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3. 一题多解 [2026 阜阳颍州区期中] 如图，AB // CD，BE 平分 ∠ABC，CE 平分 ∠BCD，点 E 在 AD 上，求证：BC = AB + CD.
答案
证明:通解 如图
,在 BC 上取点 F,使 BF = BA(截长法),连接 EF.∵ BE 平分∠ABC,CE 平分∠BCD,
∴ ∠ABE = ∠FBE,∠FCE = ∠DCE.
在△ABE 和△FBE 中,$\begin{cases} AB = FB, \\ ∠ABE = ∠FBE, \\ BE = BE, \end{cases}$
∴ △ABE≌△FBE(SAS),
∴ ∠A = ∠BFE.
∵ AB//CD,
∴ ∠A + ∠D = 180°,
∴ ∠BFE + ∠D = 180°.
∵ ∠BFE + ∠CFE = 180°,
∴ ∠CFE = ∠D.
在△CFE 和△CDE 中,$\begin{cases} ∠CFE = ∠D, \\ ∠FCE = ∠DCE, \\ CE = CE, \end{cases}$
∴ △CFE≌△CDE(AAS),
∴ CF = CD.
∵ BC = BF + CF,
∴ BC = AB + CD.
另解 如图
,延长 CD,BE 交于点 F(补短法).∵ AB//CD,
∴ ∠ABC + ∠BCD = 180°.
∵ BE 平分∠ABC,CE 平分∠BCD,
∴ ∠CBE = ∠ABE = $\frac{1}{2}$∠ABC,∠BCE = ∠FCE = $\frac{1}{2}$∠BCD,
∴ ∠CBE + ∠BCE = 90°,
∴ ∠BEC = ∠FEC = 90°.
在△CEB 和△CEF 中,$\begin{cases} ∠BEC = ∠FEC, \\ CE = CE, \\ ∠BCE = ∠FCE, \end{cases}$
∴ △CEB≌△CEF(ASA),
∴ BC = FC,BE = FE.
∵ AB//CD,
∴ ∠ABE = ∠DFE.
在△ABE 和△DFE 中,$\begin{cases} ∠AEB = ∠DEF, \\ BE = FE, \\ ∠ABE = ∠DFE, \end{cases}$
∴ △ABE≌△DFE(ASA),
∴ AB = DF.
∵ FC = DF + CD,
∴ BC = AB + CD.
解析
【分析】
要证明一条线段等于另外两条线段的和，属于线段和差类证明问题，常用截长法或补短法构造全等三角形求解。①截长法思路：在较长线段BC上截取一段等于AB，结合角平分线的条件证明含AB和截取线段的三角形全等，再利用平行线的角关系证明剩余部分对应的三角形全等，得到剩余线段与CD相等，即可证得结论；②补短法思路：延长较短线段（或延长某条边构造交点），将两条短线段转化到同一条线段上，结合已知条件证明该线段与BC相等即可。
【解析】
方法1（截长法）：
如图，在BC上取点F，使BF = BA，连接EF.
∵ BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴ ∠ABE = ∠FBE，∠FCE = ∠DCE.
在△ABE和△FBE中，$\begin{cases} AB = FB, \\ ∠ABE = ∠FBE, \\ BE = BE, \end{cases}$
∴ △ABE≌△FBE(SAS)，
∴ ∠A = ∠BFE.
∵ AB//CD，
∴ ∠A + ∠D = 180°，
∴ ∠BFE + ∠D = 180°.
∵ ∠BFE + ∠CFE = 180°，
∴ ∠CFE = ∠D.
在△CFE和△CDE中，$\begin{cases} ∠CFE = ∠D, \\ ∠FCE = ∠DCE, \\ CE = CE, \end{cases}$
∴ △CFE≌△CDE(AAS)，
∴ CF = CD.
∵ BC = BF + CF，
∴ BC = AB + CD.
方法2（补短法）：
如图，延长CD，BE交于点F.
∵ AB//CD，
∴ ∠ABC + ∠BCD = 180°.
∵ BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴ ∠CBE = ∠ABE = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCE = ∠FCE = $\frac{1}{2}$∠BCD，
∴ ∠CBE + ∠BCE = 90°，
∴ ∠BEC = ∠FEC = 90°.
