4$或$4$

8.5×24 + 6
= 204 + 6
= 210（元）
答：李老师付了210元。

2. 若$|a|=19$，$|b|=97$，且$|a+b|≠a+b$，则$a-b$的值是（）

A.-78或116
B.78或116
C.-78或-116
D.78或-116

2. B 解析:由题意得$a=\pm19,b=\pm97$,又$|a+b|≠ a+b$,可得$a+b＜0$,因此$b=-97,a=\pm19$,故$a-b=78$或116.

【分析】
解题时先根据绝对值的性质确定a、b的所有可能取值；再根据条件|a+b|≠a+b推导a+b的符号，筛选出符合条件的b的取值；最后分情况代入计算a-b的值即可。
【解析】
第一步：根据绝对值的性质求a、b的可能取值
∵|a|=19，
∴a=19或a=-19；
∵|b|=97，
∴b=97或b=-97。
第二步：根据|a+b|≠a+b确定a+b的符号
根据绝对值的性质：若|x|=x，则x≥0，因此|a+b|≠a+b说明a+b＜0。
第三步：筛选符合条件的b的取值
若b=97，无论a取19还是-19，a+b的值分别为116、78，均为正数，不符合a+b＜0的要求，因此b只能取-97。
第四步：分情况计算a-b的值
当a=19时，a-b=19-(-97)=19+97=116；
当a=-19时，a-b=-19-(-97)=-19+97=78。
因此a-b的值为78或116。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的性质；有理数加减运算；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查绝对值相关性质的应用，解题的核心是准确理解|a+b|≠a+b的含义，判断出a+b的正负性，再结合分类讨论计算结果，解题时注意不要遗漏a的两种取值情况。
【难度系数】
0.7

3. 已知$(a+b)^2 + |b-1| = b-1$，且$|a+3b-3| =5$，则$a-b$的值为.

3.6÷8=0.45
```
0.45
_______
8 | 3.60
3 2
_______
40
40
_______
0
```
12÷25=0.48
```
0.48
_______
25| 12.00
10 0
_______
2 00
2 00
_______
0
```
0.78÷15=0.052
```
0.052
________
15| 0.780
75
________
30
30
________
0
```
9.9÷45=0.22
```
0.22
_______
45| 9.90
9 0
_______
90
90
_______
0
```

4. 利用绝对值的几何意义求解:$|x-3|+|x+2|$的最小值为________,$|x-3|-|x+2|$的最大值为________.

216.6÷12 = 18.05（元）
25.9 - 18.05 = 7.85（元）
答：比按月充值平均每月便宜7.85元。

5. (1)若有理数$a,b$满足$ab＜0$,则$\frac{|a|}{a}+\frac{b}{|b|}+\frac{|ab|}{ab}=$.
(2)已知$a,b,c$为非零有理数,则$\frac{a}{|a|}+\frac{ab}{|ab|}+\frac{ac}{|ac|}+\frac{bc}{|bc|}=$.

5. (1)-1 解析:因为$ab＜0$,所以$a,b$异号,则$|ab|=-ab$,所以$\frac{|a|}{a}+\frac{b}{|b|}+\frac{|ab|}{ab}=1-1-1=-1$或$\frac{|a|}{a}+\frac{b}{|b|}+\frac{|ab|}{ab}=-1+1-1=-1$.
(2)4或0或-2或2 解析:①当$a,b,c$三个数都是正数时,$a＞0,ab＞0,ac＞0,bc＞0$,$\frac{a}{|a|}+\frac{ab}{|ab|}+\frac{ac}{|ac|}+\frac{bc}{|bc|}=1+1+1+1=4$;
②当$a,b,c$中有两个正数时,若$a＞0,b＞0,c＜0$,则$ab＞0,ac＜0,bc＜0$,$\frac{a}{|a|}+\frac{ab}{|ab|}+\frac{ac}{|ac|}+\frac{bc}{|bc|}=1+1-1-1=0$;若$a＞0,b＜0,c＞0$,则$ab＜0,ac＞0,bc＜0$,$\frac{a}{|a|}+\frac{ab}{|ab|}+\frac{ac}{|ac|}+\frac{bc}{|bc|}=1-1+1-1=0$;若$a＜0,b＞0,c＞0$,则$ab＜0,ac＜0,bc＞0$,$\frac{a}{|a|}+\frac{ab}{|ab|}+\frac{ac}{|ac|}+\frac{bc}{|bc|}=-1-1-1+1=-2$;
③当$a,b,c$中有一个正数时,若$a＞0,b＜0,c＜0$,则$ab＜0,ac＜0,bc＞0$,$\frac{a}{|a|}+\frac{ab}{|ab|}+\frac{ac}{|ac|}+\frac{bc}{|bc|}=1-1-1+1=0$;若$a＜0,b＞0,c＜0$,则$ab＜0,ac＞0,bc＜0$,$\frac{a}{|a|}+\frac{ab}{|ab|}+\frac{ac}{|ac|}+\frac{bc}{|bc|}=-1-1+1-1=-2$;若$a＜0,b＜0,c＞0$,则$ab＞0,ac＜0,bc＜0$,$\frac{a}{|a|}+\frac{ab}{|ab|}+\frac{ac}{|ac|}+\frac{bc}{|bc|}=-1+1-1-1=-2$;
④当$a,b,c$三个数都是负数时,即$a＜0,b＜0,c＜0$,则$ab＞0,ac＞0,bc＞0$,$\frac{a}{|a|}+\frac{ab}{|ab|}+\frac{ac}{|ac|}+\frac{bc}{|bc|}=-1+1+1+1=2$.
综上,$\frac{a}{|a|}+\frac{ab}{|ab|}+\frac{ac}{|ac|}+\frac{bc}{|bc|}$的值为4或0或-2或2.

