1. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是 （）

A.$x^2 -4=0$
B.$4x^2 +4x +1=0$
C.$x^2 +2x +4=0$
D.$x^2 -x -1=0$

1.B

【分析】要判断一元二次方程是否有两个相等的实数根，需依据根的判别式的性质：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根。解题思路是先确定每个选项中方程的$a、b、c$的值，再分别计算判别式$\Delta$的值，找出$\Delta=0$的选项即可。
【解析】对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
逐个分析选项：
A. 方程$x^2-4=0$中，$a=1$，$b=0$，$c=-4$，$\Delta=0^2-4×1×(-4)=16＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
B. 方程$4x^2+4x+1=0$中，$a=4$，$b=4$，$c=1$，$\Delta=4^2-4×4×1=16-16=0$，方程有两个相等的实数根，符合要求；
C. 方程$x^2+2x+4=0$中，$a=1$，$b=2$，$c=4$，$\Delta=2^2-4×1×4=4-16=-12＜0$，方程没有实数根，不符合要求；
D. 方程$x^2-x-1=0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=-1$，$\Delta=(-1)^2-4×1×(-1)=1+4=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求。
综上，选B。
【答案】B
【知识点】1.一元二次方程根的判别式 2.根的情况与判别式的关系
【点评】本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，只要熟记判别式的取值与方程根的三种对应关系，代入计算即可准确解题。
【难度系数】0.8

2.(新疆中考)若关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + a = 0$无实数根，则实数$a$的取值范围是（）

A.$a＜1$
B.$a＞1$
C.$a≤1$
D.$a≥1$

2.B

【分析】
要解决这道题，我们需要结合一元二次方程根的情况与判别式的关系来思考。首先明确：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，判别式$\Delta=B^2-4AC$，当$\Delta＜0$时，方程无实数根。所以我们先找到题中方程对应的A、B、C的值，代入判别式，再根据“无实数根”的条件列不等式求解，即可得到a的取值范围。
【解析】
解：已知关于$x$的一元二次方程为$x^2 - 2x + a = 0$，
其中二次项系数$A=1$，一次项系数$B=-2$，常数项$C=a$，
∵方程无实数根，
∴判别式$\Delta＜0$，
代入得：$\Delta=(-2)^2 - 4×1× a ＜ 0$，
计算得：$4 - 4a ＜ 0$，
移项得：$4 ＜ 4a$，
两边同时除以4得：$a ＞ 1$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题核心是牢记判别式与方程根的三种对应关系，计算难度低，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.8

3.已知关于$x$的方程$x^2+(k+3)x+k+2=0$，则下列说法正确的是（）

A.不存在$k$的值，使得方程有两个相等的实数根
B.至少存在一个$k$的值，使得方程没有实数根
C.无论$k$为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D.无论$k$为何值，方程总有两个不相等的实数根

3.C

【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用及方程根的求解，解题思路如下：首先计算方程的根的判别式Δ，根据Δ的取值范围判断方程根的个数情况，验证选项A、B、D的正误；再用因式分解法求解一元二次方程，得到根的表达式，判断是否存在固定不变的实数根，验证选项C即可。
【解析】
对于方程$x^2+(k+3)x+k+2=0$：
1. 计算根的判别式
$\Delta=(k+3)^2 - 4×1×(k+2)$
$=k^2+6k+9-4k-8$
$=k^2+2k+1$
$=(k+1)^2$
由平方的非负性可得$\Delta=(k+1)^2≥0$恒成立：
选项A：当$\Delta=0$即$k=-1$时，方程有两个相等的实数根，因此存在符合条件的$k$，A错误；
选项B：因为$\Delta≥0$恒成立，所以无论$k$取何值，方程都有实数根，不存在使方程无实根的$k$，B错误；
选项D：当$k=-1$时$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根，并非总有两个不相等的实数根，D错误。
2. 因式分解求解方程
将方程左边十字相乘因式分解得：$(x+1)(x+k+2)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=-k-2$，可见无论$k$取何值，方程总有固定根$x=-1$，C正确。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 十字相乘法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程根的相关基础综合题，解题核心是先通过判别式判断根的存在性和个数特征，再通过因式分解得到根的表达式，即可快速排除错误选项得到答案。
【难度系数】
0.7

4.【开放性试题】(西宁中考)若关于$x$的一元二次方程$kx^2 -2x +1=0$有两个不相等的实数根,请写出一个满足条件的$k$的值.

