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11. 兰兰和笑笑分别解同一道关于$x$的一元二次方程的题，兰兰因把一次项系数看错，解得方程的两根为－2和6，笑笑因把常数项看错，解得方程的两根为3和4，则原方程是（
A.$x^2 +7x -12=0$
B.$x^2 -7x -12=0$
C.$x^2 +7x +12=0$
D.$x^2 -7x +12=0$
B
）A.$x^2 +7x -12=0$
B.$x^2 -7x -12=0$
C.$x^2 +7x +12=0$
D.$x^2 -7x +12=0$
答案
11.B
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路如下：1. 明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）中，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$；2. 兰兰仅看错一次项系数，说明她算得的两根对应的常数项$c$是正确的，可用她的两根计算常数项；3. 笑笑仅看错常数项，说明她算得的两根对应的一次项系数$b$是正确的，可用她的两根计算一次项系数；4. 结合选项二次项系数为1的特征，即可求出原方程。
【解析】
设原一元二次方程为$x^2+bx+c=0$（二次项系数为1，符合选项形式）。
① 求常数项$c$：
兰兰仅看错一次项系数，常数项$c$计算正确，根据韦达定理，两根之积等于常数项，即：
$c = (-2) × 6 = -12$
② 求一次项系数$b$：
笑笑仅看错常数项，一次项系数$b$计算正确，根据韦达定理，两根之和等于$-b$，即：
$3 + 4 = -b$
解得$b = -7$
将$b=-7$、$c=-12$代入所设方程，得原方程为$x^2 -7x -12=0$。
【答案】
B
【知识点】
1. 韦达定理
2. 一元二次方程基本概念
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，解题核心是抓住“看错某一项时其余未看错的项对应的系数是正确的”这一关键，需要注意韦达定理中两根和与一次项系数的符号关系，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路如下：1. 明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）中，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$；2. 兰兰仅看错一次项系数，说明她算得的两根对应的常数项$c$是正确的，可用她的两根计算常数项；3. 笑笑仅看错常数项，说明她算得的两根对应的一次项系数$b$是正确的，可用她的两根计算一次项系数；4. 结合选项二次项系数为1的特征，即可求出原方程。
【解析】
设原一元二次方程为$x^2+bx+c=0$（二次项系数为1，符合选项形式）。
① 求常数项$c$：
兰兰仅看错一次项系数，常数项$c$计算正确，根据韦达定理，两根之积等于常数项，即：
$c = (-2) × 6 = -12$
② 求一次项系数$b$：
笑笑仅看错常数项，一次项系数$b$计算正确，根据韦达定理，两根之和等于$-b$，即：
$3 + 4 = -b$
解得$b = -7$
将$b=-7$、$c=-12$代入所设方程，得原方程为$x^2 -7x -12=0$。
【答案】
B
【知识点】
1. 韦达定理
2. 一元二次方程基本概念
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，解题核心是抓住“看错某一项时其余未看错的项对应的系数是正确的”这一关键，需要注意韦达定理中两根和与一次项系数的符号关系，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
12.(东营中考)若$x_1$，$x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的两个实数根，则代数式$x_1^2 - 24x_1 + x_2$的值为（
A.0
B.25
C.26
D.−1
C
）A.0
B.25
C.26
D.−1
答案
12.C
解析
【分析】
解题思路如下：首先，因为$x_1$是一元二次方程的根，根据一元二次方程根的定义，将$x_1$代入方程可得到$x_1^2$的表达式，实现降次的目的，替换所求代数式中的$x_1^2$，化简代数式；其次，根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$x_1+x_2$的值；最后将$x_1+x_2$整体代入化简后的代数式即可算出结果。
【解析】
∵$x_1$是一元二次方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的实数根，
∴将$x_1$代入方程得：$x_1^2 - 25x_1 - 1 = 0$，即$x_1^2 = 25x_1 + 1$。
将$x_1^2 = 25x_1 + 1$代入代数式$x_1^2 - 24x_1 + x_2$得：
原式$=25x_1 + 1 - 24x_1 + x_2 = x_1 + x_2 + 1$。
又
∵$x_1$、$x_2$是方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 25$，
∴原式$=25 + 1 = 26$。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.根与系数的关系
