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6 [2025泉州永春期末]为了节省材料，某工厂利用岸堤MN(岸堤足够长)为一边，用总长为80米的材料围成一个由四块面积相等的小矩形组成如图所示的矩形ABCD区域，BC=x米.有下列结论:① BC=3CF；② AB=$\frac{160 - 4x}{7}$米；③ AE=3BE；④ 矩形ABCD的最大面积为225平方米.其中，正确的是(
A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
C
)A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
答案
6. C
解析
【分析】
解题首先从“四块小矩形面积相等”的条件切入，先推导上下部分竖边AE、BE的数量关系，判断结论③；再梳理用到围建材料的各条边，结合总材料长80米的条件列等式，推导AB的表达式判断结论②；再分析结论①是否为恒成立关系；最后通过构建面积的二次函数表达式求最大值，判断结论④，最终选出正确选项。
【解析】
1. 推导AE与BE的关系：
四块小矩形面积相等，上半部分有3个面积相等的小矩形，下半部分有1个矩形，因此上半部分矩形AEFD的面积是下半部分矩形EBCF面积的3倍。
由$S_{AEFD}=BC· AE$，$S_{EBCF}=BC· BE$，得$BC· AE=3BC· BE$，约去BC后得$AE=3BE$，故结论③正确。
2. 推导AB的表达式：
AD靠岸堤MN无需材料，用到材料的边包括：长度为AB的竖边2条（AB、DC），长度为AE的竖边2条（HG、QP），长度为x的横边2条（EF、BC），总长度为80米，因此列等式：
$2AB + 2AE + 2x = 80$，化简得$AB + AE + x = 40$。
由$AE=3BE$，可得$AB=AE+BE=\frac{4}{3}AE$，即$AE=\frac{3}{4}AB$，代入上式得：
$AB+\frac{3}{4}AB +x=40$，即$\frac{7}{4}AB=40-x$，解得$AB=\frac{160-4x}{7}$，故结论②正确。
3. 判断结论①：
$CF=BE=\frac{1}{4}AB$，若$BC=3CF$，则$x=\frac{3AB}{4}$，代入$AB=\frac{160-4x}{7}$仅当x=12时成立，不是恒成立关系，故①错误。
4. 判断结论④：
矩形ABCD的面积$S=BC· AB=\frac{x(160-4x)}{7}=\frac{-4x^2+160x}{7}$，该二次函数开口向下，对称轴为$x=\frac{160}{2×4}=20$，代入得最大面积$S=\frac{-4×20^2+160×20}{7}=\frac{1600}{7}\approx228.6＞225$，故④错误。
综上，②③正确，选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数最值，矩形的性质，列代数式
【点评】
本题结合实际围建场景，综合考查了矩形面积性质、二次函数最值的计算，解题的关键是准确梳理所用材料对应的边长，结合面积相等的条件推导各边关系。
【难度系数】
0.6
解题首先从“四块小矩形面积相等”的条件切入，先推导上下部分竖边AE、BE的数量关系，判断结论③；再梳理用到围建材料的各条边，结合总材料长80米的条件列等式，推导AB的表达式判断结论②；再分析结论①是否为恒成立关系；最后通过构建面积的二次函数表达式求最大值，判断结论④，最终选出正确选项。
【解析】
1. 推导AE与BE的关系：
四块小矩形面积相等，上半部分有3个面积相等的小矩形，下半部分有1个矩形，因此上半部分矩形AEFD的面积是下半部分矩形EBCF面积的3倍。
由$S_{AEFD}=BC· AE$，$S_{EBCF}=BC· BE$，得$BC· AE=3BC· BE$，约去BC后得$AE=3BE$，故结论③正确。
2. 推导AB的表达式：
AD靠岸堤MN无需材料，用到材料的边包括：长度为AB的竖边2条（AB、DC），长度为AE的竖边2条（HG、QP），长度为x的横边2条（EF、BC），总长度为80米，因此列等式：
