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7.我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式.给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
其中,图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
其中,图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式有（
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
7.D
解析
【分析】
解题的核心思路是利用“整体面积等于各部分面积之和”的原理，对每一组分别计算图形的整体面积，再计算分割或拼接后的各部分面积总和，对比二者是否与给出的代数恒等式匹配，逐一验证即可得出结论。
【解析】
我们逐个验证4组恒等式：
1. 验证①：大正方形边长为$a+b$，整体面积为$(a+b)^2$；分割后包含1个边长为$a$的正方形（面积$a^2$）、1个边长为$b$的正方形（面积$b^2$）、2个长为$a$宽为$b$的长方形（总面积$2ab$），面积和为$a^2+2ab+b^2$，与对应恒等式一致，①正确。
2. 验证②：边长为$a$的大正方形面积为$a^2$，挖去两个长$a$宽$b$的长方形时，重叠了1个边长为$b$的小正方形，因此剩余边长为$a-b$的正方形面积为$a^2-2ab+b^2$，与对应恒等式一致，②正确。
3. 验证③：原图形面积为大正方形面积$a^2$减去小正方形面积$b^2$，即$a^2-b^2$；将阴影部分拼接后得到长为$a+b$、宽为$a-b$的长方形，面积为$(a+b)(a-b)$，与对应恒等式一致，③正确。
4. 验证④：大正方形边长为$a+b$，整体面积为$(a+b)^2$；内部包含4个长$a$宽$b$的长方形（总面积$4ab$）和1个边长为$a-b$的小正方形，因此小正方形面积为$(a+b)^2-4ab$，与对应恒等式一致，④正确。
综上4组图形的面积关系都能正确解释对应的代数恒等式。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式几何意义，平方差公式几何意义，数形结合
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过几何面积验证代数恒等式，核心是把握同一图形面积的不同表示方法，能够帮助直观理解乘法公式的内涵。
【难度系数】
0.7
解题的核心思路是利用“整体面积等于各部分面积之和”的原理，对每一组分别计算图形的整体面积，再计算分割或拼接后的各部分面积总和，对比二者是否与给出的代数恒等式匹配，逐一验证即可得出结论。
【解析】
我们逐个验证4组恒等式：
1. 验证①：大正方形边长为$a+b$，整体面积为$(a+b)^2$；分割后包含1个边长为$a$的正方形（面积$a^2$）、1个边长为$b$的正方形（面积$b^2$）、2个长为$a$宽为$b$的长方形（总面积$2ab$），面积和为$a^2+2ab+b^2$，与对应恒等式一致，①正确。
2. 验证②：边长为$a$的大正方形面积为$a^2$，挖去两个长$a$宽$b$的长方形时，重叠了1个边长为$b$的小正方形，因此剩余边长为$a-b$的正方形面积为$a^2-2ab+b^2$，与对应恒等式一致，②正确。
3. 验证③：原图形面积为大正方形面积$a^2$减去小正方形面积$b^2$，即$a^2-b^2$；将阴影部分拼接后得到长为$a+b$、宽为$a-b$的长方形，面积为$(a+b)(a-b)$，与对应恒等式一致，③正确。
4. 验证④：大正方形边长为$a+b$，整体面积为$(a+b)^2$；内部包含4个长$a$宽$b$的长方形（总面积$4ab$）和1个边长为$a-b$的小正方形，因此小正方形面积为$(a+b)^2-4ab$，与对应恒等式一致，④正确。
综上4组图形的面积关系都能正确解释对应的代数恒等式。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式几何意义，平方差公式几何意义，数形结合
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过几何面积验证代数恒等式，核心是把握同一图形面积的不同表示方法，能够帮助直观理解乘法公式的内涵。
【难度系数】
0.7
8.若$(y - 5a)^2 = y^2 + 10y + 25b$，则$b=$
1
。答案
8.1
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先利用完全平方差公式将等号左侧的式子展开，再根据两个多项式相等时对应同次项的系数相等的性质，先通过一次项系数建立等式求出a的值，最后通过常数项的对应关系计算出b的值即可。
【解析】