3.代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的综合应用题型，核心解题技巧是利用根的定义对高次项降次，再结合根与系数的关系整体代入求值，省去了直接求解方程根的复杂计算，是该模块的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先，因为$x_1$是一元二次方程的根，根据一元二次方程根的定义，将$x_1$代入方程可得到$x_1^2$的表达式，实现降次的目的，替换所求代数式中的$x_1^2$，化简代数式；其次，根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$x_1+x_2$的值；最后将$x_1+x_2$整体代入化简后的代数式即可算出结果。
【解析】
∵$x_1$是一元二次方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的实数根，
∴将$x_1$代入方程得：$x_1^2 - 25x_1 - 1 = 0$，即$x_1^2 = 25x_1 + 1$。
将$x_1^2 = 25x_1 + 1$代入代数式$x_1^2 - 24x_1 + x_2$得：
原式$=25x_1 + 1 - 24x_1 + x_2 = x_1 + x_2 + 1$。
又
∵$x_1$、$x_2$是方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 25$，
∴原式$=25 + 1 = 26$。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.根与系数的关系
3.代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的综合应用题型，核心解题技巧是利用根的定义对高次项降次，再结合根与系数的关系整体代入求值，省去了直接求解方程根的复杂计算，是该模块的典型考法。
【难度系数】
0.7
13.若方程$x^2 - (k^2 - 4)x + k + 1 = 0$的两实数根互为相反数，则k的值应为
-2
。答案
13.-2
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先，两实数根互为相反数，根据相反数的性质，两根之和为0；然后结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，据此列出关于k的方程，求出k的可能值；最后要注意题目明确说明有两个实数根，所以需要将求出的k值代入原方程，检验判别式是否非负，排除没有实根的情况，得到最终正确的k值。
【解析】
设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，由题意得两根互为相反数，因此$x_1 + x_2 = 0$。
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，本题中$a=1$，$b=-(k^2-4)$，因此：
$x_1 + x_2 = k^2 - 4 = 0$
解得$k=2$或$k=-2$。
接下来检验两种情况是否满足方程有两个实数根：
①当$k=2$时，原方程变为$x^2 + 3 = 0$，此时判别式$\Delta = 0^2 - 4×1×3 = -12 ＜ 0$，方程无实数根，不符合题意，舍去；
②当$k=-2$时，原方程变为$x^2 - 1 = 0$，此时判别式$\Delta = 0^2 - 4×1×(-1) = 4 ＞ 0$，方程的两根为$x_1=1$、$x_2=-1$，互为相反数，符合题意。
综上，$k$的值为$-2$。
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式；相反数的性质
【点评】
本题易错点是求出$k=±2$后，忽略题目中“两实数根”的前提，未检验判别式的取值，导致错误得出$k=2$也符合条件的结论，解题时要注意结合已知条件验证解的合理性。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先，两实数根互为相反数，根据相反数的性质，两根之和为0；然后结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，据此列出关于k的方程，求出k的可能值；最后要注意题目明确说明有两个实数根，所以需要将求出的k值代入原方程，检验判别式是否非负，排除没有实根的情况，得到最终正确的k值。
【解析】
设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，由题意得两根互为相反数，因此$x_1 + x_2 = 0$。
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，本题中$a=1$，$b=-(k^2-4)$，因此：
$x_1 + x_2 = k^2 - 4 = 0$
解得$k=2$或$k=-2$。
接下来检验两种情况是否满足方程有两个实数根：
①当$k=2$时，原方程变为$x^2 + 3 = 0$，此时判别式$\Delta = 0^2 - 4×1×3 = -12 ＜ 0$，方程无实数根，不符合题意，舍去；
②当$k=-2$时，原方程变为$x^2 - 1 = 0$，此时判别式$\Delta = 0^2 - 4×1×(-1) = 4 ＞ 0$，方程的两根为$x_1=1$、$x_2=-1$，互为相反数，符合题意。
综上，$k$的值为$-2$。
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式；相反数的性质
【点评】
本题易错点是求出$k=±2$后，忽略题目中“两实数根”的前提，未检验判别式的取值，导致错误得出$k=2$也符合条件的结论，解题时要注意结合已知条件验证解的合理性。
【难度系数】
0.6
14.(北京东城区期末)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3mx + 2m^2 = 0$.
