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8 如图,在△ABC中,CA=CB=4,∠BAC=α,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转2α,得到△AB'C',连接B'C并延长,交AB于点D.当B'D⊥AB时,$\overset{\frown}{BB'}$的长是 (
A.$\frac{2}{3}\sqrt{3}π$
B.$\frac{4}{3}\sqrt{3}π$
C.$\frac{8}{9}\sqrt{3}π$
D.$\frac{10}{9}\sqrt{3}π$
（第8题）
B
)A.$\frac{2}{3}\sqrt{3}π$
B.$\frac{4}{3}\sqrt{3}π$
C.$\frac{8}{9}\sqrt{3}π$
D.$\frac{10}{9}\sqrt{3}π$
（第8题）答案
8. B
解析
【分析】
首先由CA=CB可判定△ABC为等腰三角形，结合B'D⊥AB，利用等腰三角形三线合一的性质可得AD是AB的一半；再根据旋转的性质可知AB'=AB，旋转角为∠BAB'=2α，由此可得AD是AB'的一半，在Rt△ADB'中可推出∠BAB'=60°，即2α=60°，α=30°；接下来解Rt△ACD求出AD的长度，进一步得到AB的长度，也就是弧$\overset{\frown}{BB'}$的半径；最后代入弧长公式即可求出弧长。
【解析】
1. 推导角度关系：
∵ $CA=CB$，$CD⊥ AB$，
∴ $AD=BD=\frac{1}{2}AB$，$∠ B=∠ BAC=α$。
∵ $△ ABC$绕点A逆时针旋转$2α$得到$△ AB'C'$，
∴ $AB'=AB$，旋转角$∠ B'AB=2α$。
∵ $B'D⊥ AB$，即$∠ ADB'=90°$，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AB'$，
∴ 在$Rt△ ADB'$中，直角边AD等于斜边$AB'$的一半，$∠ AB'D=30°$，
∴ $∠ B'AD=2α=90°-30°=60°$，即$α=30°$。
2. 求半径$AB$的长度：
在$Rt△ ACD$中，$AC=4$，$∠ CAD=30°$，
∴ $AD=AC·\cos30°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
∴ $AB=2AD=4\sqrt{3}$。
3. 计算弧长：
弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$，其中圆心角$n=60°$，半径$R=AB=4\sqrt{3}$，
代入得：$\overset{\frown}{BB'}=\frac{60×π×4\sqrt{3}}{180}=\frac{4\sqrt{3}}{3}π$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，弧长计算
【点评】
本题将等腰三角形、旋转、弧长计算结合考查，解题的关键是利用直角三角形的边角关系求出旋转角和旋转半径，再代入弧长公式求解，是几何综合类的常见题型。
【难度系数】
0.6
首先由CA=CB可判定△ABC为等腰三角形，结合B'D⊥AB，利用等腰三角形三线合一的性质可得AD是AB的一半；再根据旋转的性质可知AB'=AB，旋转角为∠BAB'=2α，由此可得AD是AB'的一半，在Rt△ADB'中可推出∠BAB'=60°，即2α=60°，α=30°；接下来解Rt△ACD求出AD的长度，进一步得到AB的长度，也就是弧$\overset{\frown}{BB'}$的半径；最后代入弧长公式即可求出弧长。
【解析】
1. 推导角度关系：
∵ $CA=CB$，$CD⊥ AB$，
∴ $AD=BD=\frac{1}{2}AB$，$∠ B=∠ BAC=α$。
∵ $△ ABC$绕点A逆时针旋转$2α$得到$△ AB'C'$，
∴ $AB'=AB$，旋转角$∠ B'AB=2α$。
∵ $B'D⊥ AB$，即$∠ ADB'=90°$，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AB'$，
∴ 在$Rt△ ADB'$中，直角边AD等于斜边$AB'$的一半，$∠ AB'D=30°$，
∴ $∠ B'AD=2α=90°-30°=60°$，即$α=30°$。
2. 求半径$AB$的长度：
在$Rt△ ACD$中，$AC=4$，$∠ CAD=30°$，
∴ $AD=AC·\cos30°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
∴ $AB=2AD=4\sqrt{3}$。
3. 计算弧长：
弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$，其中圆心角$n=60°$，半径$R=AB=4\sqrt{3}$，
代入得：$\overset{\frown}{BB'}=\frac{60×π×4\sqrt{3}}{180}=\frac{4\sqrt{3}}{3}π$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，弧长计算
【点评】
本题将等腰三角形、旋转、弧长计算结合考查，解题的关键是利用直角三角形的边角关系求出旋转角和旋转半径，再代入弧长公式求解，是几何综合类的常见题型。
【难度系数】
0.6