在△CEB和△CEF中，$\begin{cases} ∠BEC = ∠FEC, \\ CE = CE, \\ ∠BCE = ∠FCE, \end{cases}$
∴ △CEB≌△CEF(ASA)，
∴ BC = FC，BE = FE.
∵ AB//CD，
∴ ∠ABE = ∠DFE.
在△ABE和△DFE中，$\begin{cases} ∠AEB = ∠DEF, \\ BE = FE, \\ ∠ABE = ∠DFE, \end{cases}$
∴ △ABE≌△DFE(ASA)，
∴ AB = DF.
∵ FC = DF + CD，
∴ BC = AB + CD.
【答案】
证明:通解 如图,在 BC 上取点 F,使 BF = BA(截长法),连接 EF.
∵ BE 平分∠ABC,CE 平分∠BCD,
∴ ∠ABE = ∠FBE,∠FCE = ∠DCE.
在△ABE 和△FBE 中,$\begin{cases} AB = FB, \\ ∠ABE = ∠FBE, \\ BE = BE, \end{cases}$
∴ △ABE≌△FBE(SAS),
∴ ∠A = ∠BFE.
∵ AB//CD,
∴ ∠A + ∠D = 180°,
∴ ∠BFE + ∠D = 180°.
∵ ∠BFE + ∠CFE = 180°,
∴ ∠CFE = ∠D.
在△CFE 和△CDE 中,$\begin{cases} ∠CFE = ∠D, \\ ∠FCE = ∠DCE, \\ CE = CE, \end{cases}$
∴ △CFE≌△CDE(AAS),
∴ CF = CD.
∵ BC = BF + CF,
∴ BC = AB + CD.
另解 如图,延长 CD,BE 交于点 F(补短法).
∵ AB//CD,
∴ ∠ABC + ∠BCD = 180°.
∵ BE 平分∠ABC,CE 平分∠BCD,
∴ ∠CBE = ∠ABE = $\frac{1}{2}$∠ABC,∠BCE = ∠FCE = $\frac{1}{2}$∠BCD,
∴ ∠CBE + ∠BCE = 90°,
∴ ∠BEC = ∠FEC = 90°.
在△CEB 和△CEF 中,$\begin{cases} ∠BEC = ∠FEC, \\ CE = CE, \\ ∠BCE = ∠FCE, \end{cases}$
∴ △CEB≌△CEF(ASA),
∴ BC = FC,BE = FE.
∵ AB//CD,
∴ ∠ABE = ∠DFE.
在△ABE 和△DFE 中,$\begin{cases} ∠AEB = ∠DEF, \\ BE = FE, \\ ∠ABE = ∠DFE, \end{cases}$
∴ △ABE≌△DFE(ASA),
∴ AB = DF.
∵ FC = DF + CD,
∴ BC = AB + CD.
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心考查截长补短的辅助线构造方法，通过构造全等三角形将分散的线段关系转化为共线线段的和差关系，结合平行线、角平分线的性质完成角的等量转化，是几何证明的常见考法，熟练掌握截长补短的辅助线技巧可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.6
要证明一条线段等于另外两条线段的和，属于线段和差类证明问题，常用截长法或补短法构造全等三角形求解。①截长法思路：在较长线段BC上截取一段等于AB，结合角平分线的条件证明含AB和截取线段的三角形全等，再利用平行线的角关系证明剩余部分对应的三角形全等，得到剩余线段与CD相等，即可证得结论；②补短法思路：延长较短线段（或延长某条边构造交点），将两条短线段转化到同一条线段上，结合已知条件证明该线段与BC相等即可。
【解析】
方法1（截长法）：
如图
，在BC上取点F，使BF = BA，连接EF.∵ BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴ ∠ABE = ∠FBE，∠FCE = ∠DCE.
在△ABE和△FBE中，$\begin{cases} AB = FB, \\ ∠ABE = ∠FBE, \\ BE = BE, \end{cases}$
∴ △ABE≌△FBE(SAS)，
∴ ∠A = ∠BFE.
∵ AB//CD，
∴ ∠A + ∠D = 180°，
∴ ∠BFE + ∠D = 180°.
∵ ∠BFE + ∠CFE = 180°，
∴ ∠CFE = ∠D.