$2AB + 2AE + 2x = 80$，化简得$AB + AE + x = 40$。
由$AE=3BE$，可得$AB=AE+BE=\frac{4}{3}AE$，即$AE=\frac{3}{4}AB$，代入上式得：
$AB+\frac{3}{4}AB +x=40$，即$\frac{7}{4}AB=40-x$，解得$AB=\frac{160-4x}{7}$，故结论②正确。
3. 判断结论①：
$CF=BE=\frac{1}{4}AB$，若$BC=3CF$，则$x=\frac{3AB}{4}$，代入$AB=\frac{160-4x}{7}$仅当x=12时成立，不是恒成立关系，故①错误。
4. 判断结论④：
矩形ABCD的面积$S=BC· AB=\frac{x(160-4x)}{7}=\frac{-4x^2+160x}{7}$，该二次函数开口向下，对称轴为$x=\frac{160}{2×4}=20$，代入得最大面积$S=\frac{-4×20^2+160×20}{7}=\frac{1600}{7}\approx228.6＞225$，故④错误。
综上，②③正确，选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数最值，矩形的性质，列代数式
【点评】
本题结合实际围建场景，综合考查了矩形面积性质、二次函数最值的计算，解题的关键是准确梳理所用材料对应的边长，结合面积相等的条件推导各边关系。
【难度系数】
0.6
7 [2024自贡]九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙$AB ⊥ CD$于点$O$(如图)，其中$AB$上的$EO$段围墙空缺。同学们测得$AE=6.6\ \mathrm{m}$，$OE=1.4\ \mathrm{m}$，$OB=6\ \mathrm{m}$，$OC=5\ \mathrm{m}$，$OD=3\ \mathrm{m}$，班长买来可切断的围栏$16\ \mathrm{m}$，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地的最大面积是
46.4
$\mathrm{m}^2$.答案
7. 46.4
解析
【分析】
要围出面积最大的矩形菜地，需优先利用较长的已有围墙段减少围栏消耗。首先明确各段围墙长度：AO长8m（AE+EO）、OC长5m，是两侧最长的可用围墙段。注意EO段空缺，若利用AO段需补1.4m围栏；若垂直AB的边长超出OC的5m，超出部分需额外增加围栏。我们先确定平行AB方向最大可取8m（不超出A点），再根据围栏总长列方程求出垂直AB的边长，即可计算最大面积。
【解析】
先计算各段已有围墙长度：
$AO=AE+EO=6.6+1.4=8\ \mathrm{m}$，$OC=5\ \mathrm{m}$，$OD=3\ \mathrm{m}$。
为最大化面积，平行AB方向取最大可用长度8m（利用AO段围墙），需要补EO段空缺的1.4m围栏。
设垂直于AB的边长为$y\ \mathrm{m}$：
当$y＞5\ \mathrm{m}$时，OC段5m围墙不够用，超出部分为$(y-5)\ \mathrm{m}$，需额外用围栏。
结合围栏总长16m，列方程：
$1.4 + 8 + y + (y-5) = 16$
化简得：$2y + 4.4 = 16$
解得：$y=5.8\ \mathrm{m}$
验证：$y-5=0.8\ \mathrm{m}＜3\ \mathrm{m}$，可利用OD段方向的空地，符合要求。
此时矩形面积：$S=8×5.8=46.4\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
$\boxed{46.4}$
【知识点】
矩形面积计算、一元一次方程应用、实际最值问题
【点评】
本题结合实际场景考查面积最值问题，解题关键是合理规划已有围墙的使用，明确围栏需要覆盖的部分，注意围墙长度限制对边长范围的约束，避免忽略超出围墙段的额外围栏消耗。
【难度系数】
0.3
