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1 某种商品每件进价为20元，调查表明，在某段时间内，若以每件$x$元（$20≤ x≤30$，且$x$为整数）出售，则可卖出$(30-x)$件。要使利润最大，每件的售价应为（
A.24元
B.25元
C.28元
D.30元
B
）A.24元
B.25元
C.28元
D.30元
答案
1. B
解析
【分析】
解决这道题首先要明确销售利润的基本等量关系：总利润=单件利润×销售量。我们先根据题目给出的进价、售价、销售量的关系，列出总利润关于售价x的函数表达式，再结合二次函数的最值性质，同时注意x的取值范围，即可求出利润最大时对应的售价。
【解析】
设总利润为y元，由题意得：
单件利润为$(x-20)$元，销售量为$(30-x)$件，因此
$y=(x-20)(30-x)$
展开得：$y=-x^2+50x-600$
这是一个二次函数，其中$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，函数在对称轴处取得最大值。
二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=50$得：
$x=-\frac{50}{2×(-1)}=25$
又因为$20≤25≤30$，且25是整数，符合题意，因此当售价为25元时，利润最大。
【答案】
B
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在销售利润问题中的典型应用，解题的核心是正确列出利润关于售价的函数关系式，再利用二次函数的性质求最值，求解时要注意结合题目给出的自变量取值范围验证最值点是否符合要求。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确销售利润的基本等量关系：总利润=单件利润×销售量。我们先根据题目给出的进价、售价、销售量的关系，列出总利润关于售价x的函数表达式，再结合二次函数的最值性质，同时注意x的取值范围，即可求出利润最大时对应的售价。
【解析】
设总利润为y元，由题意得：
单件利润为$(x-20)$元，销售量为$(30-x)$件，因此
$y=(x-20)(30-x)$
展开得：$y=-x^2+50x-600$
这是一个二次函数，其中$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，函数在对称轴处取得最大值。
二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=50$得：
$x=-\frac{50}{2×(-1)}=25$
又因为$20≤25≤30$，且25是整数，符合题意，因此当售价为25元时，利润最大。
【答案】
B
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在销售利润问题中的典型应用，解题的核心是正确列出利润关于售价的函数关系式，再利用二次函数的性质求最值，求解时要注意结合题目给出的自变量取值范围验证最值点是否符合要求。
【难度系数】
0.8
2 教材变式题 某旅社有100张床位，若每张床位每晚收费100元，床位可全部租出。若每张床位每晚收费提高20元，则减少10张床位租出；若每张床位每晚收费再提高20元，则再减少10张床位租出，以每次提高20元的这种方法变化下去，为了收入多而投资较少，每张床位每晚可提高
60
元。答案
2. 60
解析
【分析】
这是利用二次函数求解最大收益的实际问题，解题思路如下：1. 明确收入的计算逻辑：每晚总收入=每张床位实际收费×当晚租出的床位数量；2. 因每次收费提高20元对应减少10张床位出租，可设共提高x个20元，用含x的代数式分别表示每张床位实际收费、租出床位数量两个量；3. 列出收入关于x的二次函数解析式，结合二次函数开口向下的性质找最大值对应的x取值；4. 注意x必须为整数，且题目要求“投资较少”，即相同收入下租出床位越少、运营成本越低，据此选出符合要求的x，计算最终提高的总金额即可。
【解析】
设每张床位每晚提高x个20元，每晚总收入为y元。
根据题意，每张床位实际收费为$(100+20x)$元，租出的床位数量为$(100-10x)$张（x为非负整数，且$100-10x≥0$即$x≤10$）。
则总收入函数为：
$\begin{aligned}y&=(100+20x)(100-10x)\\&=-200x^2+1000x+10000\end{aligned}$
该二次函数开口向下，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1000}{2×(-200)}=2.5$。
因x为整数，故x=2或x=3时y取得最大值：
当x=2时，提高金额为$2×20=40$元，租出床位$100-10×2=80$张，收入$y=140×80=11200$元；
当x=3时，提高金额为$3×20=60$元，租出床位$100-10×3=70$张，收入$y=160×70=11200$元。
两种情况收入相同，题目要求投资较少，租出床位越少则投资越少，因此选择x=3，即每张床位每晚提高60元。
【答案】
60
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值，利润问题计算
【点评】
本题结合经营场景考查二次函数的最值应用，解题时需注意自变量的取值要符合实际意义，同时不要忽略“投资较少”这一限制条件，避免出现多解漏选的错误。