在△CFE和△CDE中，$\begin{cases} ∠CFE = ∠D, \\ ∠FCE = ∠DCE, \\ CE = CE, \end{cases}$
∴ △CFE≌△CDE(AAS)，
∴ CF = CD.
∵ BC = BF + CF，
∴ BC = AB + CD.
方法2（补短法）：
如图
，延长CD，BE交于点F.∵ AB//CD，
∴ ∠ABC + ∠BCD = 180°.
∵ BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴ ∠CBE = ∠ABE = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCE = ∠FCE = $\frac{1}{2}$∠BCD，
∴ ∠CBE + ∠BCE = 90°，
∴ ∠BEC = ∠FEC = 90°.
在△CEB和△CEF中，$\begin{cases} ∠BEC = ∠FEC, \\ CE = CE, \\ ∠BCE = ∠FCE, \end{cases}$
∴ △CEB≌△CEF(ASA)，
∴ BC = FC，BE = FE.
∵ AB//CD，
∴ ∠ABE = ∠DFE.
在△ABE和△DFE中，$\begin{cases} ∠AEB = ∠DEF, \\ BE = FE, \\ ∠ABE = ∠DFE, \end{cases}$
∴ △ABE≌△DFE(ASA)，
∴ AB = DF.
∵ FC = DF + CD，
∴ BC = AB + CD.
【答案】
证明:通解 如图
,在 BC 上取点 F,使 BF = BA(截长法),连接 EF.∵ BE 平分∠ABC,CE 平分∠BCD,
∴ ∠ABE = ∠FBE,∠FCE = ∠DCE.
在△ABE 和△FBE 中,$\begin{cases} AB = FB, \\ ∠ABE = ∠FBE, \\ BE = BE, \end{cases}$
∴ △ABE≌△FBE(SAS),
∴ ∠A = ∠BFE.
∵ AB//CD,
∴ ∠A + ∠D = 180°,
∴ ∠BFE + ∠D = 180°.
∵ ∠BFE + ∠CFE = 180°,
∴ ∠CFE = ∠D.
在△CFE 和△CDE 中,$\begin{cases} ∠CFE = ∠D, \\ ∠FCE = ∠DCE, \\ CE = CE, \end{cases}$
∴ △CFE≌△CDE(AAS),
∴ CF = CD.
∵ BC = BF + CF,
∴ BC = AB + CD.
另解 如图
,延长 CD,BE 交于点 F(补短法).∵ AB//CD,
∴ ∠ABC + ∠BCD = 180°.
∵ BE 平分∠ABC,CE 平分∠BCD,
∴ ∠CBE = ∠ABE = $\frac{1}{2}$∠ABC,∠BCE = ∠FCE = $\frac{1}{2}$∠BCD,
∴ ∠CBE + ∠BCE = 90°,
∴ ∠BEC = ∠FEC = 90°.
在△CEB 和△CEF 中,$\begin{cases} ∠BEC = ∠FEC, \\ CE = CE, \\ ∠BCE = ∠FCE, \end{cases}$
∴ △CEB≌△CEF(ASA),
∴ BC = FC,BE = FE.
∵ AB//CD,
∴ ∠ABE = ∠DFE.
在△ABE 和△DFE 中,$\begin{cases} ∠AEB = ∠DEF, \\ BE = FE, \\ ∠ABE = ∠DFE, \end{cases}$
∴ △ABE≌△DFE(ASA),
∴ AB = DF.
∵ FC = DF + CD,
∴ BC = AB + CD.
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心考查截长补短的辅助线构造方法，通过构造全等三角形将分散的线段关系转化为共线线段的和差关系，结合平行线、角平分线的性质完成角的等量转化，是几何证明的常见考法，熟练掌握截长补短的辅助线技巧可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.6
4. [2026亳州期末]在数学活动课上，李老师给出以下题目条件:在四边形ABCD中，AB = AD，点E,F分别是直线BC,CD上的一点，连接AE,AF,EF,已知EF = BE + FD.请同学们在原条件不变的情况下添加条件，开展探究活动.
