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1.「2025山东德州中考」如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$。分别以点A和点B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，与AC交于点D，连接BD，若$∠ A=42°$，则$∠ CBD$的度数为（
A.$21°$
B.$27°$
C.$30°$
D.$34.5°$
B
）A.$21°$
B.$27°$
C.$30°$
D.$34.5°$
答案
1. B
∵ AB=AC,
∴ ∠ABC=∠C,
∵ ∠A=42°,
∴ ∠ABC=$\frac{180°-42°}{2}$=69°,由尺规作图可知,直线MN是线段AB的垂直平分线,
∴ DA=DB,
∴ ∠DBA=∠A=42°,
∴ ∠CBD=∠ABC-∠DBA=69°-42°=27°.
∵ AB=AC,
∴ ∠ABC=∠C,
∵ ∠A=42°,
∴ ∠ABC=$\frac{180°-42°}{2}$=69°,由尺规作图可知,直线MN是线段AB的垂直平分线,
∴ DA=DB,
∴ ∠DBA=∠A=42°,
∴ ∠CBD=∠ABC-∠DBA=69°-42°=27°.
2.「2025天津中考」如图，CD是△ABC的角平分线.按以下步骤作图:①以点A为圆心,适当长为半径画弧,与边AB相交于点E,与边AC相交于点F;②以点B为圆心,AE长为半径画弧,与边BC相交于点G;③以点G为圆心,EF长为半径画弧,与第②步中所画的弧相交于点H;④作射线BH,与CD相交于点M,与边AC相交于点N.则下列结论一定正确的是 (
A.∠ABN=∠A
B.BN⊥AC
C.CM=AD
D.BM=BD
D
)A.∠ABN=∠A
B.BN⊥AC
C.CM=AD
D.BM=BD
答案
2. D 由作法得∠CBN=∠A,
∵ CD是△ABC的角平分线,
∴ ∠BCD=∠ACD,
∵ ∠BMD=∠BCD+∠CBN,∠BDM=∠A+∠ACD,
∴ ∠BMD=∠BDM,
∴ BD=BM,故D选项的结论正确.
根据题意无法得到A、B、C选项的结论.
∵ CD是△ABC的角平分线,
∴ ∠BCD=∠ACD,
∵ ∠BMD=∠BCD+∠CBN,∠BDM=∠A+∠ACD,
∴ ∠BMD=∠BDM,
∴ BD=BM,故D选项的结论正确.
根据题意无法得到A、B、C选项的结论.
3.「2025四川达州中考」开启作角平分线的智慧之窗.
问题:作$∠ AOB$的平分线$OP$.
作法:
甲同学用尺规作出了角平分线；
乙同学用圆规和直角三角尺作出了角平分线；
丙同学也用尺规作出了角平分线；
工人师傅用带刻度的直角弯尺,通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上,即得$OP$为$∠ AOB$的平分线.
讨论:大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑,认为判断角平分线的依据是利用三角形全等,其判定全等的方法是
对乙同学作法半信半疑,通过讨论最终确定的判定依据:①三角形全等,AAS,ASA或HL,②
对丙同学的作法陷入了沉思.
任务:
(1)请你将上述讨论得出的依据补充完整.
(2)完成对丙同学作法的验证.
已知$∠ AED=∠ AOB$,$EP=EO$,求证:$OP$平分$∠ AOB$.
问题:作$∠ AOB$的平分线$OP$.
作法:
甲同学用尺规作出了角平分线；
乙同学用圆规和直角三角尺作出了角平分线；
丙同学也用尺规作出了角平分线；
工人师傅用带刻度的直角弯尺,通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上,即得$OP$为$∠ AOB$的平分线.
讨论:大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑,认为判断角平分线的依据是利用三角形全等,其判定全等的方法是
SSS
.对乙同学作法半信半疑,通过讨论最终确定的判定依据:①三角形全等,AAS,ASA或HL,②
全等三角形的对应角相等
.对丙同学的作法陷入了沉思.
任务:
(1)请你将上述讨论得出的依据补充完整.
(2)完成对丙同学作法的验证.
已知$∠ AED=∠ AOB$,$EP=EO$,求证:$OP$平分$∠ AOB$.
答案
3.解析 (1)SSS;全等三角形的对应角相等.
(2)证明:
∵ ∠AED = ∠AOB,
∴ EP // OB,
∴ ∠EPO = ∠POB,
∵ EP=EO,
∴ ∠EPO=∠EOP,
∴ ∠POB=∠EOP,
∴ OP平分∠AOB.
(2)证明:
∵ ∠AED = ∠AOB,
∴ EP // OB,
∴ ∠EPO = ∠POB,
∵ EP=EO,
∴ ∠EPO=∠EOP,
∴ ∠POB=∠EOP,
∴ OP平分∠AOB.
4.「2025浙江中考」【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方$(a+b)^n$展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
$(a+b)^4 = a^4 +4a^3b +6a^2b^2 +4ab^3 +b^4.$
【应用体验】
已知$(x+2)^4 = x^4 +mx^3 +24x^2 +32x +16$，则$m$的值为
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方$(a+b)^n$展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
$(a+b)^4 = a^4 +4a^3b +6a^2b^2 +4ab^3 +b^4.$
【应用体验】
已知$(x+2)^4 = x^4 +mx^3 +24x^2 +32x +16$，则$m$的值为
8
。答案
4.答案 8
解析
∵ $(a+b)^4 = a^4 +4a^3b +6a^2b^2 +4ab^3 +b^4$,
∴ $(x+2)^4 = x^4 +4x^3×2 +6x^2×2^2 +4x×2^3 +2^4 = x^4 +8x^3 +24x^2 +32x +16$,
∴ m=8.
解析
∵ $(a+b)^4 = a^4 +4a^3b +6a^2b^2 +4ab^3 +b^4$,
∴ $(x+2)^4 = x^4 +4x^3×2 +6x^2×2^2 +4x×2^3 +2^4 = x^4 +8x^3 +24x^2 +32x +16$,
∴ m=8.