(1)求证:该方程总有两个实数根；
(2)若$x_1, x_2$是此方程的两个实数根,且$2x_1 - x_2 = 3$,求$m$的值.
(1)求证:该方程总有两个实数根；
(2)若$x_1, x_2$是此方程的两个实数根,且$2x_1 - x_2 = 3$,求$m$的值.
答案
解:(1)证明:$\because \Delta=(-3m)^2 - 4×1×2m^2=9m^2 - 8m^2=m^2 ≥ 0$,$\therefore$该方程总有两个实数根.
(2)由题意,得 $x_1 + x_2 = 3m$, $x_1 · x_2 = 2m^2$. 又$\because 2x_1 - x_2 = 3$,联立方程组 $\begin{cases} x_1 + x_2 = 3m, \\ 2x_1 - x_2 = 3, \end{cases}$解得 $\begin{cases} x_1 = m + 1, \\ x_2 = 2m - 1. \end{cases}$ 代入 $x_1 · x_2 = 2m^2$,得 $(m+1)(2m-1) = 2m^2$,即 $2m^2 + m - 1 = 2m^2$. $\therefore m - 1 = 0$,$\therefore m = 1$.
(2)由题意,得 $x_1 + x_2 = 3m$, $x_1 · x_2 = 2m^2$. 又$\because 2x_1 - x_2 = 3$,联立方程组 $\begin{cases} x_1 + x_2 = 3m, \\ 2x_1 - x_2 = 3, \end{cases}$解得 $\begin{cases} x_1 = m + 1, \\ x_2 = 2m - 1. \end{cases}$ 代入 $x_1 · x_2 = 2m^2$,得 $(m+1)(2m-1) = 2m^2$,即 $2m^2 + m - 1 = 2m^2$. $\therefore m - 1 = 0$,$\therefore m = 1$.
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程总有两个实数根，核心是验证根的判别式Δ≥0。首先明确方程的二次项系数、一次项系数和常数项，代入判别式公式化简，根据平方的非负性判断结果的取值范围，即可完成证明。
(2) 已知方程两根的数量关系，首先利用根与系数的关系（韦达定理）得到两根之和、两根之积关于m的表达式，再将两根之和的等式与已知条件2x₁ - x₂=3联立为二元一次方程组，用m表示出x₁、x₂的表达式，最后代入两根之积的等式求解，即可得到m的值。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2 - 3mx + 2m^2 = 0$，对应系数为$a=1$，$b=-3m$，$c=2m^2$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3m)^2 - 4×1×2m^2 = 9m^2 - 8m^2 = m^2$。
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$m^2≥0$，
∴ 该方程总有两个实数根。
(2) 解：
∵ $x_1, x_2$是方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 3m$，$x_1· x_2 = 2m^2$。
结合已知条件$2x_1 - x_2 = 3$，联立得方程组：
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 3m \\ 2x_1 - x_2 = 3\end{cases}$
两式相加消去$x_2$，得$3x_1 = 3m + 3$，解得$x_1 = m + 1$。
将$x_1 = m + 1$代入$x_1 + x_2 = 3m$，得$x_2 = 2m - 1$。
把$x_1 = m + 1$、$x_2 = 2m - 1$代入$x_1· x_2 = 2m^2$，得：
$(m+1)(2m-1) = 2m^2$
展开化简得：$2m^2 + m - 1 = 2m^2$，即$m - 1 = 0$，
解得$m = 1$。
【答案】
(1) 证明成立，方程总有两个实数根；