【初步探索】
(1)“兴趣”小组做了如下探究:如图1,若$∠ B = ∠ ADC = 90°$,延长FD到点G,使DG = BE,连接AG,再证明$△ AEF ≌ △ AGF$,由此可得出$∠ BAE$,$∠ EAF$,$∠ FAD$之间的数量关系为
【灵活运用】
(2)“实践”小组提出问题:如图2,若$∠ B + ∠ D = 180°$,(1)中结论是否仍然成立?请说明理由.
【延伸拓展】
(3)“奋进”小组在“实践”小组的基础上,提出问题:如图3,若$∠ ABC + ∠ ADC = 180°$,点E,F分别在线段CB,CD的延长线上,连接AE,AF,EF.若仍然满足EF = BE + FD,请写出$∠ EAF$与$∠ DAB$的数量关系,并说明理由.
【初步探索】
(1)“兴趣”小组做了如下探究:如图1,若$∠ B = ∠ ADC = 90°$,延长FD到点G,使DG = BE,连接AG,再证明$△ AEF ≌ △ AGF$,由此可得出$∠ BAE$,$∠ EAF$,$∠ FAD$之间的数量关系为
∠BAE + ∠FAD = ∠EAF
.【灵活运用】
(2)“实践”小组提出问题:如图2,若$∠ B + ∠ D = 180°$,(1)中结论是否仍然成立?请说明理由.
【延伸拓展】
(3)“奋进”小组在“实践”小组的基础上,提出问题:如图3,若$∠ ABC + ∠ ADC = 180°$,点E,F分别在线段CB,CD的延长线上,连接AE,AF,EF.若仍然满足EF = BE + FD,请写出$∠ EAF$与$∠ DAB$的数量关系,并说明理由.
答案
(1)$∠BAE + ∠FAD = ∠EAF$
∵ GF = DG + FD = BE + FD,EF = BE + FD,
∴ GF = EF.
∵ ∠B = ∠ADC = 90°,
∴ ∠ADG = ∠B = 90°. 在△ADG 和△ABE 中,$\begin{cases} AD = AB, \\ ∠ADG = ∠B, \\ DG = BE, \end{cases}$
∴ △ADG ≌ △ABE (SAS),
∴ ∠DAG = ∠BAE, AG = AE. 在 △AGF 和 △AEF 中,$\begin{cases} AG = AE, \\ GF = EF, \\ AF = AF, \end{cases}$
∴ △AGF ≌ △AEF (SSS),
∴ ∠GAF = ∠EAF.
∵ ∠GAF = ∠DAG + ∠FAD = ∠BAE + ∠FAD,
∴ ∠BAE + ∠FAD = ∠EAF.
(2)成立. 理由如下:
如图
,延长 FD 到点 H,使 DH = BE,连接 AH.∵ HF = DH + FD = BE + FD,EF = BE + FD,
∴ HF = EF.
∵ ∠ADH + ∠ADC = 180°,∠B + ∠ADC = 180°,
∴ ∠ADH = ∠B.
在△ADH 和△ABE 中,$\begin{cases} AD = AB, \\ ∠ADH = ∠B, \\ DH = BE, \end{cases}$
∴ △ADH≌△ABE(SAS),
∴ ∠DAH = ∠BAE,AH = AE.
在△AHF 和△AEF 中,$\begin{cases} AH = AE, \\ HF = EF, \\ AF = AF, \end{cases}$
∴ △AHF≌△AEF(SSS),
∴ ∠HAF = ∠EAF.
∵ ∠HAF = ∠DAH + ∠FAD = ∠BAE + ∠FAD,
∴ ∠BAE + ∠FAD = ∠EAF.
(3)$∠EAF = 180° - \frac{1}{2}∠DAB$. 理由如下:
如图
,延长 DC 到点 L,使 DL = BE,连接 AL.∵ LF = DL + FD = BE + FD,EF = BE + FD,
∴ LF = EF.
∵ ∠ABC + ∠ADC = 180°,∠ABC + ∠ABE = 180°,
∴ ∠ADC = ∠ABE.
在△ADL 和△ABE 中,$\begin{cases} AD = AB, \\ ∠ADL = ∠ABE, \\ DL = BE, \end{cases}$
∴ △ADL≌△ABE(SAS),
∴ ∠DAL = ∠BAE,AL = AE.
