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1. 如图，在平面内作已知直线$ m $的垂线，可作的垂线有（
A.0条
B.1条
C.2条
D.无数条
D
）A.0条
B.1条
C.2条
D.无数条
答案
1. D
2. 如图，$AC ⊥ BC$，直线EF经过点C。若$∠ 1 = 35°$，则$∠ 2$的度数为
（第2题）
55°
。（第2题）答案
2. 55°
3. 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，∠EOD=50°，则∠BOC=
140°
。答案
3. 140°
解析：因为 $EO⊥AB$, 所以 $∠BOE=90°$. 因为$∠EOD=50°$,所以 $∠BOD=∠BOE−∠EOD=40°$,所以 $∠BOC=180°−∠BOD=140°$.
解析：因为 $EO⊥AB$, 所以 $∠BOE=90°$. 因为$∠EOD=50°$,所以 $∠BOD=∠BOE−∠EOD=40°$,所以 $∠BOC=180°−∠BOD=140°$.
4. 亮点原创·如图，已知$OA⊥OB$，$OC⊥OD$，$∠ COE=∠ BOE$，$OF$平分$∠ AOD$，给出下列结论：① $∠ AOE = ∠ DOE$；② $∠ AOD + ∠ COB = 180°$；③ $∠ COB - ∠ AOD = 90°$；④ $∠ COE + ∠ BOF = 180°$. 其中正确的有（
A.4个
B.3个
C.2个
D.0个
B
）A.4个
B.3个
C.2个
D.0个
答案
4. B
解析: 因为 $OA ⊥ OB, OC ⊥ OD$, 所以 $∠AOB=∠COD=90°$, 所以 $∠COD − ∠AOD = ∠AOB − ∠AOD$,所以 $∠AOC=∠BOD$. 又$∠COE=∠BOE$,所以 $∠AOC + ∠COE = ∠BOD + ∠BOE$, 所以$∠AOE=∠DOE$, 故 ① 正确; $∠AOD + ∠COB =∠AOD + ∠AOC + ∠AOB = ∠COD + ∠AOB =180°$, 故 ② 正确; $∠COB − ∠AOD = ∠AOC +∠AOB − ∠AOD = 90° + (∠AOC − ∠AOD)$, 而$∠AOC$ 不一定等于$∠AOD$,故③错误; 因为 OF 平分$∠AOD$,所以$∠AOF=∠DOF$. 又$∠AOE=∠DOE$,所以 $∠AOF + ∠AOE = ∠DOF + ∠DOE$. 又$∠AOF + ∠AOE + ∠DOF + ∠DOE = 360°$, 所以$∠AOF+∠AOE=180°$,所以 F,O,E 三点共线. 因为 $∠COE = ∠BOE$, 所以 $∠COE + ∠BOF =∠BOE+∠BOF=180°$,故④正确.综上所述,其中正确的结论有3个.
解析: 因为 $OA ⊥ OB, OC ⊥ OD$, 所以 $∠AOB=∠COD=90°$, 所以 $∠COD − ∠AOD = ∠AOB − ∠AOD$,所以 $∠AOC=∠BOD$. 又$∠COE=∠BOE$,所以 $∠AOC + ∠COE = ∠BOD + ∠BOE$, 所以$∠AOE=∠DOE$, 故 ① 正确; $∠AOD + ∠COB =∠AOD + ∠AOC + ∠AOB = ∠COD + ∠AOB =180°$, 故 ② 正确; $∠COB − ∠AOD = ∠AOC +∠AOB − ∠AOD = 90° + (∠AOC − ∠AOD)$, 而$∠AOC$ 不一定等于$∠AOD$,故③错误; 因为 OF 平分$∠AOD$,所以$∠AOF=∠DOF$. 又$∠AOE=∠DOE$,所以 $∠AOF + ∠AOE = ∠DOF + ∠DOE$. 又$∠AOF + ∠AOE + ∠DOF + ∠DOE = 360°$, 所以$∠AOF+∠AOE=180°$,所以 F,O,E 三点共线. 因为 $∠COE = ∠BOE$, 所以 $∠COE + ∠BOF =∠BOE+∠BOF=180°$,故④正确.综上所述,其中正确的结论有3个.
5. (2026·江苏宿迁期末)已知$∠ BOC=60°$，$OF$平分$∠ BOC$.若$AO⊥ BO$，$OE$平分$∠ AOC$，则$∠ EOF=$
45°
.答案
5. 45°
解析: 因为$∠BOC=60°$,OF 平分$∠BOC$,所以$∠COF = \frac{1}{2}∠BOC = 30°$. 因为 $AO ⊥ BO$, 所以$∠AOB=90°$. 因为 OE 平分$∠AOC$,所以$∠COE =\frac{1}{2}∠AOC$.分类讨论如下:① 如图①,当射线 OC 在$∠AOB$外部时,$∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°$,所以$∠COE=75°$,所以$∠EOF=∠COE−∠COF=45°$;② 如图②,当射线 OC 在$∠AOB$内部时,$∠AOC=∠AOB−∠BOC=30°$,所以$∠COE=15°$,所以$∠EOF=∠COE+∠COF=45°$.综上所述,$∠EOF$的度数是 45°.
易错警示
注意分类讨论,避免漏解.
6. 如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，∠BOD：∠BOC=1：5.
（1）求∠AOE的度数；
（2）过点O作OF⊥AB，并求∠EOF的度数.
（1）求∠AOE的度数；
（2）过点O作OF⊥AB，并求∠EOF的度数.