【难度系数】
0.6
这是利用二次函数求解最大收益的实际问题，解题思路如下：1. 明确收入的计算逻辑：每晚总收入=每张床位实际收费×当晚租出的床位数量；2. 因每次收费提高20元对应减少10张床位出租，可设共提高x个20元，用含x的代数式分别表示每张床位实际收费、租出床位数量两个量；3. 列出收入关于x的二次函数解析式，结合二次函数开口向下的性质找最大值对应的x取值；4. 注意x必须为整数，且题目要求“投资较少”，即相同收入下租出床位越少、运营成本越低，据此选出符合要求的x，计算最终提高的总金额即可。
【解析】
设每张床位每晚提高x个20元，每晚总收入为y元。
根据题意，每张床位实际收费为$(100+20x)$元，租出的床位数量为$(100-10x)$张（x为非负整数，且$100-10x≥0$即$x≤10$）。
则总收入函数为：
$\begin{aligned}y&=(100+20x)(100-10x)\\&=-200x^2+1000x+10000\end{aligned}$
该二次函数开口向下，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1000}{2×(-200)}=2.5$。
因x为整数，故x=2或x=3时y取得最大值：
当x=2时，提高金额为$2×20=40$元，租出床位$100-10×2=80$张，收入$y=140×80=11200$元；
当x=3时，提高金额为$3×20=60$元，租出床位$100-10×3=70$张，收入$y=160×70=11200$元。
两种情况收入相同，题目要求投资较少，租出床位越少则投资越少，因此选择x=3，即每张床位每晚提高60元。
【答案】
60
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值，利润问题计算
【点评】
本题结合经营场景考查二次函数的最值应用，解题时需注意自变量的取值要符合实际意义，同时不要忽略“投资较少”这一限制条件，避免出现多解漏选的错误。
【难度系数】
0.6
3 [2025 周口郸城期末]某商场销售一批衬衫，每件进价为200元，若每件售价为250元，每天可售出40件.为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件.设每件衬衫降价x元.
（1）若商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
（1）若商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
答案
3. (1) 根据题意,得$(40+2x)(250-200-x)=1200$,解得$x_1=-10$(不合题意,舍去),$x_2=40$.
∴ 每件衬衫应降价 40 元
(2) 设每天盈利为$w$元. 根据题意,得$w=(250-200-x)(40+2x)=-2x^2+60x+2000=-2(x-15)^2+2450$. $\because -2＜0$,
$\therefore$ 当$x=15$时,$w$有最大值 2450. $\therefore$ 每件衬衫降价 15 元时,商场平均每天盈利最多
∴ 每件衬衫应降价 40 元
(2) 设每天盈利为$w$元. 根据题意,得$w=(250-200-x)(40+2x)=-2x^2+60x+2000=-2(x-15)^2+2450$. $\because -2＜0$,
$\therefore$ 当$x=15$时,$w$有最大值 2450. $\therefore$ 每件衬衫降价 15 元时,商场平均每天盈利最多
解析
【分析】
（1）第一问核心利用“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系求解。首先明确降价x元后，单件利润为原利润（250-200）元减去降价的x元，即(50-x)元；销售数量为原销量40件加上降价多售出的2x件，即(40+2x)件。令两者乘积等于1200列一元二次方程，求解后结合“尽快减少库存”的要求，选择降价幅度更大的解，舍去不符合实际的负数值解。
（2）第二问先将总盈利w表示为关于x的二次函数，再用二次函数性质求最值。由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处为最大值点，通过配方法将函数化为顶点式即可得到对应最值的x值。
【解析】
（1）根据题意列方程：
$(40+2x)(250-200-x)=1200$
整理得$(40+2x)(50-x)=1200$，化简为$x^2-30x-400=0$
因式分解得$(x-40)(x+10)=0$
解得$x_1=-10$（降价金额不能为负，不合题意，舍去），$x_2=40$
因需尽快减少库存，故取$x=40$。
（2）设每天盈利为$w$元，根据题意得：
$w=(250-200-x)(40+2x)$
$=(50-x)(40+2x)$
$=-2x^2+60x+2000$
配方得$w=-2(x-15)^2+2450$
$\because -2＜0$，抛物线开口向下
$\therefore$当$x=15$时，$w$有最大值2450。
【答案】
（1）每件衬衫应降价40元；
（2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值；销售利润计算
【点评】