要围出面积最大的矩形菜地，需优先利用较长的已有围墙段减少围栏消耗。首先明确各段围墙长度：AO长8m（AE+EO）、OC长5m，是两侧最长的可用围墙段。注意EO段空缺，若利用AO段需补1.4m围栏；若垂直AB的边长超出OC的5m，超出部分需额外增加围栏。我们先确定平行AB方向最大可取8m（不超出A点），再根据围栏总长列方程求出垂直AB的边长，即可计算最大面积。
【解析】
先计算各段已有围墙长度：
$AO=AE+EO=6.6+1.4=8\ \mathrm{m}$，$OC=5\ \mathrm{m}$，$OD=3\ \mathrm{m}$。
为最大化面积，平行AB方向取最大可用长度8m（利用AO段围墙），需要补EO段空缺的1.4m围栏。
设垂直于AB的边长为$y\ \mathrm{m}$：
当$y＞5\ \mathrm{m}$时，OC段5m围墙不够用，超出部分为$(y-5)\ \mathrm{m}$，需额外用围栏。
结合围栏总长16m，列方程：
$1.4 + 8 + y + (y-5) = 16$
化简得：$2y + 4.4 = 16$
解得：$y=5.8\ \mathrm{m}$
验证：$y-5=0.8\ \mathrm{m}＜3\ \mathrm{m}$，可利用OD段方向的空地，符合要求。
此时矩形面积：$S=8×5.8=46.4\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
$\boxed{46.4}$
【知识点】
矩形面积计算、一元一次方程应用、实际最值问题
【点评】
本题结合实际场景考查面积最值问题，解题关键是合理规划已有围墙的使用，明确围栏需要覆盖的部分，注意围墙长度限制对边长范围的约束，避免忽略超出围墙段的额外围栏消耗。
【难度系数】
0.3
8 如图,用长为32米的篱笆围成一个外形为矩形的花圃,花圃的一边利用原有墙,中间用2道篱笆割成3个小矩形.已知原有墙的最大可利用长度为15米,花圃的面积为S平方米,平行于原有墙的一边BC长为x米.
(1) 求S与x之间的函数表达式.
(2) 当围成的花圃面积为60平方米时,求AB的长.
(3) 能否围成面积比60平方米更大的花圃?如果能,那么最大的面积是多少?如果不能,请说明理由.
(1) 求S与x之间的函数表达式.
(2) 当围成的花圃面积为60平方米时,求AB的长.
(3) 能否围成面积比60平方米更大的花圃?如果能,那么最大的面积是多少?如果不能,请说明理由.
答案
8. (1)
∵ BC=x 米,
∴ AB=1/4(32-x)米.
∴ S=BC·AB=x×1/4(32-x)=-1/4 x²+8x.
∴ S与x之间的函数表达式为S=-1/4 x²+8x
(2) 当S=60时,60=-1/4 x²+8x,整理,得x²-32x+240=0,解得x₁=12,x₂=20.
∵ 墙的最大可利用长度为15米,
∴ BC最长是15米,则x=12.
∴ AB=1/4×(32-12)=5(米).
∴ 当围成的花圃面积为60平方米时,AB的长是5米
(3) 能 S=-1/4 x²+8x = -1/4(x-16)²+64,
∴ 当x≤16时,S随x的增大而增大.
∵ 0≤x≤15,
∴ 当x=15时,S最大=-1/4×(15-16)²+64=63.75＞60.
∴ 当x=15时,能围成面积比60平方米更大的花圃,最大面积为63.75平方米
∵ BC=x 米,
∴ AB=1/4(32-x)米.
∴ S=BC·AB=x×1/4(32-x)=-1/4 x²+8x.
∴ S与x之间的函数表达式为S=-1/4 x²+8x
(2) 当S=60时,60=-1/4 x²+8x,整理,得x²-32x+240=0,解得x₁=12,x₂=20.
∵ 墙的最大可利用长度为15米,
∴ BC最长是15米,则x=12.
∴ AB=1/4×(32-12)=5(米).
∴ 当围成的花圃面积为60平方米时,AB的长是5米
(3) 能 S=-1/4 x²+8x = -1/4(x-16)²+64,
∴ 当x≤16时,S随x的增大而增大.
∵ 0≤x≤15,
∴ 当x=15时,S最大=-1/4×(15-16)²+64=63.75＞60.
