一、填空题
1. 一张面积是$100\ \mathrm{cm}^2$的矩形彩纸，长比宽多$6\ \mathrm{cm}$. 若设它的宽为$x\ \mathrm{cm}$，可列出一元二次方程为________（化为一般式）.

1. $x^2+6x-100=0$

2. 某村种植的杂交水稻2023年的平均亩产量为600千克,2025年的平均亩产量为726千克,则此水稻亩产量的年平均增长率为.

2. 10%

3. 某商场将进价为30元/个的台灯以售价40元/个售出,平均每月能售出600个.调查发现:每个这种台灯的售价每上涨1元,其销售量减少10个.为实现平均每月10 000元的销售利润,从让利消费者的角度考虑,商场对这种台灯的售价应定为元/个.

3. 50

4. 如图,在一个长 40 m、宽 26 m 的矩形花园中修建小道(涂色部分),其中 AB=CD=EF=GH=x m,每段小道的两边缘平行,剩余的地方种植花草,要使种植花草的面积为 864 m²,则 x 的值为 . (第4题)

4. 2

二、解答题
5. 如图，正方形ABCD的边长为4 cm，动点P从点B出发，以2 cm/s的速度沿B→C→D的方向向点D运动；动点Q从点A出发，以1 cm/s的速度沿A→B的方向向点B运动。若P，Q两点同时出发，运动时间为t s。
（1）是否存在这样的t，使得以点P，Q，D为顶点的三角形的面积为11 cm²？
（2）当点P在BC上运动时，连接PD，PQ，DQ，是否存在这样的t，使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由。

5. (1) 当点 P 在 BC 上,即 0≤t≤2 时,连接PD,PQ,DQ.
∴ AQ=t cm,BQ=(4−t)cm,BP=2t cm,PC=(4−2t) cm.
∵ $S_{正方形ABCD}-S_{△ ADQ}-S_{△ BPQ}-S_{△ CPD}=S_{△ PQD}$,
∴ $4^2-\frac{1}{2}· 4t-\frac{1}{2}(4-t)· 2t-\frac{1}{2}· 4(4-2t)=11$,解得 $t_1=-1,t_2=3$,均不合题意,舍去. 当点 P 在CD 上,即 2＜t≤4 时,连接 PQ,DQ.
∴ AQ=t cm,DP=(8−2t) cm.
∵ $S_{△ PQD}=\frac{1}{2}BC· DP$,
∴ $\frac{1}{2}×4(8-2t)=11$,解得 $t=\frac{5}{4}$(不合题意,舍去).
∴ 不存在这样的 t,使得以点 P,Q,D 为顶点的三角形的面积为11 cm²
(2) 存在 当点 P 在 BC 上运动时,假设存在满足题意的 t(0≤t≤2),则 AQ=t cm,BQ=(4−t) cm,BP=2t cm,PC=(4−2t) cm. 当 PD=QD 时,在正方形 ABCD 中,∠B=∠C=∠A=90°,DC=DA,
∴ Rt△DPC≌Rt△DQA.
∴ PC=QA,即 4−2t=t,解得 $t=\frac{4}{3}$. 当 PD=PQ 时,在 Rt△PBQ 中,$PQ^2=PB^2+BQ^2=[(2t)^2+(4-t)^2]\mathrm{cm}^2$. 在 Rt△PCD 中,$PD^2=PC^2+CD^2=[(4-2t)^2+4^2]\mathrm{cm}^2$.
∴ $(2t)^2+(4-t)^2=(4-2t)^2+4^2$,解得 $t_1=-4\sqrt{2}-4$(不合题意,舍去),$t_2=4\sqrt{2}-4$.
∴ 当 $t=\frac{4}{3}$或 $4\sqrt{2}-4$ 时,△PQD 是以 PD为一腰的等腰三角形