本题是销售利润类的典型应用题，核心是掌握总利润的计算关系式，根据需求列方程或函数表达式求解，同时注意结合实际问题的限制条件对解进行取舍，计算二次函数最值时配方法是常用手段，需注意运算时的符号问题。
【难度系数】
0.7
（1）第一问核心利用“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系求解。首先明确降价x元后，单件利润为原利润（250-200）元减去降价的x元，即(50-x)元；销售数量为原销量40件加上降价多售出的2x件，即(40+2x)件。令两者乘积等于1200列一元二次方程，求解后结合“尽快减少库存”的要求，选择降价幅度更大的解，舍去不符合实际的负数值解。
（2）第二问先将总盈利w表示为关于x的二次函数，再用二次函数性质求最值。由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处为最大值点，通过配方法将函数化为顶点式即可得到对应最值的x值。
【解析】
（1）根据题意列方程：
$(40+2x)(250-200-x)=1200$
整理得$(40+2x)(50-x)=1200$，化简为$x^2-30x-400=0$
因式分解得$(x-40)(x+10)=0$
解得$x_1=-10$（降价金额不能为负，不合题意，舍去），$x_2=40$
因需尽快减少库存，故取$x=40$。
（2）设每天盈利为$w$元，根据题意得：
$w=(250-200-x)(40+2x)$
$=(50-x)(40+2x)$
$=-2x^2+60x+2000$
配方得$w=-2(x-15)^2+2450$
$\because -2＜0$，抛物线开口向下
$\therefore$当$x=15$时，$w$有最大值2450。
【答案】
（1）每件衬衫应降价40元；
（2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值；销售利润计算
【点评】
本题是销售利润类的典型应用题，核心是掌握总利润的计算关系式，根据需求列方程或函数表达式求解，同时注意结合实际问题的限制条件对解进行取舍，计算二次函数最值时配方法是常用手段，需注意运算时的符号问题。
【难度系数】
0.7
4 数形结合思想 已知一种蜜柚的成本价为8元/千克，某商家将该蜜柚投入市场销售时，调查市场行情，发现销售该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的函数关系如图所示，则y与x之间的函数表达式为
$y=-10x+300$
（无需写出自变量x的取值范围），当该蜜柚的销售价格为19
元/千克时，每天销售获得的利润最大，最大利润为1210
元。答案
4. $y=-10x+300$ 19 1210
解析
【分析】
本题分两步求解：第一步求y与x的一次函数表达式，观察图像可知y是x的一次函数，因此设解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将图像给出的两个已知点$(10,200)$、$(15,150)$代入解析式，解二元一次方程组即可得到函数表达式。第二步求最大利润，根据“总利润=每千克利润×销售量”的公式，每千克利润为$(x-8)$元，代入已求出的y的表达式，即可得到总利润关于x的二次函数，由于二次项系数小于0，函数图像开口向下，顶点处取得最大值，结合二次函数性质即可求出最大利润及对应销售价格。
【解析】
1. 求y与x的函数表达式：
设y与x的函数解析式为$ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $），
将点$(10,200)$、$(15,150)$代入解析式得：
$\begin{cases}10k + b = 200 \\15k + b = 150\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$5k = -50$，解得$k = -10$，
将$k=-10$代入$10k + b =200$得：$-100 + b = 200$，解得$b=300$，
因此y与x的函数表达式为$ y = -10x + 300 $。
2. 求最大利润：
设每天销售获得的利润为$W$元，根据总利润公式得：
$ W = (x - 8)y $，
将$ y = -10x + 300 $代入得：
$\begin{aligned}W&=(x - 8)(-10x + 300)\\&=-10x^2 + 380x - 2400\\&=-10(x - 19)^2 + 1210\end{aligned}$
因为$a=-10 ＜ 0$，二次函数图像开口向下，当$x=19$时，$W$取得最大值，最大值为1210元。
【答案】
$y=-10x+300$；19；1210
【知识点】
待定系数法求一次函数；二次函数利润应用；二次函数的最值
【点评】
本题是典型的函数实际应用问题，结合一次函数与二次函数考查销售利润问题，核心是先根据图像求出销售量的函数关系，再构建二次函数模型求解最值，属于该类题型的常规考法。
【难度系数】
0.7
本题分两步求解：第一步求y与x的一次函数表达式，观察图像可知y是x的一次函数，因此设解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将图像给出的两个已知点$(10,200)$、$(15,150)$代入解析式，解二元一次方程组即可得到函数表达式。第二步求最大利润，根据“总利润=每千克利润×销售量”的公式，每千克利润为$(x-8)$元，代入已求出的y的表达式，即可得到总利润关于x的二次函数，由于二次项系数小于0，函数图像开口向下，顶点处取得最大值，结合二次函数性质即可求出最大利润及对应销售价格。