∴ 当x=15时,能围成面积比60平方米更大的花圃,最大面积为63.75平方米
解析
【分析】
(1) 要得到S与x的函数表达式，首先明确平行于墙的BC长为x米，总篱笆长32米，垂直于墙的边包含左右两边和中间2道隔断共4段，先求出垂直于墙的边长AB，再根据矩形面积公式即可推导函数式，同时注意x受墙的最大可用长度限制，取值范围为0＜x≤15。
(2) 当面积为60平方米时，将S=60代入(1)的函数式得到一元二次方程，解方程后结合墙的长度限制舍去不符合实际的解，再代入AB的表达式计算即可。
(3) 判断是否有更大面积，先将二次函数配方为顶点式，结合二次函数的增减性和x的取值范围，找到可取得的最大面积，与60比较即可得出结论。
【解析】
(1) 已知BC长为x米，总篱笆长32米，垂直于墙的边共4段，因此垂直于墙的边长$AB=\frac{1}{4}(32-x)$米。
根据矩形面积公式：
$S=BC· AB=x×\frac{1}{4}(32-x)=-\frac{1}{4}x^2+8x$，x的取值范围为$0＜x≤15$。
(2) 当$S=60$时，代入函数式得：
$60=-\frac{1}{4}x^2+8x$
整理得$x^2-32x+240=0$，解得$x_1=12,x_2=20$。
由于墙的最大可利用长度为15米，即$x≤15$，因此舍去$x=20$，取$x=12$。
此时$AB=\frac{1}{4}×(32-12)=5$（米）。
(3) 能。将函数配方得：
$S=-\frac{1}{4}x^2+8x=-\frac{1}{4}(x-16)^2+64$
该二次函数开口向下，在对称轴$x=16$左侧，S随x的增大而增大。
因为$0＜x≤15＜16$，所以当$x=15$时，S取最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-\frac{1}{4}×(15-16)^2+64=63.75$（平方米）
$63.75＞60$，因此可以围成更大面积的花圃。
【答案】
(1) $S=-\frac{1}{4}x^2+8x\quad(0＜x≤15)$
(2) 5米
(3) 能，最大面积为63.75平方米
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，二次函数最值
【点评】
本题结合实际生活的围建场景考察二次函数相关知识，解题时要注意自变量的实际取值范围，不能忽略限制条件直接取顶点值得出错误结果，同时需要熟练掌握二次函数增减性判断和最值求解的方法。
【难度系数】
0.6
(1) 要得到S与x的函数表达式，首先明确平行于墙的BC长为x米，总篱笆长32米，垂直于墙的边包含左右两边和中间2道隔断共4段，先求出垂直于墙的边长AB，再根据矩形面积公式即可推导函数式，同时注意x受墙的最大可用长度限制，取值范围为0＜x≤15。
(2) 当面积为60平方米时，将S=60代入(1)的函数式得到一元二次方程，解方程后结合墙的长度限制舍去不符合实际的解，再代入AB的表达式计算即可。
(3) 判断是否有更大面积，先将二次函数配方为顶点式，结合二次函数的增减性和x的取值范围，找到可取得的最大面积，与60比较即可得出结论。
【解析】
(1) 已知BC长为x米，总篱笆长32米，垂直于墙的边共4段，因此垂直于墙的边长$AB=\frac{1}{4}(32-x)$米。
根据矩形面积公式：
$S=BC· AB=x×\frac{1}{4}(32-x)=-\frac{1}{4}x^2+8x$，x的取值范围为$0＜x≤15$。
(2) 当$S=60$时，代入函数式得：
$60=-\frac{1}{4}x^2+8x$
整理得$x^2-32x+240=0$，解得$x_1=12,x_2=20$。
由于墙的最大可利用长度为15米，即$x≤15$，因此舍去$x=20$，取$x=12$。
此时$AB=\frac{1}{4}×(32-12)=5$（米）。
(3) 能。将函数配方得：
$S=-\frac{1}{4}x^2+8x=-\frac{1}{4}(x-16)^2+64$
该二次函数开口向下，在对称轴$x=16$左侧，S随x的增大而增大。
因为$0＜x≤15＜16$，所以当$x=15$时，S取最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-\frac{1}{4}×(15-16)^2+64=63.75$（平方米）
$63.75＞60$，因此可以围成更大面积的花圃。
【答案】
(1) $S=-\frac{1}{4}x^2+8x\quad(0＜x≤15)$
(2) 5米
(3) 能，最大面积为63.75平方米
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，二次函数最值
【点评】
本题结合实际生活的围建场景考察二次函数相关知识，解题时要注意自变量的实际取值范围，不能忽略限制条件直接取顶点值得出错误结果，同时需要熟练掌握二次函数增减性判断和最值求解的方法。
【难度系数】
0.6
9 [2025绵阳平武期末]如图,抛物线$y=x^2+bx+c$与$x$轴交于$A,B$两点,与$y$轴交于点$C$,$OA=OC=3$,顶点为$D$.