【分析】
(1) 由$ab＜0$可知$a$、$b$异号（一正一负）。对于任意非零有理数$x$，若$x＞0$则$\frac{|x|}{x}=1$，若$x＜0$则$\frac{|x|}{x}=-1$。异号的两个数对应的$\frac{|a|}{a}$和$\frac{b}{|b|}$的和为$0$，再结合$ab$为负可得$\frac{|ab|}{ab}=-1$，三者相加即可得结果。
(2) 原式的取值和$a$、$b$、$c$的正负性有关，按三个数中正数的个数分为四类：三个正数、两个正数、一个正数、三个负数，每类根据“同号得正、异号得负”判断每个分式的取值，再求和即可，分类时注意不重不漏。
【解析】
(1) 因为$ab＜0$，所以$a$、$b$一正一负：
若$a＞0,b＜0$，则$\frac{|a|}{a}=1$，$\frac{b}{|b|}=-1$，$\frac{|ab|}{ab}=\frac{-ab}{ab}=-1$，原式$=1-1-1=-1$；
若$a＜0,b＞0$，则$\frac{|a|}{a}=-1$，$\frac{b}{|b|}=1$，$\frac{|ab|}{ab}=-1$，原式$=-1+1-1=-1$。
(2) 分四种情况讨论：
① 当$a,b,c$均为正数时：$a＞0,ab＞0,ac＞0,bc＞0$，原式$=1+1+1+1=4$；
② 当$a,b,c$有2个正数时：
$a＞0,b＞0,c＜0$：$ab＞0,ac＜0,bc＜0$，原式$=1+1-1-1=0$；
$a＞0,b＜0,c＞0$：$ab＜0,ac＞0,bc＜0$，原式$=1-1+1-1=0$；
$a＜0,b＞0,c＞0$：$ab＜0,ac＜0,bc＞0$，原式$=-1-1-1+1=-2$；
③ 当$a,b,c$有1个正数时：
$a＞0,b＜0,c＜0$：$ab＜0,ac＜0,bc＞0$，原式$=1-1-1+1=0$；
$a＜0,b＞0,c＜0$：$ab＜0,ac＞0,bc＜0$，原式$=-1-1+1-1=-2$；
$a＜0,b＜0,c＞0$：$ab＞0,ac＜0,bc＜0$，原式$=-1+1-1-1=-2$；
④ 当$a,b,c$均为负数时：$a＜0,ab＞0,ac＞0,bc＞0$，原式$=-1+1+1+1=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{4或0或-2或2}$
【知识点】
绝对值的化简；有理数符号运算；分类讨论
【点评】
本题核心考查绝对值的性质应用，解题关键是掌握非零数的绝对值与自身的商只有$\pm1$两种结果，结合有理数乘法的符号法则分类计算即可，难点是分类时避免遗漏情况。
【难度系数】
0.6

6. 已知$a,b,c,d$分别是一个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当$|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-a|$取得最大值时，这个四位数的最小值是.

6. 1119 解析:由低位上的数字不小于高位上的数字,可得$a≤ b≤ c≤ d$,所以$|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-a|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(d-a)=2(d-a)$,要使$2(d-a)$最大,所以$d=9,a=1$,四位数要取最小值,则$a=b=c=1$,此数为1119.