【解析】
1. 求y与x的函数表达式：
设y与x的函数解析式为$ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $），
将点$(10,200)$、$(15,150)$代入解析式得：
$\begin{cases}10k + b = 200 \\15k + b = 150\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$5k = -50$，解得$k = -10$，
将$k=-10$代入$10k + b =200$得：$-100 + b = 200$，解得$b=300$，
因此y与x的函数表达式为$ y = -10x + 300 $。
2. 求最大利润：
设每天销售获得的利润为$W$元，根据总利润公式得：
$ W = (x - 8)y $，
将$ y = -10x + 300 $代入得：
$\begin{aligned}W&=(x - 8)(-10x + 300)\\&=-10x^2 + 380x - 2400\\&=-10(x - 19)^2 + 1210\end{aligned}$
因为$a=-10 ＜ 0$，二次函数图像开口向下，当$x=19$时，$W$取得最大值，最大值为1210元。
【答案】
$y=-10x+300$；19；1210
【知识点】
待定系数法求一次函数；二次函数利润应用；二次函数的最值
【点评】
本题是典型的函数实际应用问题，结合一次函数与二次函数考查销售利润问题，核心是先根据图像求出销售量的函数关系，再构建二次函数模型求解最值，属于该类题型的常规考法。
【难度系数】
0.7
5 [2024滨州]春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量$y$(单位:张)与售价$x$(单位:元/张)之间满足一次函数关系($30≤ x≤80$，且$x$是整数)，部分数据如下表：
(1) 请求出$y$与$x$之间的函数表达式.
(2) 设该影院每天的利润(利润=票房收入－运营成本)为$w$元，求$w$与$x$之间的函数表达式.
(3) 当该影院将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？
(1) 请求出$y$与$x$之间的函数表达式.
(2) 设该影院每天的利润(利润=票房收入－运营成本)为$w$元，求$w$与$x$之间的函数表达式.
(3) 当该影院将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？
答案
5. (1) 设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b$. 由表格,可得$\begin{cases}40k+b=164,\\50k+b=124,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-4,\\b=324.\end{cases}$ $\therefore y$与$x$之间的函数表达式为$y=-4x+324$($30≤ x≤80$,且$x$是整数)
(2) 由题意,可得$w=x(-4x+324)-2000=-4x^2+324x-2000$,即$w$与$x$之间的函数表达式为$w=-4x^2+324x-2000$($30≤ x≤80$,且$x$是整数)
(3) 由(2)知,$w=-4x^2+324x-2000=-4(x-\dfrac{81}{2})^2+4561$. $\because 30≤ x≤80$,且$x$是整数,$\therefore$ 当$x=40$或$x=41$时,$w$取得最大值,此时$w=4560$. $\therefore$ 该影院将电影票售价定为40 元/张或 41 元/张时,每天获利最大,最大利润是 4560 元
(2) 由题意,可得$w=x(-4x+324)-2000=-4x^2+324x-2000$,即$w$与$x$之间的函数表达式为$w=-4x^2+324x-2000$($30≤ x≤80$,且$x$是整数)
(3) 由(2)知,$w=-4x^2+324x-2000=-4(x-\dfrac{81}{2})^2+4561$. $\because 30≤ x≤80$,且$x$是整数,$\therefore$ 当$x=40$或$x=41$时,$w$取得最大值,此时$w=4560$. $\therefore$ 该影院将电影票售价定为40 元/张或 41 元/张时,每天获利最大,最大利润是 4560 元
解析
【分析】
(1) 已知y与x满足一次函数关系，因此采用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式为y=kx+b(k≠0)，将表格中两组x、y的对应值代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k和b的值，再结合题目给出的x的取值范围，即可得到y与x的函数表达式。
(2) 根据利润的计算公式：利润=票房收入-运营成本，其中票房收入=售价×售出票数，即x·y，将第(1)问求出的y的表达式代入公式，减去固定运营成本2000元后整理，即可得到w与x的函数表达式，注意保留x的取值范围。