（1）求此抛物线对应的函数表达式.
（2）在直线$AC$下方的抛物线上,是否存在一点$N$,使得$△ ACN$的面积最大?若存在,请求出最大面积;若不存在,请说明理由.
（1）求此抛物线对应的函数表达式.
（2）在直线$AC$下方的抛物线上,是否存在一点$N$,使得$△ ACN$的面积最大?若存在,请求出最大面积;若不存在,请说明理由.
答案
9. (1)
∵ OA=OC=3,
∴ A(-3,0),C(0,-3).将A(-3,0),C(0,-3)代入y=x²+bx+c,得$\begin{cases}9-3b+c=0,\\c=-3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=2,\\c=-3.\end{cases}$
∴ 抛物线对应的函数表达式为y=x²+2x-3
(2) 存在 设直线AC对应的函数表达式为y=kx+b.将A(-3,0),C(0,-3)代入,得$\begin{cases}-3k+b=0,\\b=-3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1,\\b=-3.\end{cases}$
∴ 直线AC对应的函数表达式为y=-x-3.如图,过点N作NE//y轴交AC于点E.设点N(n,n²+2n-3)(-3＜n＜0),则E(n,-n-3),
∴ EN=-n-3-(n²+2n-3)=-n-3-n²-2n+3=-n²-3n.
∴ S△ACN=1/2 EN·(x_C - x_A)=1/2 ×(-n²-3n)×3 = -3/2 (n+3/2)²=27/8.
∵ -3/2＜0,
∴ 当n=-3/2时,S△ACN最大,为27/8
解析
【分析】
（1）要确定抛物线的函数表达式，需先得到抛物线上两个点的坐标，根据OA=OC=3结合坐标轴上点的位置特征，可得出A(-3,0)、C(0,-3)，将两点坐标代入抛物线解析式，解二元一次方程组即可求出未知系数b、c，得到函数表达式。
（2）要判断直线AC下方的抛物线上是否存在点N使△ACN面积最大，可采用铅垂高法：先求出直线AC的解析式，过点N作平行于y轴的线段交AC于E，设点N的横坐标为n，分别表示出N、E的坐标，进而得到铅垂高EN的长度，再将△ACN的面积转化为关于n的二次函数，结合二次函数的最值性质和n的取值范围，即可求出最大面积，判断点的存在性。
【解析】
(1)
∵ OA=OC=3，点A在x轴负半轴，点C在y轴负半轴，
∴ A点坐标为(-3,0)，C点坐标为(0,-3)。
将A(-3,0)、C(0,-3)代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}9-3b+c=0\\c=-3\end{cases}$
把$c=-3$代入第一个方程，解得$b=2$。
∴ 抛物线对应的函数表达式为$y=x^2+2x-3$。
(2) 存在这样的点N，求解如下：
设直线AC对应的函数表达式为$y=kx+b$，将A(-3,0)、C(0,-3)代入，得：
$\begin{cases}-3k+b=0\\b=-3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=-3\end{cases}$，因此直线AC的解析式为$y=-x-3$。
如图，过点N作NE//y轴交AC于点E，设点N的坐标为$(n,n^2+2n-3)$（$-3＜n＜0$，N在直线AC下方的抛物线上），则E点坐标为$(n,-n-3)$。
∴ $EN = (-n-3)-(n^2+2n-3) = -n^2-3n$。
△ACN的面积可看作以EN为底，A、C两点水平距离为高的三角形面积，A、C水平距离为$0-(-3)=3$，因此：
$S_{△ ACN} = \frac{1}{2} · EN · 3 = \frac{1}{2} × (-n^2-3n) ×3 = -\frac{3}{2}(n+\frac{3}{2})^2 + \frac{27}{8}$。
∵ $-\frac{3}{2}＜0$，二次函数开口向下，