9 如图，矩形ABCD内接于$\odot O$，分别以AB，BC，CD，AD为直径向外作半圆。若$AB=4$，$BC=5$，则涂色部分的面积是（
A.$\frac{41}{4}π -20$
B.$\frac{41}{2}π -20$
C.$20π$
D.$20$
D
）A.$\frac{41}{4}π -20$
B.$\frac{41}{2}π -20$
C.$20π$
D.$20$
答案
9. D
解析
【分析】
本题是不规则图形面积计算问题，采用割补法转化为规则图形面积的和差求解即可。首先观察图形特征，涂色部分可看作4个以矩形边长为直径的小半圆的面积之和，减去大圆（矩形外接圆）与矩形的面积差，结合勾股定理计算各规则图形的面积后化简就能得到结果。
【解析】
第一步：计算4个小半圆的总面积
以$AB=4$为直径的半圆半径$r_1=\frac{4}{2}=2$，单个半圆面积为$\frac{1}{2}π r_1^2=\frac{1}{2}π×2^2=2π$，AB、CD对应的2个半圆总面积为$2×2π=4π$；
以$BC=5$为直径的半圆半径$r_2=\frac{5}{2}$，单个半圆面积为$\frac{1}{2}π r_2^2=\frac{1}{2}π×(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{8}π$，BC、AD对应的2个半圆总面积为$2×\frac{25}{8}π=\frac{25}{4}π$；
因此4个小半圆总面积$S_{小总}=4π+\frac{25}{4}π=\frac{41}{4}π$。
第二步：计算矩形外接圆$\odot O$的面积
矩形外接圆的直径为矩形的对角线，由勾股定理得对角线长$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}$，故外接圆半径$R=\frac{\sqrt{41}}{2}$，
外接圆面积$S_{大圆}=π R^2=π×(\frac{\sqrt{41}}{2})^2=\frac{41}{4}π$。
第三步：计算涂色部分面积
观察图形可得：涂色部分面积 = 4个小半圆总面积 - （大圆面积 - 矩形面积）
矩形面积$S_{矩形}=AB× BC=4×5=20$，
代入数值计算：$S_{涂色}=\frac{41}{4}π - (\frac{41}{4}π -20)=20$。
【答案】
D
【知识点】
割补法求面积；圆的面积计算；勾股定理
【点评】
本题的解题关键是发现4个小半圆的面积和等于外接圆的面积，通过割补法将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差，简化了计算过程，体现了转化思想在几何面积计算中的应用。
【难度系数】
0.65
本题是不规则图形面积计算问题，采用割补法转化为规则图形面积的和差求解即可。首先观察图形特征，涂色部分可看作4个以矩形边长为直径的小半圆的面积之和，减去大圆（矩形外接圆）与矩形的面积差，结合勾股定理计算各规则图形的面积后化简就能得到结果。
【解析】
第一步：计算4个小半圆的总面积
以$AB=4$为直径的半圆半径$r_1=\frac{4}{2}=2$，单个半圆面积为$\frac{1}{2}π r_1^2=\frac{1}{2}π×2^2=2π$，AB、CD对应的2个半圆总面积为$2×2π=4π$；
以$BC=5$为直径的半圆半径$r_2=\frac{5}{2}$，单个半圆面积为$\frac{1}{2}π r_2^2=\frac{1}{2}π×(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{8}π$，BC、AD对应的2个半圆总面积为$2×\frac{25}{8}π=\frac{25}{4}π$；
因此4个小半圆总面积$S_{小总}=4π+\frac{25}{4}π=\frac{41}{4}π$。
第二步：计算矩形外接圆$\odot O$的面积
矩形外接圆的直径为矩形的对角线，由勾股定理得对角线长$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}$，故外接圆半径$R=\frac{\sqrt{41}}{2}$，
外接圆面积$S_{大圆}=π R^2=π×(\frac{\sqrt{41}}{2})^2=\frac{41}{4}π$。
第三步：计算涂色部分面积
观察图形可得：涂色部分面积 = 4个小半圆总面积 - （大圆面积 - 矩形面积）
矩形面积$S_{矩形}=AB× BC=4×5=20$，
代入数值计算：$S_{涂色}=\frac{41}{4}π - (\frac{41}{4}π -20)=20$。
【答案】
D
【知识点】
割补法求面积；圆的面积计算；勾股定理
【点评】
本题的解题关键是发现4个小半圆的面积和等于外接圆的面积，通过割补法将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差，简化了计算过程，体现了转化思想在几何面积计算中的应用。
【难度系数】
0.65
10 [2025 山西]如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°,AB=AC$,分别以点$B,C$为圆心、$BC$的长为半径画弧,与$BA,CA$的延长线分别交于点$D,E$.若$BC=4$,则图中涂色部分的面积为（
A.$2π -4$
B.$4π -4$
C.$8π -8$
D.$4π -8$
D
）A.$2π -4$
B.$4π -4$