【分析】
首先根据题目中“低位上的数字不小于高位上的数字”的条件，可得出四个数位数字的大小关系为$a≤b≤c≤d$，此时可依据绝对值的性质（非正数的绝对值是它的相反数，非负数的绝对值是它本身）去掉原式中的绝对值符号，对式子化简后找到决定原式最大值的量；再结合四位数最小的要求，确定其余数位的数字即可。
【解析】
解：
∵低位上的数字不小于高位上的数字，
∴千位≤百位≤十位≤个位，即$a ≤ b ≤ c ≤ d$，
∴$a-b ≤ 0$，$b-c ≤ 0$，$c-d ≤ 0$，$d-a ≥ 0$，
对原式去绝对值得：
$\begin{aligned}|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-a|&=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(d-a)\\&=b-a+c-b+d-c+d-a\\&=2d-2a\\&=2(d-a)\end{aligned}$
要使原式取得最大值，需让$d-a$的值最大：
∵d是个位数字，最大为9；a是千位数字，不能为0，最小为1，
∴$a=1$，$d=9$。
此时要使这个四位数最小，且满足$a ≤ b ≤ c ≤ d$，则百位b和十位c需取最小的符合条件的值，即$b=c=a=1$，
∴这个四位数是1119。
【答案】
1119
【知识点】
绝对值化简，数位的性质，最值求解
【点评】
本题将绝对值运算与整数数位特征相结合，解题的核心是先根据数位大小关系去掉绝对值符号，化简得到原式的最简形式，再分别结合最大值、四位数最小的要求确定各数位的数字，需注意千位数字不能为0的隐含条件。
【难度系数】
0.6

7.已知$(|x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)=36$,则$x+2y+3z$的最大值是,最小值是.

7. 15 -6 解析:因为$|x+1|+|x-2|≥3$,$|y-2|+|y+1|≥3$,$|z-3|+|z+1|≥4$,所以$(|x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)·(|z-3|+|z+1|)≥3×3×4=36$.又因为$(|x+1|+|x-2|)·(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)=36$,所以$|x+1|+|x-2|=3$,$|y-2|+|y+1|=3$,$|z-3|+|z+1|=4$,所以$-1≤ x≤2,-1≤ y≤2,-1≤ z≤3$,所以$x+2y+3z$的最大值为$2+2×2+3×3=15$,最小值为$-1+2×(-1)+3×(-1)=-6$.

【分析】
解题首先结合绝对值的几何意义思考：|a-b|表示数轴上数a对应的点到数b对应的点的距离。那么|x+1|+|x-2|就是数轴上点x到-1和到2的距离之和，当x在-1和2之间（含端点）时，这个距离和最小，最小值为2-(-1)=3；同理可推出|y-2|+|y+1|的最小值是3，|z-3|+|z+1|的最小值是4。三个式子的乘积最小值为3×3×4=36，题目给出乘积恰好为36，说明三个绝对值和均取到最小值，由此可确定x、y、z的取值范围，求x+2y+3z的最大值时各变量取范围的最大值，求最小值时各变量取范围的最小值即可。
【解析】
解：根据绝对值的几何意义：
$|x+1|+|x-2|$表示数轴上点x到-1和2的距离之和，其最小值为$2-(-1)=3$，即$|x+1|+|x-2|≥3$，当$-1≤x≤2$时取等号；
同理，$|y-2|+|y+1|≥2-(-1)=3$，当$-1≤y≤2$时取等号；
$|z-3|+|z+1|≥3-(-1)=4$，当$-1≤z≤3$时取等号；
因此$(|x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)≥3×3×4=36$。
已知原式乘积为36，故三个绝对值和均取最小值，即：
$|x+1|+|x-2|=3$，$|y-2|+|y+1|=3$，$|z-3|+|z+1|=4$，
可得$-1≤x≤2$，$-1≤y≤2$，$-1≤z≤3$。
求$x+2y+3z$的最大值：x、y、z均取范围内最大值，即$x=2$，$y=2$，$z=3$，代入得$2+2×2+3×3=15$；
求最小值：x、y、z均取范围内最小值，即$x=-1$，$y=-1$，$z=-1$，代入得$-1+2×(-1)+3×(-1)=-6$。
【答案】
15；-6
【知识点】
绝对值的几何意义，代数式最值，不等式的应用
【点评】
本题核心是利用绝对值的几何意义求出各绝对值和的最小值，结合题干给出的乘积确定变量的取值范围，再计算目标代数式的最值，解题时要注意变量取最值的条件，避免错取范围外的值。
【难度系数】
0.6