4.-1(答案不唯一)

【分析】
要解决这道题，需同时满足两个核心条件：① 该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；② 方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式大于0。我们先分别根据这两个条件列出关于k的限制要求，再求出k的取值范围，最后在范围内任选一个值即可。
【解析】
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不能为0，因此$k≠0$；
2. 方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式规则$\Delta = b^2-4ac＞0$，代入$a=k$，$b=-2$，$c=1$得：
$\Delta = (-2)^2 -4× k ×1＞0$
计算得$4-4k＞0$，解不等式得$k＜1$。
综合两个条件可得k的取值范围为$k＜1$且$k≠0$，任选范围内的数值即可，比如-1。
【答案】
-1（答案不唯一，满足$k＜1$且$k≠0$即可）
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础开放性试题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，只要同时满足两个限制条件，就能快速写出符合要求的k值。
【难度系数】
0.7

5. (周口淮阳区月考)已知关于$x$的方程$x^2 - (3k+1)x + 2k^2 + 2k = 0$.
(1)求证:无论$k$取何值,方程总有实数根;
(2)若等腰三角形的底边长为3,另两边长恰好是这个方程的两根,求此三角形的周长.

5.解:(1)证明:
∵Δ=b²−4ac=[−(3k+1)]²−4(2k²+2k)=k²−2k+1=(k−1)²≥0,
∴无论k取何值,方程总有实数根.
(2)
∵等腰三角形的底边长为3,
∴另两边长即为等腰三角形的腰长.
∵另两边长恰好是这个方程的两根,
∴该方程有两个相等的实数根.
∴Δ=0,即[−(3k+1)]²−4(2k²+2k)=0,解得k=1.将k=1代入方程,得x²−4x+4=0,解得x₁=x₂=2.此时△ABC三边长为3,2,2.
∴此三角形的周长为3+2+2=7.

【分析】
(1)要证明无论$k$取何值一元二次方程总有实数根，只需证明根的判别式$\Delta≥0$即可。先确定方程中$a、b、c$的取值，代入$\Delta=b^2-4ac$化简，判断化简结果的取值范围即可完成证明。
(2)已知等腰三角形底边长为3，说明另外两边为长度相等的腰，因此对应一元二次方程有两个相等的实数根，即$\Delta=0$。先求出$k$的值，再代入方程求解得到腰长，验证三边符合三角形构成条件后计算周长即可。
【解析】
(1)证明：对于方程$x^2 - (3k+1)x + 2k^2 + 2k = 0$，其中$a=1$，$b=-(3k+1)$，$c=2k^2+2k$，
则根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = [-(3k+1)]^2 - 4×1×(2k^2+2k)$
$=9k^2+6k+1 - 8k^2 - 8k$
$=k^2-2k+1=(k-1)^2$，
∵平方具有非负性，即$(k-1)^2≥0$，
∴无论$k$取何值，方程总有实数根。
(2)解：
∵等腰三角形底边长为3，另两边长为腰长，且为方程的两根，
∴方程有两个相等的实数根，即$\Delta=0$，
∴$(k-1)^2=0$，解得$k=1$，
将$k=1$代入原方程得：$x^2-4x+4=0$，
解得$x_1=x_2=2$，
此时三角形三边长为3、2、2，满足三角形三边关系，
∴三角形周长为$3+2+2=7$。
【答案】
(1)证明成立，无论$k$取何值方程总有实数根；(2)$7$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.等腰三角形的性质 3.三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，既考查了一元二次方程根的判别式的计算与应用，也要求结合等腰三角形的性质分析方程根的特征，解题时需注意验证三边是否符合三角形构成条件。
【难度系数】
0.7

6.(成都青羊区期末)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - x + 2m - 4 = 0$的两个实数根为$x_1$，$x_2$，若方程的两根满足$(x_1 - 3)(x_2 - 3) = m^2 - 1$，则$m$的值为.