C.$8π -8$
D.$4π -8$
答案
10. D
解析
【分析】
解决本题的核心是将不规则的阴影面积转化为规则图形面积的和差：首先根据等腰直角三角形的性质求出底角∠B、∠C的度数和△ABC的面积；再明确阴影部分是两个圆心角为45°、半径为4的扇形的面积之和减去两个△ABC的面积，代入公式计算即可。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵BC=4，
由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2=16$，又$AB=AC$，
∴$AB^2=8$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}AB^2=4$。
已知扇形的圆心角为45°，半径$r=BC=4$，
则单个扇形的面积为：$S_{\mathrm{扇}}=\frac{45°}{360°}×π×r^2=\frac{1}{8}×π×4^2=2π$，
两个扇形的面积之和为：$2×2π=4π$。
观察图形可得：阴影部分面积=两个扇形面积之和 - 2个△ABC的面积，
代入数值计算得：$S_{\mathrm{阴影}}=4π - 2×4=4π -8$。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算；等腰直角三角形的性质；割补法求不规则图形面积
【点评】
本题属于不规则面积计算的常见题型，解题的关键是通过割补转化，把未知的不规则面积转化为已知的扇形、三角形等规则图形的面积和差，计算时要注意扇形圆心角和半径的对应关系。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是将不规则的阴影面积转化为规则图形面积的和差：首先根据等腰直角三角形的性质求出底角∠B、∠C的度数和△ABC的面积；再明确阴影部分是两个圆心角为45°、半径为4的扇形的面积之和减去两个△ABC的面积，代入公式计算即可。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵BC=4，
由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2=16$，又$AB=AC$，
∴$AB^2=8$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}AB^2=4$。
已知扇形的圆心角为45°，半径$r=BC=4$，
则单个扇形的面积为：$S_{\mathrm{扇}}=\frac{45°}{360°}×π×r^2=\frac{1}{8}×π×4^2=2π$，
两个扇形的面积之和为：$2×2π=4π$。
观察图形可得：阴影部分面积=两个扇形面积之和 - 2个△ABC的面积，
代入数值计算得：$S_{\mathrm{阴影}}=4π - 2×4=4π -8$。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算；等腰直角三角形的性质；割补法求不规则图形面积
【点评】
本题属于不规则面积计算的常见题型，解题的关键是通过割补转化，把未知的不规则面积转化为已知的扇形、三角形等规则图形的面积和差，计算时要注意扇形圆心角和半径的对应关系。
【难度系数】
0.7
11 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC = 6\ \mathrm{cm}$，$∠ BAC=50°$，以$AB$为直径作半圆$O$，交$BC$于点$D$，交$AC$于点$E$，则$\overset{\frown}{DE}$的长为
$\frac{5}{6}π$
cm.答案
11. $\frac{5}{6}π$
解析
【分析】
要求弧$\overset{\frown}{DE}$的长，需先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$n$是弧所对的圆心角的度数，$r$是圆的半径。首先由$AB$是直径可得半径$r=3\mathrm{cm}$，接下来需要求$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角$∠ DOE$的度数：连接辅助线$OE$、$OD$，利用等腰三角形的性质，分别求出$∠ AOE$和$∠ BOD$的度数，再根据平角为$180°$即可算出$∠ DOE$的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：连接$OE$、$OD$。
$\because AB$为半圆$O$的直径，$AB=6\mathrm{cm}$，
$\therefore$ 半圆$O$的半径$r=OA=OB=OE=OD=3\mathrm{cm}$。
$\because AB=AC$，$∠ BAC=50°$，
$\therefore ∠ B=∠ C=\frac{180°-50°}{2}=65°$。
$\because OB=OD$，$\therefore ∠ ODB=∠ B=65°$，
$\therefore ∠ BOD=180°-∠ B-∠ ODB=180°-65°-65°=50°$。
$\because OA=OE$，$\therefore ∠ OEA=∠ OAE=50°$，
$\therefore ∠ AOE=180°-∠ OAE-∠ OEA=180°-50°-50°=80°$。