(2) $m=1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，既考查了根的判别式判断根的情况的方法，也考查了韦达定理结合方程求解参数的思路，解题逻辑清晰，计算量小，是巩固一元二次方程核心性质的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明一元二次方程总有两个实数根，核心是验证根的判别式Δ≥0。首先明确方程的二次项系数、一次项系数和常数项，代入判别式公式化简，根据平方的非负性判断结果的取值范围，即可完成证明。
(2) 已知方程两根的数量关系，首先利用根与系数的关系（韦达定理）得到两根之和、两根之积关于m的表达式，再将两根之和的等式与已知条件2x₁ - x₂=3联立为二元一次方程组，用m表示出x₁、x₂的表达式，最后代入两根之积的等式求解，即可得到m的值。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2 - 3mx + 2m^2 = 0$，对应系数为$a=1$，$b=-3m$，$c=2m^2$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3m)^2 - 4×1×2m^2 = 9m^2 - 8m^2 = m^2$。
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$m^2≥0$，
∴ 该方程总有两个实数根。
(2) 解：
∵ $x_1, x_2$是方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 3m$，$x_1· x_2 = 2m^2$。
结合已知条件$2x_1 - x_2 = 3$，联立得方程组：
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 3m \\ 2x_1 - x_2 = 3\end{cases}$
两式相加消去$x_2$，得$3x_1 = 3m + 3$，解得$x_1 = m + 1$。
将$x_1 = m + 1$代入$x_1 + x_2 = 3m$，得$x_2 = 2m - 1$。
把$x_1 = m + 1$、$x_2 = 2m - 1$代入$x_1· x_2 = 2m^2$，得：
$(m+1)(2m-1) = 2m^2$
展开化简得：$2m^2 + m - 1 = 2m^2$，即$m - 1 = 0$，
解得$m = 1$。
【答案】
(1) 证明成立，方程总有两个实数根；
(2) $m=1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，既考查了根的判别式判断根的情况的方法，也考查了韦达定理结合方程求解参数的思路，解题逻辑清晰，计算量小，是巩固一元二次方程核心性质的典型习题。
【难度系数】
0.7
15.(南充白塔中学月考)关于$x$的方程$x^2 + (2k+1)x + k^2 + 2 = 0$有两个实数根$x_1,x_2$.
(1)求实数$k$的取值范围；
(2)若$x_1,x_2$满足$|x_1| + |x_2| = x_1x_2 -1$,求$k$的值.
(1)求实数$k$的取值范围；
(2)若$x_1,x_2$满足$|x_1| + |x_2| = x_1x_2 -1$,求$k$的值.
答案
解:(1)根据题意,得 $\Delta=(2k+1)^2 - 4(k^2 + 2) ≥ 0$,解得 $k ≥ \frac{7}{4}$.
(2)根据题意,得 $x_1 + x_2 = -(2k+1) ＜ 0$,$x_1 x_2 = k^2 + 2 ＞ 0$,$\therefore x_1 ＜ 0$,$x_2 ＜ 0$. $\because |x_1| + |x_2| = x_1 x_2 - 1$,$\therefore -(x_1 + x_2) = x_1 x_2 - 1$,$\therefore 2k + 1 = k^2 + 2 - 1$,整理,得 $k^2 - 2k = 0$,解得 $k_1 = 0$,$k_2 = 2$. $\because k ≥ \frac{7}{4}$,$\therefore k = 2$.