在△AFL 和△AFE 中,$\begin{cases} LF = EF, \\ AL = AE, \\ AF = AF, \end{cases}$
∴ △AFL≌△AFE(SSS),
∴ ∠LAF = ∠EAF,
∴ ∠DAF + ∠BAE = ∠DAF + ∠DAL = ∠LAF = ∠EAF.
∵ ∠EAF + ∠DAF + ∠BAE + ∠DAB = 360°,
∴ ∠EAF + ∠EAF + ∠DAB = 360°,
∴ $∠EAF = 180° - \frac{1}{2}∠DAB$.
解析
【分析】
这道题围绕线段和的条件探究角的数量关系，解题核心是利用“截长补短”法构造全等三角形，实现边和角的转化。(1)问已给出辅助线思路，先通过构造的△ADG≌△ABE转化角和边，再证△AEF≌△AGF即可推导三个角的关系；(2)问虽然∠B和∠D不是直角，但二者互补，可类比(1)的方法，延长FD构造与△ABE全等的三角形，再通过第二次全等验证结论是否成立；(3)问中点E、F在延长线上，调整补短的方向，在DC延长线上截取线段等于BE，构造全等后结合周角的性质推导∠EAF与∠DAB的关系。
【解析】
(1) 已知EF=BE+FD，DG=BE，因此GF=DG+FD=BE+FD=EF。
因为∠B=∠ADC=90°，所以∠ADG=180°-∠ADC=90°=∠B。
在△ADG和△ABE中：
$\begin{cases} AD = AB \\ ∠ADG = ∠B \\ DG = BE \end{cases}$
所以△ADG≌△ABE（SAS），可得∠DAG=∠BAE，AG=AE。
在△AGF和△AEF中：
$\begin{cases} AG = AE \\ GF = EF \\ AF = AF \end{cases}$
所以△AGF≌△AEF（SSS），得∠GAF=∠EAF。
又因为∠GAF=∠DAG+∠FAD=∠BAE+∠FAD，因此∠BAE + ∠FAD = ∠EAF。
(2) 成立，理由如下：
如图，延长FD到点H，使DH=BE，连接AH。
因为HF=DH+FD=BE+FD，EF=BE+FD，所以HF=EF。
因为∠ADH + ∠ADC = 180°，∠B + ∠ADC = 180°，所以∠ADH=∠B。
在△ADH和△ABE中：
$\begin{cases} AD = AB \\ ∠ADH = ∠B \\ DH = BE \end{cases}$
所以△ADH≌△ABE（SAS），得∠DAH=∠BAE，AH=AE。
在△AHF和△AEF中：
$\begin{cases} AH = AE \\ HF = EF \\ AF = AF \end{cases}$
所以△AHF≌△AEF（SSS），得∠HAF=∠EAF。
因为∠HAF=∠DAH + ∠FAD=∠BAE + ∠FAD，因此∠BAE + ∠FAD = ∠EAF，结论成立。
(3) $∠EAF = 180° - \frac{1}{2}∠DAB$，理由如下：
如图，延长DC到点L，使DL=BE，连接AL。
因为LF=DL+FD=BE+FD，EF=BE+FD，所以LF=EF。
因为∠ABC + ∠ADC=180°，∠ABC + ∠ABE=180°，所以∠ADC=∠ABE，即∠ADL=∠ABE。
在△ADL和△ABE中：
$\begin{cases} AD = AB \\ ∠ADL = ∠ABE \\ DL = BE \end{cases}$
所以△ADL≌△ABE（SAS），得∠DAL=∠BAE，AL=AE。
在△AFL和△AFE中：
$\begin{cases} LF = EF \\ AL = AE \\ AF = AF \end{cases}$
所以△AFL≌△AFE（SSS），得∠LAF=∠EAF，即∠DAF + ∠DAL=∠DAF + ∠BAE=∠EAF。
因为∠EAF + ∠DAF + ∠BAE + ∠DAB = 360°，代入得2∠EAF + ∠DAB=360°，整理得$∠EAF = 180° - \frac{1}{2}∠DAB$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BAE + ∠FAD = ∠EAF}$
(2) 成立，理由如下：
如图，延长FD到点H，使DH=BE，连接AH。
∵ HF = DH + FD = BE + FD,EF = BE + FD,
∴ HF = EF.