6.-1

【分析】
解题首先要利用一元二次方程有两个实数根的条件，先通过根的判别式求出m的取值范围，避免后续解出不符合题意的m值；再根据根与系数的关系写出两根之和、两根之积的表达式，将给出的含两根的等式展开后代入韦达定理的结果，得到关于m的一元二次方程，求解后结合之前的m取值范围筛选出符合条件的结果即可。
【解析】
1. 先根据方程有两个实数根，计算判别式确定m的取值范围：
对于一元二次方程$x^2 - x + 2m - 4 = 0$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(2m-4) ≥ 0$
计算得：$1 - 8m + 16 ≥ 0$，即$17 - 8m ≥ 0$，解得$m ≤ \frac{17}{8}$。
2. 由根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 1$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 2m - 4$。
3. 展开已知等式并代入求解：
将$(x_1 - 3)(x_2 - 3) = m^2 - 1$展开得：$x_1x_2 - 3(x_1 + x_2) + 9 = m^2 - 1$
把$x_1 + x_2 = 1$，$x_1x_2 = 2m - 4$代入上式：
$2m - 4 - 3×1 + 9 = m^2 - 1$
化简左边得：$2m + 2 = m^2 - 1$
整理为标准一元二次方程形式：$m^2 - 2m - 3 = 0$
因式分解得：$(m - 3)(m + 1) = 0$，解得$m = 3$或$m = -1$。
4. 结合m的取值范围筛选：
因为$m ≤ \frac{17}{8} \approx 2.125$，所以$m = 3$不符合要求，舍去，故$m = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程根相关知识的综合应用，易错点是忽略“方程有两个实数根”的前提，未通过判别式确定m的取值范围，导致多解错误，解题时要注意先根据已知根的情况限定参数范围，再求解验证。
【难度系数】
0.6

7. 已知:关于$x$的方程$x^2-(m-1)x-2m^2+m=0$.
(1)求证:无论$m$为何实数,方程总有实数根;
(2)若此方程有两个实数根$x_1,x_2$,且$x_1^2+x_2^2=2$,求$m$的值.

7.解:(1)证明:
∵Δ=[−(m−1)]²−4×1×(−2m²+m)=(3m−1)²≥0,
∴无论m取何值,方程总有实数根.
(2)由题意,得x₁+x₂=m−1,x₁x₂=−2m²+m.
∵x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂=(m−1)²−2(−2m²+m)=5m²−4m+1,又
∵x₁²+x₂²=2,
∴5m²−4m−1=0.解得m₁=1,m₂=−$\frac{1}{5}$.