(2)根据题意,得 $x_1 + x_2 = -(2k+1) ＜ 0$,$x_1 x_2 = k^2 + 2 ＞ 0$,$\therefore x_1 ＜ 0$,$x_2 ＜ 0$. $\because |x_1| + |x_2| = x_1 x_2 - 1$,$\therefore -(x_1 + x_2) = x_1 x_2 - 1$,$\therefore 2k + 1 = k^2 + 2 - 1$,整理,得 $k^2 - 2k = 0$,解得 $k_1 = 0$,$k_2 = 2$. $\because k ≥ \frac{7}{4}$,$\therefore k = 2$.
解析
【分析】
（1）第一问已知一元二次方程有两个实数根，根据根的个数和判别式的对应关系，当$\Delta ≥ 0$时方程有两个实根，只需将方程对应系数代入判别式公式，解不等式即可求出$k$的取值范围。
（2）第二问涉及两根的绝对值运算，首先用根与系数的关系写出两根之和、两根之积的表达式，再结合第一问得到的$k$的范围判断两根的正负性，去掉绝对值符号后将原等式转化为关于$k$的方程，最后结合$k$的取值范围舍去不符合要求的解即可。
【解析】
(1) $\because$ 方程$x^2 + (2k+1)x + k^2 + 2 = 0$有两个实数根
$\therefore$ 判别式$\Delta=(2k+1)^2 - 4(k^2 + 2) ≥ 0$
展开得：$4k^2+4k+1-4k^2-8 ≥ 0$
化简得：$4k-7 ≥ 0$
解得：$k ≥ \frac{7}{4}$
(2) 根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -(2k+1)$，$x_1x_2 = k^2+2$
由(1)知$k ≥ \frac{7}{4}$，$\therefore 2k+1＞0$，则$x_1+x_2=-(2k+1)＜0$
又$\because x_1x_2 = k^2+2＞0$恒成立
$\therefore x_1＜0$，$x_2＜0$
$\therefore |x_1|+|x_2|=-x_1-x_2=-(x_1+x_2)=2k+1$
代入$|x_1| + |x_2| = x_1x_2 -1$得：
$2k+1 = k^2+2-1$
整理得$k^2-2k=0$，解得$k_1=0$，$k_2=2$
$\because k ≥ \frac{7}{4}$，$0$不符合要求舍去
$\therefore k=2$
【答案】
(1) $k ≥ \frac{7}{4}$；(2) $k=2$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，绝对值化简
【点评】
本题综合考查一元二次方程的相关性质，解题的关键是先通过判别式确定参数的取值范围，再结合根的符号去掉绝对值，最后要注意对求出的参数进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
（1）第一问已知一元二次方程有两个实数根，根据根的个数和判别式的对应关系，当$\Delta ≥ 0$时方程有两个实根，只需将方程对应系数代入判别式公式，解不等式即可求出$k$的取值范围。
（2）第二问涉及两根的绝对值运算，首先用根与系数的关系写出两根之和、两根之积的表达式，再结合第一问得到的$k$的范围判断两根的正负性，去掉绝对值符号后将原等式转化为关于$k$的方程，最后结合$k$的取值范围舍去不符合要求的解即可。
【解析】
(1) $\because$ 方程$x^2 + (2k+1)x + k^2 + 2 = 0$有两个实数根
$\therefore$ 判别式$\Delta=(2k+1)^2 - 4(k^2 + 2) ≥ 0$
展开得：$4k^2+4k+1-4k^2-8 ≥ 0$
化简得：$4k-7 ≥ 0$
解得：$k ≥ \frac{7}{4}$
(2) 根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -(2k+1)$，$x_1x_2 = k^2+2$
由(1)知$k ≥ \frac{7}{4}$，$\therefore 2k+1＞0$，则$x_1+x_2=-(2k+1)＜0$
又$\because x_1x_2 = k^2+2＞0$恒成立
$\therefore x_1＜0$，$x_2＜0$
$\therefore |x_1|+|x_2|=-x_1-x_2=-(x_1+x_2)=2k+1$
代入$|x_1| + |x_2| = x_1x_2 -1$得：
$2k+1 = k^2+2-1$
整理得$k^2-2k=0$，解得$k_1=0$，$k_2=2$
$\because k ≥ \frac{7}{4}$，$0$不符合要求舍去
$\therefore k=2$
【答案】
(1) $k ≥ \frac{7}{4}$；(2) $k=2$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，绝对值化简
【点评】