解：根据完全平方差公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，将等号左侧展开：
$(y-5a)^2=y^2-2· y·5a+(5a)^2=y^2-10ay+25a^2$
已知$(y - 5a)^2 = y^2 + 10y + 25b$，两个多项式相等时对应项系数相等：
1. 对比一次项系数：$-10a=10$，解得$a=-1$
2. 对比常数项：$25a^2=25b$，两边同时除以25得$b=a^2$
将$a=-1$代入得：$b=(-1)^2=1$
【答案】
1
【知识点】
完全平方公式、多项式对应系数相等
【点评】
本题属于完全平方公式的基础应用类题目，解题关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，注意展开时的符号问题，结合对应系数相等的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先利用完全平方差公式将等号左侧的式子展开，再根据两个多项式相等时对应同次项的系数相等的性质，先通过一次项系数建立等式求出a的值，最后通过常数项的对应关系计算出b的值即可。
【解析】
解：根据完全平方差公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，将等号左侧展开：
$(y-5a)^2=y^2-2· y·5a+(5a)^2=y^2-10ay+25a^2$
已知$(y - 5a)^2 = y^2 + 10y + 25b$，两个多项式相等时对应项系数相等：
1. 对比一次项系数：$-10a=10$，解得$a=-1$
2. 对比常数项：$25a^2=25b$，两边同时除以25得$b=a^2$
将$a=-1$代入得：$b=(-1)^2=1$
【答案】
1
【知识点】
完全平方公式、多项式对应系数相等
【点评】
本题属于完全平方公式的基础应用类题目，解题关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，注意展开时的符号问题，结合对应系数相等的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9.如果$m^2 + m - 3 = 0$，那么$m(m - 2) + (m + 2)^2 =$
10
答案
9.10
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和所求代数式的特点，不需要直接求解m的数值，先通过单项式乘多项式法则、完全平方公式将所求代数式展开、合并同类项进行化简，再将已知条件变形得到的$m^2+m=3$整体代入化简后的式子即可求出结果，能大幅简化计算。
【解析】
首先化简代数式$m(m - 2) + (m + 2)^2$：
1. 展开各项：
根据单项式乘多项式法则，得$m(m-2)=m^2 - 2m$；
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得$(m+2)^2=m^2 + 4m + 4$。
2. 合并同类项：
原式$=m^2 - 2m + m^2 + 4m + 4 = 2m^2 + 2m + 4$。
3. 整体代入计算：
由已知$m^2 + m - 3 = 0$，变形可得$m^2 + m = 3$。
将$m^2 + m = 3$代入化简后的式子：
原式$=2(m^2 + m) + 4 = 2×3 + 4 = 10$。
【答案】
10
【知识点】
完全平方公式，整式化简，整体代入求值
【点评】
本题考查整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的相关运算法则，灵活运用整体代入的思想简化计算，避免求解未知元的具体值，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件和所求代数式的特点，不需要直接求解m的数值，先通过单项式乘多项式法则、完全平方公式将所求代数式展开、合并同类项进行化简，再将已知条件变形得到的$m^2+m=3$整体代入化简后的式子即可求出结果，能大幅简化计算。
【解析】
首先化简代数式$m(m - 2) + (m + 2)^2$：
1. 展开各项：
根据单项式乘多项式法则，得$m(m-2)=m^2 - 2m$；
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得$(m+2)^2=m^2 + 4m + 4$。
2. 合并同类项：
原式$=m^2 - 2m + m^2 + 4m + 4 = 2m^2 + 2m + 4$。
3. 整体代入计算：
由已知$m^2 + m - 3 = 0$，变形可得$m^2 + m = 3$。
将$m^2 + m = 3$代入化简后的式子：
原式$=2(m^2 + m) + 4 = 2×3 + 4 = 10$。
【答案】
10
【知识点】
完全平方公式，整式化简，整体代入求值
【点评】