∴ 当$n=-\frac{3}{2}$时，$S_{△ ACN}$取得最大值，最大值为$\frac{27}{8}$。
【答案】
(1) 抛物线对应的函数表达式为$y=x^2+2x-3$
(2) 存在，$△ ACN$的最大面积为$\frac{27}{8}$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的最值；三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，第一问考查利用已知点坐标求解函数解析式，第二问是二次函数中动三角形面积最值的典型考法，核心是用铅垂高法将不规则三角形面积转化为可表示的代数式，再结合二次函数性质求解最值，掌握铅垂高法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）要确定抛物线的函数表达式，需先得到抛物线上两个点的坐标，根据OA=OC=3结合坐标轴上点的位置特征，可得出A(-3,0)、C(0,-3)，将两点坐标代入抛物线解析式，解二元一次方程组即可求出未知系数b、c，得到函数表达式。
（2）要判断直线AC下方的抛物线上是否存在点N使△ACN面积最大，可采用铅垂高法：先求出直线AC的解析式，过点N作平行于y轴的线段交AC于E，设点N的横坐标为n，分别表示出N、E的坐标，进而得到铅垂高EN的长度，再将△ACN的面积转化为关于n的二次函数，结合二次函数的最值性质和n的取值范围，即可求出最大面积，判断点的存在性。
【解析】
(1)
∵ OA=OC=3，点A在x轴负半轴，点C在y轴负半轴，
∴ A点坐标为(-3,0)，C点坐标为(0,-3)。
将A(-3,0)、C(0,-3)代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}9-3b+c=0\\c=-3\end{cases}$
把$c=-3$代入第一个方程，解得$b=2$。
∴ 抛物线对应的函数表达式为$y=x^2+2x-3$。
(2) 存在这样的点N，求解如下：
设直线AC对应的函数表达式为$y=kx+b$，将A(-3,0)、C(0,-3)代入，得：
$\begin{cases}-3k+b=0\\b=-3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=-3\end{cases}$，因此直线AC的解析式为$y=-x-3$。
如图，过点N作NE//y轴交AC于点E，设点N的坐标为$(n,n^2+2n-3)$（$-3＜n＜0$，N在直线AC下方的抛物线上），则E点坐标为$(n,-n-3)$。
∴ $EN = (-n-3)-(n^2+2n-3) = -n^2-3n$。
△ACN的面积可看作以EN为底，A、C两点水平距离为高的三角形面积，A、C水平距离为$0-(-3)=3$，因此：
$S_{△ ACN} = \frac{1}{2} · EN · 3 = \frac{1}{2} × (-n^2-3n) ×3 = -\frac{3}{2}(n+\frac{3}{2})^2 + \frac{27}{8}$。
∵ $-\frac{3}{2}＜0$，二次函数开口向下，
∴ 当$n=-\frac{3}{2}$时，$S_{△ ACN}$取得最大值，最大值为$\frac{27}{8}$。
【答案】
(1) 抛物线对应的函数表达式为$y=x^2+2x-3$
(2) 存在，$△ ACN$的最大面积为$\frac{27}{8}$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的最值；三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，第一问考查利用已知点坐标求解函数解析式，第二问是二次函数中动三角形面积最值的典型考法，核心是用铅垂高法将不规则三角形面积转化为可表示的代数式，再结合二次函数性质求解最值，掌握铅垂高法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
