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三、解答题
11 从三个代数式$4x^2 - y^2$、$2xy + y^2$、$4x^2 + 4xy + y^2$中任选两个作为分子和分母，构造分式，并化简该分式。（写出三种情况）
11 从三个代数式$4x^2 - y^2$、$2xy + y^2$、$4x^2 + 4xy + y^2$中任选两个作为分子和分母，构造分式，并化简该分式。（写出三种情况）
答案
11.答案不唯一，如$\frac{2x-y}{y},\frac{2x-y}{2x+y},\frac{y}{2x+y}$等
12 如果分式$\frac{a^2 - 4}{1 + \frac{1 + 3a}{2a}}$有意义，求a的取值范围。
答案
12.$a≠0且a≠-\frac{1}{5}$
13 已知 x 为整数，求能使分式$\frac{x^2 - x}{x + 1}$的值为整数的所有 x 之和。
答案
13.$-4$ ［提示：$\frac{x^2 - x}{x + 1}=\frac{x^2 + 2x + 1 - 3x - 3 + 2}{x + 1}=x + 1 - 3 + \frac{2}{x + 1}=x - 2 + \frac{2}{x + 1}$,由题意得$x + 1$可以取$\pm1,\pm2$,故$x=-3,-2,0,1$］
14 如果$a$、$b$为有理数且满足$a≠-1$，$b≠-1$，已知分式$M=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}$，$N=\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}$。
（1）如果$ab=1$，求证：$M=N$；
（2）如果$a+b=0$，求证：$MN≤0$。
（1）如果$ab=1$，求证：$M=N$；
（2）如果$a+b=0$，求证：$MN≤0$。
答案
14.（1）当$ab=1$时，$M=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}=\frac{ab}{ab+a}+\frac{ab}{ab+b}=\frac{b}{b+1}+\frac{a}{a+1}=N$；
（2）$MN=(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b})·(\frac{b}{b+1}+\frac{a}{a+1})=\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{a+b}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)^2}$,因为$a + b = 0$,所以$MN=\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{b}{(b+1)^2}=\frac{4ab}{(a+1)^2(b+1)^2}$。因为$a≠-1,b≠-1$,所以$(a+1)^2(b+1)^2＞0$,因为$a + b = 0$,所以$ab≤0$,所以$MN≤0$。
（2）$MN=(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b})·(\frac{b}{b+1}+\frac{a}{a+1})=\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{a+b}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)^2}$,因为$a + b = 0$,所以$MN=\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{b}{(b+1)^2}=\frac{4ab}{(a+1)^2(b+1)^2}$。因为$a≠-1,b≠-1$,所以$(a+1)^2(b+1)^2＞0$,因为$a + b = 0$,所以$ab≤0$,所以$MN≤0$。