本题考查整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的相关运算法则，灵活运用整体代入的思想简化计算，避免求解未知元的具体值，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
10.如果$x(x+3)=2030$，那么代数式$x(2x+1)-(x-1)^2$的值为
2029
。答案
10.2029
解析
【分析】
遇到已知含未知数的等式求代数式值的问题时，优先考虑整体代入法，无需直接求解未知数。首先利用整式的运算法则和完全平方公式将待求的代数式展开、合并同类项化简，再观察化简结果与已知等式的关系，将已知条件整体代入计算即可得到答案。
【解析】
先化简代数式$x(2x+1)-(x-1)^2$：
1. 分别展开两项：
$x(2x+1)=2x^2 + x$
根据完全平方公式，$(x-1)^2=x^2 - 2x + 1$
2. 代入原式去括号：
原式$=2x^2 + x - (x^2 - 2x + 1) = 2x^2 + x - x^2 + 2x - 1$
3. 合并同类项得：
原式$=x^2 + 3x - 1$
由已知$x(x+3)=2030$，展开得$x^2 + 3x=2030$，将其整体代入化简后的式子：
原式$=2030 - 1 = 2029$
【答案】
2029
【知识点】
整式化简求值、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题侧重考查整式运算能力与整体代入的数学思想，通过先化简待求式再代入已知条件的方法，可跳过求解复杂一元二次方程的步骤，简化计算过程，是代数式求值类题目的常用解题思路。
【难度系数】
0.75
遇到已知含未知数的等式求代数式值的问题时，优先考虑整体代入法，无需直接求解未知数。首先利用整式的运算法则和完全平方公式将待求的代数式展开、合并同类项化简，再观察化简结果与已知等式的关系，将已知条件整体代入计算即可得到答案。
【解析】
先化简代数式$x(2x+1)-(x-1)^2$：
1. 分别展开两项：
$x(2x+1)=2x^2 + x$
根据完全平方公式，$(x-1)^2=x^2 - 2x + 1$
2. 代入原式去括号：
原式$=2x^2 + x - (x^2 - 2x + 1) = 2x^2 + x - x^2 + 2x - 1$
3. 合并同类项得：
原式$=x^2 + 3x - 1$
由已知$x(x+3)=2030$，展开得$x^2 + 3x=2030$，将其整体代入化简后的式子：
原式$=2030 - 1 = 2029$
【答案】
2029
【知识点】
整式化简求值、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题侧重考查整式运算能力与整体代入的数学思想，通过先化简待求式再代入已知条件的方法，可跳过求解复杂一元二次方程的步骤，简化计算过程，是代数式求值类题目的常用解题思路。
【难度系数】
0.75
11.(整体思想)已知$(a-b)^2=7,(a+b)^2=13$，则$a^2+b^2=$
10
,$ab=$1.5
.答案
11.10 1.5
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用，采用整体思想求解即可。首先回忆完全平方公式的两个展开形式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。观察两个展开式的特点：若将两个已知等式相加，含$ab$的项会相互抵消，可直接求出$a^2+b^2$的值；若将两个已知等式相减，含$a^2$、$b^2$的项会相互抵消，可直接求出$ab$的值，无需单独计算$a$、$b$的具体数值。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=13$ ①
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=7$ ②
1. 求$a^2+b^2$：
将①+②，左边为$(a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2)=2a^2+2b^2$，右边为$13+7=20$，即$2(a^2+b^2)=20$，两边同时除以2得$a^2+b^2=10$。
2. 求$ab$：
将①-②，左边为$(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=4ab$，右边为$13-7=6$，即$4ab=6$，两边同时除以4得$ab=1.5$。
【答案】
10；1.5
【知识点】
完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是完全平方公式应用的典型基础题型，核心是利用完全平方展开式的结构特点，通过整体加减消去无关项，简化计算过程，避免单独求解参数的复杂运算。
【难度系数】
0.7
