登录
1 具备下列条件的$△ ABC$中,不是直角三角形的是（
A.$∠ A+∠ B=∠ C$
B.$∠ A-∠ B=∠ C$
C.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
D.$∠ A=∠ B=3∠ C$
D
）A.$∠ A+∠ B=∠ C$
B.$∠ A-∠ B=∠ C$
C.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
D.$∠ A=∠ B=3∠ C$
答案
1.D 【解析】A选项, $∠A+∠B=∠C, ∠A+∠B+∠C=180°$, 所以$2 ∠C=180°$, 所以$∠C=90°$, 所以$△ABC$是直角三角形,故此选项不符合题意;B选项,$∠A-∠B=∠C, ∠A+∠B+∠C=180°$,所以$2 ∠A=180°$,所以$∠A=90°$,所以$△ABC$是直角三角形,故此选项不符合题意;C选项,$∠A:∠B:∠C=1:2:3$,所以$∠C=\frac{3}{1+2+3}×180°=90°$,所以$△ABC$是直角三角形,故此选项不符合题意;D选项,$∠A=∠B=3∠C, ∠A+∠B+∠C=180°$,即$7 ∠C=180°$,所以$∠A,∠B,∠C$都不是$90°$角,故此选项符合题意. 故选D.
2 如图，已知点P是射线ON上一动点，∠AON=30°，当∠A=
60°或90°
时，△AOP为直角三角形。答案
2. $60°或90°$ 【解析】当$∠A=90°$时,$△AOP$为直角三角形;当$∠APO=90°$时,$∠A=180°-∠AON-∠APO=180°-30°-90°=60°$. 故答案为$60°或90°$.
3 如图,在$△ ABC$中,已知$∠ B=\frac{1}{2}∠ A=\frac{1}{3}∠ C$, $AB=8\ \mathrm{cm}.$
(1)求证:$△ ABC$为直角三角形；
(2)求AB边上的中线长.
(1)求证:$△ ABC$为直角三角形；
(2)求AB边上的中线长.
答案
3.(1)【证明】因为在$△ABC$中,$∠B=\frac{1}{2}∠A=\frac{1}{3}∠C$,$∠A+∠B+∠C=180°$,所以可设$∠B=x°$,则$∠A=(2x)°,∠C=(3x)°$,所以$x+2x+3x=180$,解得$x=30$,所以$∠C=90°$,所以$△ABC$为直角三角形.
(2)【解】因为$∠C=90°,AB=8\ \mathrm{cm}$,所以$AB$边上的中线长为$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{cm})$.
(2)【解】因为$∠C=90°,AB=8\ \mathrm{cm}$,所以$AB$边上的中线长为$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{cm})$.
4 如图，BE，CF都是$△ ABC$的高，在BE上截取$BD = AC$，在射线CF上截取$CG = AB$，连结AG，AD.
(1) 求证：$△ BAD ≌ △ CGA$；
(2) 若AD与CG交于点H，求证：$△ AGH$为直角三角形.
(1) 求证：$△ BAD ≌ △ CGA$；
(2) 若AD与CG交于点H，求证：$△ AGH$为直角三角形.
答案
4.【证明】(1) 因为BE,CF都是$△ABC$的高,所以$∠AEB=∠AFC=90°$.
因为$∠BAE=∠CAF$,所以$∠ABD=∠ACG$.
又因为$AB=CG,BD=AC$,
所以$△BAD≌△CGA(\mathrm{SAS})$.
(2) 因为$△BAD≌△CGA$,所以$∠BAD=∠G$.
因为$∠AFC=90°$,所以$∠AFG=90°$,
所以$∠G+∠GAF=90°$,所以$∠BAD+∠GAF=∠GAH=90°$,所以$△AGH$为直角三角形.
因为$∠BAE=∠CAF$,所以$∠ABD=∠ACG$.
又因为$AB=CG,BD=AC$,
所以$△BAD≌△CGA(\mathrm{SAS})$.
(2) 因为$△BAD≌△CGA$,所以$∠BAD=∠G$.
因为$∠AFC=90°$,所以$∠AFG=90°$,
所以$∠G+∠GAF=90°$,所以$∠BAD+∠GAF=∠GAH=90°$,所以$△AGH$为直角三角形.
5[2026福建宁德期末]已知$△ ABC$中，$∠ A = 90°$，点D是AC上一点，要求用尺规在BC边上确定一点E，使得$DE ⊥ BC$。小明同学的作法如图所示，其说明$△ CDE$是直角三角形的过程中，没有用到的依据是 (
A.直角三角形的两个锐角互余
B.等量代换
C.有两个角互余的三角形是直角三角形
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
（第5题图）
（第6题图）
D
)A.直角三角形的两个锐角互余
B.等量代换
C.有两个角互余的三角形是直角三角形
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
（第5题图）
（第6题图）
答案
5.D 【解析】由作图痕迹知$∠EDC=∠B$. 因为$∠A=90°$,所以$∠B+∠C=90°$(直角三角形的两个锐角互余). 因为$∠EDC=∠B$,所以$∠EDC+∠C=90°$(等量代换),所以$△CDE$是直角三角形(有两个角互余的三角形是直角三角形). 故选D.
6 如图，在$△ ABF$中，$BF$的垂直平分线分别交$AF$，$BF$于$C$，$E$，若$△ ABC$是等边三角形，则$△ ABF$是
直角
三角形。答案
6. 直角 【解析】因为CE垂直平分BF,所以$BC=CF$,所以$∠F=∠CBF$. 因为$△ABC$是等边三角形,所以$∠A=∠ACB=60°$,所以$∠F=∠CBF=30°$,所以$∠A+∠F=60°+30°=90°$,所以$△ABF$是直角三角形.
7[2025浙江台州期中]在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，点$D,E$分别在$AC,AB$上.
(1)如图(1)，$∠ ADE=∠ B$，求证：$△ ADE$是直角三角形；
(2)如图(2)，连结$BD$，$BD$平分$∠ ABC$，$∠ A=40°$，求$∠ ADB$的度数.
(1)如图(1)，$∠ ADE=∠ B$，求证：$△ ADE$是直角三角形；
(2)如图(2)，连结$BD$，$BD$平分$∠ ABC$，$∠ A=40°$，求$∠ ADB$的度数.
答案
7.(1)【证明】因为$∠C=90°$,所以$∠A+∠B=90°$.
因为$∠ADE = ∠B$,所以$∠A + ∠ADE = 90°$,所以$△ADE$是直角三角形.
(2)【解】因为$∠C=90°,∠A=40°$,所以$∠ABC=180°-∠C-∠A=180°-90°-40°=50°$. 因为BD是$∠ABC$的平分线,所以$∠DBC=\frac{1}{2}∠ABC=25°$,所以$∠ADB=∠C+∠DBC=90°+25°=115°$.
因为$∠ADE = ∠B$,所以$∠A + ∠ADE = 90°$,所以$△ADE$是直角三角形.
(2)【解】因为$∠C=90°,∠A=40°$,所以$∠ABC=180°-∠C-∠A=180°-90°-40°=50°$. 因为BD是$∠ABC$的平分线,所以$∠DBC=\frac{1}{2}∠ABC=25°$,所以$∠ADB=∠C+∠DBC=90°+25°=115°$.