答案
6. （1）因为$∠BOD : ∠BOC = 1 : 5$, 所以$∠BOC =5∠BOD$. 因为 $∠BOC + ∠BOD = 180°$, 所以$6∠BOD=180°$,所以$∠AOC=∠BOD=30°$. 因为$OE⊥CD$,所以$∠COE=90°$,所以$∠AOE=∠AOC+∠COE=120°$.
（2）图略. 因为 $OE ⊥ CD$,所以$∠DOE=90°$. 因为$∠BOD=30°$,所以$∠BOE=∠DOE−∠BOD=60°$.因为$OF⊥AB$,所以$∠BOF=90°$.分类讨论如下:① 当 OF 在直线 CD 上方时,$∠EOF=∠BOF−∠BOE=30°$;② 当 OF 在直线 CD 下方时,$∠EOF=∠BOF+∠BOE=150°$.综上所述,$∠EOF$的度数是$30°$或$150°$.
方法归纳
解决几何求值类问题的一般方法是根据图形的相关性质,通过分析、逐步推理,结合问题中的已知条件求得相应角的度数,再根据图形中的角与角之间的关系,将待求角转化为已知角之间的和或差,从而解决问题.
（2）图略. 因为 $OE ⊥ CD$,所以$∠DOE=90°$. 因为$∠BOD=30°$,所以$∠BOE=∠DOE−∠BOD=60°$.因为$OF⊥AB$,所以$∠BOF=90°$.分类讨论如下:① 当 OF 在直线 CD 上方时,$∠EOF=∠BOF−∠BOE=30°$;② 当 OF 在直线 CD 下方时,$∠EOF=∠BOF+∠BOE=150°$.综上所述,$∠EOF$的度数是$30°$或$150°$.
方法归纳
解决几何求值类问题的一般方法是根据图形的相关性质,通过分析、逐步推理,结合问题中的已知条件求得相应角的度数,再根据图形中的角与角之间的关系,将待求角转化为已知角之间的和或差,从而解决问题.
7. 在同一平面内，若$∠ A$与$∠ B$的两边分别垂直，且$∠ A$比$∠ B$的3倍少$40°$，则$∠ A$的度数为
20°或125°
。答案
7. 20°或125°
解析: 因为$∠A$与$∠B$的两边分别垂直，所以$∠A=∠B$或$∠A+∠B=180°$.设$∠B=x°$,则$∠A=(3x−40)°$.分类讨论如下:① 当$∠A=∠B$时,$3x−40=x$, 解得 $x=20$, 则$∠A=20°$; ② 当$∠A+∠B=180°$时,$3x−40+x=180$, 解得 $x=55$,则$∠A=125°$.综上所述,$∠A$的度数为$20°$或$125°$.
解析: 因为$∠A$与$∠B$的两边分别垂直，所以$∠A=∠B$或$∠A+∠B=180°$.设$∠B=x°$,则$∠A=(3x−40)°$.分类讨论如下:① 当$∠A=∠B$时,$3x−40=x$, 解得 $x=20$, 则$∠A=20°$; ② 当$∠A+∠B=180°$时,$3x−40+x=180$, 解得 $x=55$,则$∠A=125°$.综上所述,$∠A$的度数为$20°$或$125°$.
8. 新趋势 推导探究 已知OC是从直线AB上一点O引出的任意一条射线，OE平分$∠ AOC$，沿顺时针方向画$∠ EOF$，以O为端点引射线OD，使得OF平分$∠ BOD$.
(1) 如图①，若$∠ EOF=135°$，判断OC与OD之间的位置关系，并说明理由；
(2) 如图②，若$∠ EOF=45°$，则OC与OD之间的位置关系是否发生变化？并说明理由.
(1) 如图①，若$∠ EOF=135°$，判断OC与OD之间的位置关系，并说明理由；
(2) 如图②，若$∠ EOF=45°$，则OC与OD之间的位置关系是否发生变化？并说明理由.
答案
8. （1）$OC⊥OD$.理由如下:因为$∠EOF=135°$,所以$∠BOE+∠BOF=135°$. 因为$∠BOE+∠AOE=180°$,所以$∠AOE−∠BOF=45°$. 因为 OE 平分$∠AOC$, OF 平分$∠BOD$, 所以$∠COE=∠AOE$,$∠DOF=∠BOF$, 所以$∠COE−∠DOF=∠AOE−∠BOF=45°$,所以$∠COD=∠EOF−∠COE+∠DOF=∠EOF−(∠COE−∠DOF)=90°$,所以$OC⊥OD$.
（2）OC 与 OD 之间的位置关系不变.理由如下:因为OE 平分$∠AOC$, OF 平分$∠BOD$, 所以$∠AOC=2∠AOE$,$∠BOD=2∠BOF$. 因为$∠EOF=45°$,所以$∠AOE+∠BOF=180°−∠EOF=135°$,所以$∠AOC+∠BOD=2(∠AOE+∠BOF)=270°$,所以$∠AOC+∠BOC+∠COD=270°$,所以$180°+∠COD=270°$,所以$∠COD=90°$,所以$OC⊥OD$,即 OC 与 OD 之间的位置关系不变.
（2）OC 与 OD 之间的位置关系不变.理由如下:因为OE 平分$∠AOC$, OF 平分$∠BOD$, 所以$∠AOC=2∠AOE$,$∠BOD=2∠BOF$. 因为$∠EOF=45°$,所以$∠AOE+∠BOF=180°−∠EOF=135°$,所以$∠AOC+∠BOD=2(∠AOE+∠BOF)=270°$,所以$∠AOC+∠BOC+∠COD=270°$,所以$180°+∠COD=270°$,所以$∠COD=90°$,所以$OC⊥OD$,即 OC 与 OD 之间的位置关系不变.