本题考查完全平方公式的变形应用，采用整体思想求解即可。首先回忆完全平方公式的两个展开形式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。观察两个展开式的特点：若将两个已知等式相加，含$ab$的项会相互抵消，可直接求出$a^2+b^2$的值；若将两个已知等式相减，含$a^2$、$b^2$的项会相互抵消，可直接求出$ab$的值，无需单独计算$a$、$b$的具体数值。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=13$ ①
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=7$ ②
1. 求$a^2+b^2$：
将①+②，左边为$(a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2)=2a^2+2b^2$，右边为$13+7=20$，即$2(a^2+b^2)=20$，两边同时除以2得$a^2+b^2=10$。
2. 求$ab$：
将①-②，左边为$(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=4ab$，右边为$13-7=6$，即$4ab=6$，两边同时除以4得$ab=1.5$。
【答案】
10；1.5
【知识点】
完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是完全平方公式应用的典型基础题型，核心是利用完全平方展开式的结构特点，通过整体加减消去无关项，简化计算过程，避免单独求解参数的复杂运算。
【难度系数】
0.7
12.已知$x^2 + y^2 = 4$，$(x + y)^2 = 3$，则$(x - y)^2 =$
5
答案
12.5
解析
【分析】
解题时先回忆完全平方公式的展开形式，已知$x^2+y^2$和$(x+y)^2$的值，我们可以先展开$(x+y)^2$，代入$x^2+y^2$的值求出$2xy$的取值，再将待求的$(x-y)^2$展开，把$x^2+y^2$和$2xy$的值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
将$x^2 + y^2 = 4$，$(x + y)^2 = 3$代入上式，得：
$3 = 4 + 2xy$
解得$2xy = 3 - 4 = -1$
再根据完全平方公式展开$(x-y)^2$：
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
将$x^2 + y^2 = 4$，$2xy=-1$代入上式，得：
$(x-y)^2 = 4 - (-1) = 5$
【答案】
5
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题主要考查完全平方公式的变形应用，通过整体代入已知条件的方式可以避免单独求解x、y的取值，简化运算过程，熟练掌握完全平方公式的两种展开形式是解题的核心。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆完全平方公式的展开形式，已知$x^2+y^2$和$(x+y)^2$的值，我们可以先展开$(x+y)^2$，代入$x^2+y^2$的值求出$2xy$的取值，再将待求的$(x-y)^2$展开，把$x^2+y^2$和$2xy$的值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
将$x^2 + y^2 = 4$，$(x + y)^2 = 3$代入上式，得：
$3 = 4 + 2xy$
解得$2xy = 3 - 4 = -1$
再根据完全平方公式展开$(x-y)^2$：
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
将$x^2 + y^2 = 4$，$2xy=-1$代入上式，得：
$(x-y)^2 = 4 - (-1) = 5$
【答案】
5
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题主要考查完全平方公式的变形应用，通过整体代入已知条件的方式可以避免单独求解x、y的取值，简化运算过程，熟练掌握完全平方公式的两种展开形式是解题的核心。
【难度系数】
0.8
13.(运算能力)计算：
(1)$(2x+3y)^2-(2x-3y)^2$；
(2)$(a-2b)(2b+a)-(a+2b)^2$；
(3)$(x+y)^2(x-y)^2$；
(4)$[(x+y)^2+(x-y)^2](2x^2+2y^2)$。
(1)$(2x+3y)^2-(2x-3y)^2$；
(2)$(a-2b)(2b+a)-(a+2b)^2$；
(3)$(x+y)^2(x-y)^2$；
(4)$[(x+y)^2+(x-y)^2](2x^2+2y^2)$。
答案
