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9. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,D,E 分别是 BC,AB 上的点.已知 $DE ⊥ AB$,$\sin B=\dfrac{4}{5}$,$AC=8$,$CD=2$,则 $DE$ 的长为 （
A.3.2
B.4
C.4.5
D.4.8
A
）A.3.2
B.4
C.4.5
D.4.8
答案
9. A
10. [教材P141练习第2题改编]如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=45°，tan C=2，BC−AD=3，则CD=
$\sqrt{5}$
。答案
10. $\sqrt{5}$
11. 在$△ ABC$中，$AB=6\sqrt{3}$，$AC=6$，$\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，则$BC$边的长为
6或12
。答案
11. 6或12
12.[2025·芜湖南陵一模]如图,在平面直角坐标系中,$△ ABO$是直角三角形,$∠ A=90°$,点B在x轴上,$AO=5$,$\cosα=\frac{3}{5}$.(1)求点A的坐标;(2)求$∠ ABO$的正切值;(3)[一题多解题]延长BA,交y轴于点C,求点C的坐标.
答案
12. 解:(1)过点 A 作$AN⊥OB$于点 N.
由题意,得 $\cos α=\dfrac{3}{5}=\dfrac{ON}{OA}=\dfrac{ON}{5}$,
$\therefore ON=3,\therefore AN=\sqrt{5^2-3^2}=4$,
$\therefore$ 点 A 的坐标为$(3,4)$.
(2)由(1)知 $\tan α=\dfrac{AB}{AO}=\dfrac{AN}{ON}=\dfrac{4}{3}$,
$\therefore\tan ∠ ABO=\dfrac{AO}{AB}=\dfrac{3}{4}$.
(3)延长 BA 交 y 轴于点 C.
解法 1:易得$∠ ACO=∠α$,
$\therefore\cos ∠ ACO=\cos α=\dfrac{AC}{OC}=\dfrac{3}{5}$,
设 $AC=3k,OC=5k$,则 $AO=4k=5$,
$\therefore k=\dfrac{5}{4},\therefore OC=\dfrac{25}{4},\therefore$ 点 $C(0,\dfrac{25}{4})$.
解法 2:由(2)知 $\tan ∠ ABO=\dfrac{3}{4}$,
在 $\mathrm{Rt}△ OAB$ 中,$AO=5,\cos α=\dfrac{AO}{OB}=\dfrac{3}{5}$,
$\therefore OB=\dfrac{25}{3}$.
$\because\tan ∠ ABO=\dfrac{3}{4}=\dfrac{OC}{OB}=\dfrac{OC}{\dfrac{25}{3}}$,
$\therefore OC=\dfrac{25}{4}$,即点 $C(0,\dfrac{25}{4})$.
由题意,得 $\cos α=\dfrac{3}{5}=\dfrac{ON}{OA}=\dfrac{ON}{5}$,
$\therefore ON=3,\therefore AN=\sqrt{5^2-3^2}=4$,
$\therefore$ 点 A 的坐标为$(3,4)$.
(2)由(1)知 $\tan α=\dfrac{AB}{AO}=\dfrac{AN}{ON}=\dfrac{4}{3}$,
$\therefore\tan ∠ ABO=\dfrac{AO}{AB}=\dfrac{3}{4}$.
(3)延长 BA 交 y 轴于点 C.
解法 1:易得$∠ ACO=∠α$,
$\therefore\cos ∠ ACO=\cos α=\dfrac{AC}{OC}=\dfrac{3}{5}$,
设 $AC=3k,OC=5k$,则 $AO=4k=5$,
$\therefore k=\dfrac{5}{4},\therefore OC=\dfrac{25}{4},\therefore$ 点 $C(0,\dfrac{25}{4})$.
解法 2:由(2)知 $\tan ∠ ABO=\dfrac{3}{4}$,
在 $\mathrm{Rt}△ OAB$ 中,$AO=5,\cos α=\dfrac{AO}{OB}=\dfrac{3}{5}$,
$\therefore OB=\dfrac{25}{3}$.
$\because\tan ∠ ABO=\dfrac{3}{4}=\dfrac{OC}{OB}=\dfrac{OC}{\dfrac{25}{3}}$,
$\therefore OC=\dfrac{25}{4}$,即点 $C(0,\dfrac{25}{4})$.
13. 如图，已知 $\tan B=\frac{4}{3}$，$DA⊥ BA$ 于点A，$DC⊥ BC$ 于点C，$DA=3$，$DC=7$。
(1)求 $\cos B$，$\sin B$ 的值；
(2)求四边形ABCD的面积。
(1)求 $\cos B$，$\sin B$ 的值；
(2)求四边形ABCD的面积。
答案
13. 解:延长 CD,BA 交于点 E.
(1)$\cos B=\dfrac{3}{5}$,$\sin B=\dfrac{4}{5}$.
(2)由题知$∠ E+∠ ADE=90°$,$∠ E+∠ B=90°$,
$\therefore∠ ADE=∠ B$,
$\therefore\cos ∠ ADE=\dfrac{AD}{DE}=\cos B=\dfrac{3}{5}$.
$\because AD=3,\therefore DE=5$,
$\therefore CE=CD+DE=12,AE=\sqrt{DE^2-AD^2}=4$,
$\therefore BC=\dfrac{CE}{\tan B}=9$,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ BCE}-S_{△ ADE}=\dfrac{1}{2}CE· BC-\dfrac{1}{2}AD· AE=48.$
(1)$\cos B=\dfrac{3}{5}$,$\sin B=\dfrac{4}{5}$.
(2)由题知$∠ E+∠ ADE=90°$,$∠ E+∠ B=90°$,
$\therefore∠ ADE=∠ B$,
$\therefore\cos ∠ ADE=\dfrac{AD}{DE}=\cos B=\dfrac{3}{5}$.
$\because AD=3,\therefore DE=5$,
$\therefore CE=CD+DE=12,AE=\sqrt{DE^2-AD^2}=4$,
$\therefore BC=\dfrac{CE}{\tan B}=9$,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ BCE}-S_{△ ADE}=\dfrac{1}{2}CE· BC-\dfrac{1}{2}AD· AE=48.$