∵ ∠ADH + ∠ADC = 180°,∠B + ∠ADC = 180°,
∴ ∠ADH = ∠B.
在△ADH 和△ABE 中,$\begin{cases} AD = AB, \\ ∠ADH = ∠B, \\ DH = BE, \end{cases}$
∴ △ADH≌△ABE(SAS),
∴ ∠DAH = ∠BAE,AH = AE.
在△AHF 和△AEF 中,$\begin{cases} AH = AE, \\ HF = EF, \\ AF = AF, \end{cases}$
∴ △AHF≌△AEF(SSS),
∴ ∠HAF = ∠EAF.
∵ ∠HAF = ∠DAH + ∠FAD = ∠BAE + ∠FAD,
∴ ∠BAE + ∠FAD = ∠EAF.
(3) $\boldsymbol{∠EAF = 180° - \frac{1}{2}∠DAB}$，理由如下：
如图，延长 DC 到点 L,使 DL = BE,连接 AL.
∵ LF = DL + FD = BE + FD,EF = BE + FD,
∴ LF = EF.
∵ ∠ABC + ∠ADC = 180°,∠ABC + ∠ABE = 180°,
∴ ∠ADC = ∠ABE.
在△ADL 和△ABE 中,$\begin{cases} AD = AB, \\ ∠ADL = ∠ABE, \\ DL = BE, \end{cases}$
∴ △ADL≌△ABE(SAS),
∴ ∠DAL = ∠BAE,AL = AE.
在△AFL 和△AFE 中,$\begin{cases} LF = EF, \\ AL = AE, \\ AF = AF, \end{cases}$
∴ △AFL≌△AFE(SSS),
∴ ∠LAF = ∠EAF,
∴ ∠DAF + ∠BAE = ∠DAF + ∠DAL = ∠LAF = ∠EAF.
∵ ∠EAF + ∠DAF + ∠BAE + ∠DAB = 360°,
∴ ∠EAF + ∠EAF + ∠DAB = 360°,
∴ $∠EAF = 180° - \frac{1}{2}∠DAB$.
【知识点】
1. 全等三角形判定与性质
2. 截长补短构造全等
3. 补角的性质
【点评】
本题是全等三角形探究类典型题，按照从特殊到一般的逻辑设置问题，核心考察截长补短辅助线的构造方法，以及全等三角形的判定和性质的应用，能有效提升几何逻辑推理和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
这道题围绕线段和的条件探究角的数量关系，解题核心是利用“截长补短”法构造全等三角形，实现边和角的转化。(1)问已给出辅助线思路，先通过构造的△ADG≌△ABE转化角和边，再证△AEF≌△AGF即可推导三个角的关系；(2)问虽然∠B和∠D不是直角，但二者互补，可类比(1)的方法，延长FD构造与△ABE全等的三角形，再通过第二次全等验证结论是否成立；(3)问中点E、F在延长线上，调整补短的方向，在DC延长线上截取线段等于BE，构造全等后结合周角的性质推导∠EAF与∠DAB的关系。
【解析】
(1) 已知EF=BE+FD，DG=BE，因此GF=DG+FD=BE+FD=EF。
因为∠B=∠ADC=90°，所以∠ADG=180°-∠ADC=90°=∠B。
在△ADG和△ABE中：
$\begin{cases} AD = AB \\ ∠ADG = ∠B \\ DG = BE \end{cases}$
所以△ADG≌△ABE（SAS），可得∠DAG=∠BAE，AG=AE。
在△AGF和△AEF中：
$\begin{cases} AG = AE \\ GF = EF \\ AF = AF \end{cases}$
所以△AGF≌△AEF（SSS），得∠GAF=∠EAF。
又因为∠GAF=∠DAG+∠FAD=∠BAE+∠FAD，因此∠BAE + ∠FAD = ∠EAF。
(2) 成立，理由如下：
如图
，延长FD到点H，使DH=BE，连接AH。因为HF=DH+FD=BE+FD，EF=BE+FD，所以HF=EF。
因为∠ADH + ∠ADC = 180°，∠B + ∠ADC = 180°，所以∠ADH=∠B。
在△ADH和△ABE中：
$\begin{cases} AD = AB \\ ∠ADH = ∠B \\ DH = BE \end{cases}$
所以△ADH≌△ABE（SAS），得∠DAH=∠BAE，AH=AE。