13.(1)原式=$4x^2+12xy+9y^2-4x^2+12xy-9y^2=24xy$ (2)原式=$a^2-4b^2-(a^2+4ab+4b^2)=a^2-4b^2-a^2-4ab-4b^2=-4ab-8b^2$ (3)原式=$[(x+y)(x-y)]^2=(x^2-y^2)^2=x^4-2x^2y^2+y^4$ (4)原式=$(x^2+y^2+2xy+x^2+y^2-2xy)(2x^2+2y^2)=(2x^2+2y^2)(2x^2+2y^2)=(2x^2+2y^2)^2=4x^4+8x^2y^2+4y^4$
解析
【分析】
这四道题均为整式乘法混合运算，解题时可先观察式子特征，选择对应乘法公式简化计算：
1. 第(1)题可直接展开两个完全平方公式，再合并同类项，也可将两个平方项看作整体用平方差公式计算；
2. 第(2)题前半部分符合平方差公式结构，后半部分是完全平方公式，展开后注意去括号时的符号变化；
3. 第(3)题逆用积的乘方性质，先算两个一次式的乘积（平方差公式），再对结果用完全平方公式，可减少计算量；
4. 第(4)题先展开中括号内的两个完全平方，合并同类项后再和后式相乘即可。
计算时要牢记乘法公式结构，避免公式混淆、符号出错。
【解析】
(1) 先分别展开完全平方公式再合并同类项：
原式$=4x^2+12xy+9y^2-(4x^2-12xy+9y^2)=4x^2+12xy+9y^2-4x^2+12xy-9y^2=24xy$
(2) 先用平方差公式算前半部分，再展开完全平方公式，去括号合并同类项：
原式$=a^2-4b^2-(a^2+4ab+4b^2)=a^2-4b^2-a^2-4ab-4b^2=-4ab-8b^2$
(3) 逆用积的乘方运算，先算平方差再算完全平方：
原式$=[(x+y)(x-y)]^2=(x^2-y^2)^2=x^4-2x^2y^2+y^4$
(4) 先展开中括号内的完全平方，合并同类项后再计算乘法：
原式$=(x^2+y^2+2xy+x^2+y^2-2xy)(2x^2+2y^2)=(2x^2+2y^2)(2x^2+2y^2)=(2x^2+2y^2)^2=4x^4+8x^2y^2+4y^4$
【答案】
(1)$24xy$；(2)$-4ab-8b^2$；(3)$x^4-2x^2y^2+y^4$；(4)$4x^4+8x^2y^2+4y^4$
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；整式混合运算
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题时优先观察式子特征选择简便算法，要注意去括号的符号变化，熟记公式结构、避免混淆完全平方公式和平方差公式，熟练运用运算性质可降低计算出错率。
【难度系数】
0.7
这四道题均为整式乘法混合运算，解题时可先观察式子特征，选择对应乘法公式简化计算：
1. 第(1)题可直接展开两个完全平方公式，再合并同类项，也可将两个平方项看作整体用平方差公式计算；
2. 第(2)题前半部分符合平方差公式结构，后半部分是完全平方公式，展开后注意去括号时的符号变化；
3. 第(3)题逆用积的乘方性质，先算两个一次式的乘积（平方差公式），再对结果用完全平方公式，可减少计算量；
4. 第(4)题先展开中括号内的两个完全平方，合并同类项后再和后式相乘即可。
计算时要牢记乘法公式结构，避免公式混淆、符号出错。
【解析】
(1) 先分别展开完全平方公式再合并同类项：
原式$=4x^2+12xy+9y^2-(4x^2-12xy+9y^2)=4x^2+12xy+9y^2-4x^2+12xy-9y^2=24xy$
(2) 先用平方差公式算前半部分，再展开完全平方公式，去括号合并同类项：
原式$=a^2-4b^2-(a^2+4ab+4b^2)=a^2-4b^2-a^2-4ab-4b^2=-4ab-8b^2$
(3) 逆用积的乘方运算，先算平方差再算完全平方：
原式$=[(x+y)(x-y)]^2=(x^2-y^2)^2=x^4-2x^2y^2+y^4$
(4) 先展开中括号内的完全平方，合并同类项后再计算乘法：
原式$=(x^2+y^2+2xy+x^2+y^2-2xy)(2x^2+2y^2)=(2x^2+2y^2)(2x^2+2y^2)=(2x^2+2y^2)^2=4x^4+8x^2y^2+4y^4$
【答案】
(1)$24xy$；(2)$-4ab-8b^2$；(3)$x^4-2x^2y^2+y^4$；(4)$4x^4+8x^2y^2+4y^4$
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；整式混合运算
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题时优先观察式子特征选择简便算法，要注意去括号的符号变化，熟记公式结构、避免混淆完全平方公式和平方差公式，熟练运用运算性质可降低计算出错率。
【难度系数】
0.7
14.(抽象能力)我们知道,对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式.