本题综合考查一元二次方程的相关性质，解题的关键是先通过判别式确定参数的取值范围，再结合根的符号去掉绝对值，最后要注意对求出的参数进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
16.已知实数$m,n$满足条件$m^2 -7m +2=0$，$n^2 -7n +2=0$，则$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值是（
A.$\frac{45}{2}$
B.$\frac{15}{2}$
C.$\frac{15}{2}$或2
D.$\frac{45}{2}$或2
D
）A.$\frac{45}{2}$
B.$\frac{15}{2}$
C.$\frac{15}{2}$或2
D.$\frac{45}{2}$或2
答案
16.D
解析
【分析】
观察已知条件可知，m和n满足结构完全相同的一元二次方程，因此需分两种情况讨论：①当m=n时，可直接代入所求代数式计算；②当m≠n时，m、n可看作一元二次方程$x^2-7x+2=0$的两个不相等的实数根，此时可利用一元二次方程根与系数的关系求出m+n与mn的值，再将所求代数式通分变形为用m+n、mn表示的形式，代入计算即可。解题时要注意分类讨论，避免遗漏m=n的情况。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$m = n$时，$\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = 1 + 1 = 2$；
2. 当$m ≠ n$时，由题意可知m、n是一元二次方程$x^2 - 7x + 2 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系可得：
$m + n = 7$，$mn = 2$。
对所求代数式变形：
$\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{n^2 + m^2}{mn} = \frac{(m + n)^2 - 2mn}{mn}$
代入$m+n=7$，$mn=2$得：
原式$=\frac{7^2 - 2×2}{2} = \frac{49 - 4}{2} = \frac{45}{2}$。
综上，$\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$的值为$2$或$\frac{45}{2}$。
【答案】D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；代数式化简求值；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易忽略$m=n$的情况，只利用韦达定理计算得到$\frac{45}{2}$从而漏解，解题时要注意对两个变量的关系进行全面讨论，熟练掌握代数式的恒等变形是解决本题的关键。
【难度系数】
0.6
观察已知条件可知，m和n满足结构完全相同的一元二次方程，因此需分两种情况讨论：①当m=n时，可直接代入所求代数式计算；②当m≠n时，m、n可看作一元二次方程$x^2-7x+2=0$的两个不相等的实数根，此时可利用一元二次方程根与系数的关系求出m+n与mn的值，再将所求代数式通分变形为用m+n、mn表示的形式，代入计算即可。解题时要注意分类讨论，避免遗漏m=n的情况。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$m = n$时，$\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = 1 + 1 = 2$；
2. 当$m ≠ n$时，由题意可知m、n是一元二次方程$x^2 - 7x + 2 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系可得：
$m + n = 7$，$mn = 2$。
对所求代数式变形：
$\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{n^2 + m^2}{mn} = \frac{(m + n)^2 - 2mn}{mn}$
代入$m+n=7$，$mn=2$得：
原式$=\frac{7^2 - 2×2}{2} = \frac{49 - 4}{2} = \frac{45}{2}$。
综上，$\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$的值为$2$或$\frac{45}{2}$。
【答案】D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；代数式化简求值；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易忽略$m=n$的情况，只利用韦达定理计算得到$\frac{45}{2}$从而漏解，解题时要注意对两个变量的关系进行全面讨论，熟练掌握代数式的恒等变形是解决本题的关键。
【难度系数】
0.6