在△AHF和△AEF中：
$\begin{cases} AH = AE \\ HF = EF \\ AF = AF \end{cases}$
所以△AHF≌△AEF（SSS），得∠HAF=∠EAF。
因为∠HAF=∠DAH + ∠FAD=∠BAE + ∠FAD，因此∠BAE + ∠FAD = ∠EAF，结论成立。
(3) $∠EAF = 180° - \frac{1}{2}∠DAB$，理由如下：
如图
，延长DC到点L，使DL=BE，连接AL。因为LF=DL+FD=BE+FD，EF=BE+FD，所以LF=EF。
因为∠ABC + ∠ADC=180°，∠ABC + ∠ABE=180°，所以∠ADC=∠ABE，即∠ADL=∠ABE。
在△ADL和△ABE中：
$\begin{cases} AD = AB \\ ∠ADL = ∠ABE \\ DL = BE \end{cases}$
所以△ADL≌△ABE（SAS），得∠DAL=∠BAE，AL=AE。
在△AFL和△AFE中：
$\begin{cases} LF = EF \\ AL = AE \\ AF = AF \end{cases}$
所以△AFL≌△AFE（SSS），得∠LAF=∠EAF，即∠DAF + ∠DAL=∠DAF + ∠BAE=∠EAF。
因为∠EAF + ∠DAF + ∠BAE + ∠DAB = 360°，代入得2∠EAF + ∠DAB=360°，整理得$∠EAF = 180° - \frac{1}{2}∠DAB$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BAE + ∠FAD = ∠EAF}$
(2) 成立，理由如下：
如图
，延长FD到点H，使DH=BE，连接AH。∵ HF = DH + FD = BE + FD,EF = BE + FD,
∴ HF = EF.
∵ ∠ADH + ∠ADC = 180°,∠B + ∠ADC = 180°,
∴ ∠ADH = ∠B.
在△ADH 和△ABE 中,$\begin{cases} AD = AB, \\ ∠ADH = ∠B, \\ DH = BE, \end{cases}$
∴ △ADH≌△ABE(SAS),
∴ ∠DAH = ∠BAE,AH = AE.
在△AHF 和△AEF 中,$\begin{cases} AH = AE, \\ HF = EF, \\ AF = AF, \end{cases}$
∴ △AHF≌△AEF(SSS),
∴ ∠HAF = ∠EAF.
∵ ∠HAF = ∠DAH + ∠FAD = ∠BAE + ∠FAD,
∴ ∠BAE + ∠FAD = ∠EAF.
(3) $\boldsymbol{∠EAF = 180° - \frac{1}{2}∠DAB}$，理由如下：
如图
，延长 DC 到点 L,使 DL = BE,连接 AL.∵ LF = DL + FD = BE + FD,EF = BE + FD,
∴ LF = EF.
∵ ∠ABC + ∠ADC = 180°,∠ABC + ∠ABE = 180°,
∴ ∠ADC = ∠ABE.
在△ADL 和△ABE 中,$\begin{cases} AD = AB, \\ ∠ADL = ∠ABE, \\ DL = BE, \end{cases}$
∴ △ADL≌△ABE(SAS),
∴ ∠DAL = ∠BAE,AL = AE.
在△AFL 和△AFE 中,$\begin{cases} LF = EF, \\ AL = AE, \\ AF = AF, \end{cases}$
∴ △AFL≌△AFE(SSS),
∴ ∠LAF = ∠EAF,
∴ ∠DAF + ∠BAE = ∠DAF + ∠DAL = ∠LAF = ∠EAF.
∵ ∠EAF + ∠DAF + ∠BAE + ∠DAB = 360°,
∴ ∠EAF + ∠EAF + ∠DAB = 360°,
∴ $∠EAF = 180° - \frac{1}{2}∠DAB$.
【知识点】
1. 全等三角形判定与性质
2. 截长补短构造全等
3. 补角的性质
【点评】
本题是全等三角形探究类典型题，按照从特殊到一般的逻辑设置问题，核心考察截长补短辅助线的构造方法，以及全等三角形的判定和性质的应用，能有效提升几何逻辑推理和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