(1)图①表示的数学等式为
(2)图②表示的数学等式为
(3)利用(2)中所得到的结论,解决下面的问题:已知$a+b+c=11,ab+bc+ac=38$,求$a^2+b^2+c^2$的值;
(4)小明同学又用$x$张边长为$a$的正方形,$y$张边长为$b$的正方形,$z$张边长分别为$a,b$的长方形纸片拼出了一个面积为$(3a+2b)(2a+5b)$的长方形,那么$x+y+z=$
(1)图①表示的数学等式为
$(a+b)(a+2b)=a^2+3ab+2b^2$
;(2)图②表示的数学等式为
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
;(3)利用(2)中所得到的结论,解决下面的问题:已知$a+b+c=11,ab+bc+ac=38$,求$a^2+b^2+c^2$的值;
(4)小明同学又用$x$张边长为$a$的正方形,$y$张边长为$b$的正方形,$z$张边长分别为$a,b$的长方形纸片拼出了一个面积为$(3a+2b)(2a+5b)$的长方形,那么$x+y+z=$
35
.答案
14.(1)$(a+b)(a+2b)=a^2+3ab+2b^2$ (2)$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$ (3)$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=11^2-2×38=121-76=45$ (4)$\because (3a+2b)(2a+5b)=6a^2+19ab+10b^2,\therefore x=6,y=10,z=19,\therefore x+y+z=6+10+19=35$
解析
【分析】
(1) 计算图①的面积可采用两种方法：方法一，直接计算大长方形的长与宽的乘积，长为$a+2b$，宽为$a+b$，面积为二者乘积；方法二，将大长方形拆分为多个小图形，分别计算各小图形面积再求和，两种方法计算的面积相等，即可得到对应等式。
(2) 计算图②的面积同理：方法一，大正方形边长为$a+b+c$，面积为边长的平方；方法二，拆分大正方形为多个小图形，分别计算面积后求和，二者相等即可得到三数和的平方公式。
(3) 利用第(2)问得到的等式变形，将$a^2+b^2+c^2$单独放在等式一侧，再把已知的$a+b+c$和$ab+bc+ac$的值代入计算即可。
(4) 先把$(3a+2b)(2a+5b)$用多项式乘多项式法则展开，再根据$x$是$a^2$项的系数、$y$是$b^2$项的系数、$z$是$ab$项的系数，分别求出$x、y、z$的值后相加即可。
【解析】
(1) 图①大长方形的长为$a+2b$，宽为$a+b$，面积为$(a+b)(a+2b)$；拆分后包含1个边长为$a$的正方形（面积$a^2$），3个长为$b$宽为$a$的长方形（总面积$3ab$），2个边长为$b$的正方形（总面积$2b^2$），总面积为$a^2+3ab+2b^2$，故等式为$(a+b)(a+2b)=a^2+3ab+2b^2$。
(2) 图②大正方形边长为$a+b+c$，面积为$(a+b+c)^2$；拆分后包含3个正方形，面积分别为$a^2、b^2、c^2$，2个面积为$ab$的长方形、2个面积为$ac$的长方形、2个面积为$bc$的长方形，总面积为$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$，故等式为$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$。
(3) 由(2)的等式变形可得：$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)$，将$a+b+c=11$，$ab+bc+ac=38$代入得：
$a^2+b^2+c^2=11^2-2×38=121-76=45$。
(4) 先展开$(3a+2b)(2a+5b)$：