【分析】
(1)要证明无论m为何实数方程总有实数根，只需计算一元二次方程的根的判别式Δ，证明Δ≥0即可。首先根据方程写出Δ的表达式，展开化简后判断其取值范围。
(2)已知方程有两个实数根，要求m的值，可利用根与系数的关系先写出两根之和与两根之积的表达式，再将$x_1^2+x_2^2$变形为含两根之和、两根之积的形式，代入已知条件$x_1^2+x_2^2=2$得到关于m的一元二次方程，解方程即可求出m的值，由于第一问已证明Δ≥0，所得解均符合要求。
【解析】
(1)证明：对于一元二次方程$x^2-(m-1)x-2m^2+m=0$，
根的判别式$\Delta = [-(m-1)]^2 - 4 × 1 × (-2m^2 + m)$
$= m^2 - 2m + 1 + 8m^2 - 4m$
$= 9m^2 - 6m + 1$
$= (3m - 1)^2$
∵ 平方数具有非负性，即$(3m-1)^2 ≥ 0$，
∴ 无论m取何实数，方程总有实数根。
(2)解：根据根与系数的关系，若方程两根为$x_1,x_2$，则：
$x_1 + x_2 = m - 1$，$x_1x_2 = -2m^2 + m$
∵ $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，且$x_1^2 + x_2^2 = 2$，
代入得：$(m-1)^2 - 2(-2m^2 + m) = 2$
展开整理得$5m^2 - 4m - 1 = 0$
因式分解得$(5m + 1)(m - 1) = 0$
解得$m_1 = 1$，$m_2 = -\frac{1}{5}$
【答案】
(1)证明见解析；(2)$m=1$或$m=-\frac{1}{5}$
【知识点】
1. 根的判别式的应用
2. 根与系数的关系
3. 解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题型，核心考查根的判别式判断根的情况的方法，以及两根代数式的变形技巧，熟练掌握相关公式、做好代数运算即可解题。
【难度系数】
0.7

8.(武汉江岸区月考)关于$x$的一元二次方程$mx^2 - 2mx + m - 2 = 0$有两个实数根为$x_1,x_2$.
(1)求$m$的取值范围；
(2)若$|x_1 - x_2| = 1$,求$m$的值.

8.解:(1)
∵关于x的一元二次方程mx²−2mx+m−2=0有两个实数根,
∴Δ=(−2m)²−4m(m−2)≥0,且m≠0,解得m＞0.
∴m的取值范围是m＞0.
(2)
∵关于x的一元二次方程mx²−2mx+m−2=0的两个实数根为x₁,x₂,
∴x₁+x₂=2,$x_1x_2=\frac{m-2}{m}$.又
∵|x₁−x₂|=1,
∴(x₁−x₂)²=1,则(x₁+x₂)²−4x₁x₂=1,
∴$2^2-\frac{4m-8}{m}=1$,解得m=8.经检验m=8是原方程的解,且符合题意,
∴m的值为8.

【分析】
(1) 题目明确是关于x的一元二次方程且有两个实数根，首先要满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0，其次有两个实根的条件是根的判别式Δ≥0，联立两个条件即可求出m的取值范围。
(2) 已知两根差的绝对值，直接求根计算量较大，可利用一元二次方程根与系数的关系先求出两根之和、两根之积，再将$|x_1-x_2|=1$两边平方，转化为用两根和、两根积表示的形式，代入数值列方程求解，最后要检验所求m的值是否符合第一问的取值范围。
【解析】
(1)
∵关于x的一元二次方程$mx^2 - 2mx + m - 2 = 0$有两个实数根，
∴需同时满足：①二次项系数$m≠0$；②根的判别式$\Delta ≥ 0$，
计算判别式：$\Delta = (-2m)^2 - 4m(m-2) = 8m$，
∴$\begin{cases}m≠0 \\ 8m ≥ 0 \end{cases}$，解得$m＞0$。
(2)
∵方程的两个实数根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = \frac{2m}{m} = 2$，$x_1x_2 = \frac{m-2}{m}$，
∵$|x_1 - x_2| = 1$，两边平方得：$(x_1 - x_2)^2 = 1$，
由完全平方公式变形得：$(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 1$，
代入数值：$2^2 - 4×\frac{m-2}{m} = 1$，
化简得：$4 - \frac{4m - 8}{m} = 1$，
两边同乘m（$m＞0$）得：$4m - 4m + 8 = m$，
解得$m=8$，经检验$m=8$符合$m＞0$的要求，是原方程的解。
【答案】
(1) $m＞0$；(2) $m=8$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的综合应用，解题时需注意不要忽略二次项系数不为0的隐含条件；涉及两根差的绝对值类问题，常用平方转化为根与系数的关系简化计算，求出参数后要注意检验是否符合取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6