(3) 第(2)问得到的w是关于x的二次函数，且二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处取得最大值。先将二次函数配方为顶点式，找到顶点的横坐标，由于x要求是整数且在30≤x≤80范围内，因此取距离顶点横坐标最近的两个整数代入计算w的值，比较后即可得到最大利润和对应的售价。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将表格数据代入得：
$\begin{cases}40k+b=164\\50k+b=124\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-4\\b=324\end{cases}$
结合x的取值范围，可得$y$与$x$之间的函数表达式为$y=-4x+324$（$30≤ x≤80$,且$x$是整数）。
(2) 根据题意，$w=$票房收入$-$运营成本$=x· y-2000$，将$y=-4x+324$代入得：
$w=x(-4x+324)-2000=-4x^2+324x-2000$
即$w$与$x$之间的函数表达式为$w=-4x^2+324x-2000$（$30≤ x≤80$,且$x$是整数）。
(3) 将二次函数配方为顶点式：
$w=-4x^2+324x-2000=-4(x-\dfrac{81}{2})^2+4561$
$\because -4＜0$，函数图象开口向下，当$x=40.5$时$w$取最大值，
又$\because 30≤ x≤80$且$x$是整数，$\therefore$当$x=40$或$x=41$时$w$取得最大值，
代入计算得最大值为$4560$元。
【答案】
(1) $y=-4x+324$（$30≤ x≤80$,且$x$是整数）
(2) $w=-4x^2+324x-2000$（$30≤ x≤80$,且$x$是整数）
(3) 当电影票售价定为40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数利润应用；二次函数最值求解
【点评】
本题是结合实际经营场景的函数综合题，解题的核心是理清售价、销量、利润之间的数量关系，求解二次函数最值时要注意自变量的取值限制（本题x为整数），不能直接使用顶点的非整数值，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.65
(1) 已知y与x满足一次函数关系，因此采用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式为y=kx+b(k≠0)，将表格中两组x、y的对应值代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k和b的值，再结合题目给出的x的取值范围，即可得到y与x的函数表达式。
(2) 根据利润的计算公式：利润=票房收入-运营成本，其中票房收入=售价×售出票数，即x·y，将第(1)问求出的y的表达式代入公式，减去固定运营成本2000元后整理，即可得到w与x的函数表达式，注意保留x的取值范围。
(3) 第(2)问得到的w是关于x的二次函数，且二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处取得最大值。先将二次函数配方为顶点式，找到顶点的横坐标，由于x要求是整数且在30≤x≤80范围内，因此取距离顶点横坐标最近的两个整数代入计算w的值，比较后即可得到最大利润和对应的售价。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将表格数据代入得：
$\begin{cases}40k+b=164\\50k+b=124\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-4\\b=324\end{cases}$
结合x的取值范围，可得$y$与$x$之间的函数表达式为$y=-4x+324$（$30≤ x≤80$,且$x$是整数）。
(2) 根据题意，$w=$票房收入$-$运营成本$=x· y-2000$，将$y=-4x+324$代入得：
$w=x(-4x+324)-2000=-4x^2+324x-2000$
即$w$与$x$之间的函数表达式为$w=-4x^2+324x-2000$（$30≤ x≤80$,且$x$是整数）。
(3) 将二次函数配方为顶点式：
$w=-4x^2+324x-2000=-4(x-\dfrac{81}{2})^2+4561$
$\because -4＜0$，函数图象开口向下，当$x=40.5$时$w$取最大值，
又$\because 30≤ x≤80$且$x$是整数，$\therefore$当$x=40$或$x=41$时$w$取得最大值，
代入计算得最大值为$4560$元。
【答案】
(1) $y=-4x+324$（$30≤ x≤80$,且$x$是整数）
(2) $w=-4x^2+324x-2000$（$30≤ x≤80$,且$x$是整数）
(3) 当电影票售价定为40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数利润应用；二次函数最值求解
【点评】
本题是结合实际经营场景的函数综合题，解题的核心是理清售价、销量、利润之间的数量关系，求解二次函数最值时要注意自变量的取值限制（本题x为整数），不能直接使用顶点的非整数值，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.65