$(3a+2b)(2a+5b)=3a·2a +3a·5b +2b·2a +2b·5b=6a^2+15ab+4ab+10b^2=6a^2+19ab+10b^2$，
由题意得$x=6$，$y=10$，$z=19$，故$x+y+z=6+10+19=35$。
【答案】
(1)$(a+b)(a+2b)=a^2+3ab+2b^2$；(2)$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$；(3)$45$；(4)$35$
【知识点】
完全平方公式，多项式乘多项式，面积法推导恒等式
【点评】
本题借助几何图形面积推导代数恒等式，再利用恒等式解决计算问题，很好地体现了数形结合的思想，考查了对整式乘法相关公式的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 计算图①的面积可采用两种方法：方法一，直接计算大长方形的长与宽的乘积，长为$a+2b$，宽为$a+b$，面积为二者乘积；方法二，将大长方形拆分为多个小图形，分别计算各小图形面积再求和，两种方法计算的面积相等，即可得到对应等式。
(2) 计算图②的面积同理：方法一，大正方形边长为$a+b+c$，面积为边长的平方；方法二，拆分大正方形为多个小图形，分别计算面积后求和，二者相等即可得到三数和的平方公式。
(3) 利用第(2)问得到的等式变形，将$a^2+b^2+c^2$单独放在等式一侧，再把已知的$a+b+c$和$ab+bc+ac$的值代入计算即可。
(4) 先把$(3a+2b)(2a+5b)$用多项式乘多项式法则展开，再根据$x$是$a^2$项的系数、$y$是$b^2$项的系数、$z$是$ab$项的系数，分别求出$x、y、z$的值后相加即可。
【解析】
(1) 图①大长方形的长为$a+2b$，宽为$a+b$，面积为$(a+b)(a+2b)$；拆分后包含1个边长为$a$的正方形（面积$a^2$），3个长为$b$宽为$a$的长方形（总面积$3ab$），2个边长为$b$的正方形（总面积$2b^2$），总面积为$a^2+3ab+2b^2$，故等式为$(a+b)(a+2b)=a^2+3ab+2b^2$。
(2) 图②大正方形边长为$a+b+c$，面积为$(a+b+c)^2$；拆分后包含3个正方形，面积分别为$a^2、b^2、c^2$，2个面积为$ab$的长方形、2个面积为$ac$的长方形、2个面积为$bc$的长方形，总面积为$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$，故等式为$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$。
(3) 由(2)的等式变形可得：$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)$，将$a+b+c=11$，$ab+bc+ac=38$代入得：
$a^2+b^2+c^2=11^2-2×38=121-76=45$。
(4) 先展开$(3a+2b)(2a+5b)$：
$(3a+2b)(2a+5b)=3a·2a +3a·5b +2b·2a +2b·5b=6a^2+15ab+4ab+10b^2=6a^2+19ab+10b^2$，
由题意得$x=6$，$y=10$，$z=19$，故$x+y+z=6+10+19=35$。
【答案】
(1)$(a+b)(a+2b)=a^2+3ab+2b^2$；(2)$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$；(3)$45$；(4)$35$
【知识点】
完全平方公式，多项式乘多项式，面积法推导恒等式
【点评】
本题借助几何图形面积推导代数恒等式，再利用恒等式解决计算问题，很好地体现了数形结合的思想，考查了对整式乘法相关公式的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