8. (2024·赤峰中考)如图,数轴上点A,M,B分别表示数$a,a+b,b$,那么下列运算结果一定是正数的是 ()
答案D12


A.$a+b$
B.$a-b$
C.$ab$
D.$|a|-b$

8. A 解析:由数轴可知,$a＜a+b＜b$,所以$a＜0,b＞0$.因为$AM=a+b-a=b＞0$,$OB=b$,所以原点$O$在$A,M$之间,所以$a+b＞0$,且$|a|＜|b|$,所以运算结果一定是正数的是$a+b$.

【分析】
解题时首先根据数轴上右边的数总大于左边的数，得到三个点表示数的大小关系，由此推导a、b的正负性；再结合两点间的距离判断原点的位置，得到a、b的绝对值大小关系；最后逐个分析各选项的运算结果符号，选出符合要求的选项。
【解析】
由数轴上点的位置可得：$a ＜ a+b ＜ b$。
1. 推导$a、b$的正负：
由$a ＜ a+b$，不等式两边同时减$a$得$b＞0$；
由$a+b ＜ b$，不等式两边同时减$b$得$a＜0$。
2. 推导绝对值大小：
线段$AM$的长度为$(a+b)-a = b$，结合$a＜0$、$a+b ＜ b$，可知原点在点$A$和$M$之间，因此$a+b＞0$，且$|a| ＜ |b|$。
3. 逐个判断选项：
选项A：$a+b＞0$，结果为正数，符合要求；
选项B：$a＜0，b＞0$，则$a-b = a+(-b) ＜0$，结果为负数，不符合；
选项C：$a＜0，b＞0$，异号两数相乘得负，即$ab＜0$，不符合；
选项D：由$|a| ＜ |b|=b$，可得$|a|-b ＜0$，结果为负数，不符合。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用；有理数运算；绝对值的性质
【点评】
本题是数轴与有理数运算结合的典型题目，解题核心是通过数轴上点的位置关系提炼出数的正负、绝对值大小等隐含信息，再结合有理数运算法则判断结果符号，能有效考查对数形结合思想的运用能力。
【难度系数】
0.7

9. 如图,点A的初始位置位于数轴上表示1的点,现对点A做如下移动:第1次向左移动3个单位长度至点B,第2次从点B向右移动6个单位长度至点C,第3次从点C向左移动9个单位长度至点D,第4次从点D向右移动12个单位长度至点E……以此类推,这样第次移动到的点到原点的距离为101.

4
《劝学》、《论语》、《中庸》、《孟子》

【分析】
首先梳理点的移动规律：点A初始位置对应数轴上的1，第n次移动的长度为3n个单位，且奇数次向左移动（对应数值减小），偶数次向右移动（对应数值增大）。我们可以先计算前几次移动后点的位置和到原点的距离，分别总结出奇数次、偶数次移动后点到原点距离的规律，再分两类列方程求解，筛选出符合条件的移动次数即可。
【解析】
先计算前几次移动后点的位置和到原点的距离，找规律：
初始（未移动）：对应数为1，到原点距离为1；
第1次（奇数次，左移3个单位）：$1-3=-2$，到原点距离为2；
第2次（偶数次，右移6个单位）：$-2+6=4$，到原点距离为4；
第3次（奇数次，左移9个单位）：$4-9=-5$，到原点距离为5；
第4次（偶数次，右移12个单位）：$-5+12=7$，到原点距离为7；
由此总结规律：
1. 若移动次数$n$为偶数：每2次移动整体向右移动3个单位，$n$次共包含$\frac{n}{2}$组两次移动，最终对应数为正数，到原点距离为$1+\frac{3n}{2}$；
2. 若移动次数$n$为奇数：最终对应数为负数，到原点距离为$\frac{3n+1}{2}$。
要求到原点距离为101，分两种情况列方程：
情况1：$n$为偶数
$1+\frac{3n}{2}=101$
解得$n=\frac{200}{3}$，不是正整数，舍去；
情况2：$n$为奇数
$\frac{3n+1}{2}=101$
$3n+1=202$
解得$n=67$，符合要求。
【答案】
67
【知识点】
数轴的应用，规律探究，一元一次方程
【点评】
本题需要结合数轴上点的移动规则总结规律，利用分类讨论思想列方程求解，注意排除不是整数的解，对规律探究能力有一定要求。
【难度系数】
0.3

10. 已知数轴上点A表示的数为1,将点A向左移动3个单位长度即可得到点B.
(1)点B表示的数为.
(2)点C在数轴上表示的数是c,且与A,B两点的距离和为11,则点C表示的数为.
(3)小蜗牛甲以1个单位长度/秒的速度从点B出发向其左边6个单位长度处的食物爬去,3秒后位于点A的小蜗牛乙收到小蜗牛甲的信号,以2个单位长度/秒的速度也迅速爬向食物,小蜗牛甲到达后背着食物立即返回,与小蜗牛乙在数轴上点D相遇,则点D表示的有理数是多少?从出发到相遇,小蜗牛甲共用去多少时间?

1+1+1+1=4（种）
答：可能出现的结果有4种。