$\therefore ∠ DOE=180°-∠ AOE-∠ BOD=180°-80°-50°=50°$。
代入弧长公式得$\overset{\frown}{DE}$的长为：
$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{50π×3}{180}=\frac{5}{6}π(\mathrm{cm})$。
【答案】
$\frac{5}{6}π$
【知识点】
弧长公式，等腰三角形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题属于弧长计算的常规题型，解题的关键是正确作出辅助线，结合等腰三角形的性质求出对应弧的圆心角度数，计算过程难度不大，需要注意角度计算不要出错。
【难度系数】
0.6
要求弧$\overset{\frown}{DE}$的长，需先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$n$是弧所对的圆心角的度数，$r$是圆的半径。首先由$AB$是直径可得半径$r=3\mathrm{cm}$，接下来需要求$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角$∠ DOE$的度数：连接辅助线$OE$、$OD$，利用等腰三角形的性质，分别求出$∠ AOE$和$∠ BOD$的度数，再根据平角为$180°$即可算出$∠ DOE$的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：连接$OE$、$OD$。
$\because AB$为半圆$O$的直径，$AB=6\mathrm{cm}$，
$\therefore$ 半圆$O$的半径$r=OA=OB=OE=OD=3\mathrm{cm}$。
$\because AB=AC$，$∠ BAC=50°$，
$\therefore ∠ B=∠ C=\frac{180°-50°}{2}=65°$。
$\because OB=OD$，$\therefore ∠ ODB=∠ B=65°$，
$\therefore ∠ BOD=180°-∠ B-∠ ODB=180°-65°-65°=50°$。
$\because OA=OE$，$\therefore ∠ OEA=∠ OAE=50°$，
$\therefore ∠ AOE=180°-∠ OAE-∠ OEA=180°-50°-50°=80°$。
$\therefore ∠ DOE=180°-∠ AOE-∠ BOD=180°-80°-50°=50°$。
代入弧长公式得$\overset{\frown}{DE}$的长为：
$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{50π×3}{180}=\frac{5}{6}π(\mathrm{cm})$。
【答案】
$\frac{5}{6}π$
【知识点】
弧长公式，等腰三角形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题属于弧长计算的常规题型，解题的关键是正确作出辅助线，结合等腰三角形的性质求出对应弧的圆心角度数，计算过程难度不大，需要注意角度计算不要出错。
【难度系数】
0.6
12 [2024 西宁]如图，在$△ ABC$中，$∠ A=70°$，$BC=12$，$D$是$BC$的中点，分别以点$B$，$C$为圆心，$BD$长为半径作弧，交$AB$于点$E$，交$AC$于点$F$，则图中阴影部分的面积是
$11π$
。答案
12. $11π$
解析
【分析】
解题时先观察阴影部分的构成：阴影是两个分别以B、C为圆心，BD长为半径的扇形。第一步先确定扇形半径：D是BC中点，BC=12，可直接算出BD=CD=6，即两个扇形半径均为6。第二步确定两个扇形的圆心角之和：根据三角形内角和为180°，已知∠A=70°，可得∠B+∠C=110°，即两个扇形的圆心角相加为110°。第三步将两个扇形面积合并计算，代入扇形面积公式即可求出阴影总面积。
【解析】
解：
∵D是BC的中点，BC=12，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=6，即两个扇形的半径$r=6$。
在△ABC中，∠A=70°，
∴∠B+∠C=180°-∠A=180°-70°=110°，即两个扇形的圆心角之和为110°。
∴阴影部分的面积为两个扇形的面积和：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{110°}{360°} × π × r^2 = \frac{11}{36} × π × 6^2 = \frac{11}{36} × π × 36 = 11π$
【答案】
$11π$
【知识点】
三角形内角和定理，扇形面积计算，线段中点的定义
【点评】
本题解题的核心是利用整体思想，将两个独立的扇形面积转化为圆心角和为110°的单个扇形面积计算，避免了分别求两个扇形面积的繁琐过程，解题时要注意扇形面积公式的正确应用。
【难度系数】
0.7
解题时先观察阴影部分的构成：阴影是两个分别以B、C为圆心，BD长为半径的扇形。第一步先确定扇形半径：D是BC中点，BC=12，可直接算出BD=CD=6，即两个扇形半径均为6。第二步确定两个扇形的圆心角之和：根据三角形内角和为180°，已知∠A=70°，可得∠B+∠C=110°，即两个扇形的圆心角相加为110°。第三步将两个扇形面积合并计算，代入扇形面积公式即可求出阴影总面积。
【解析】
解：
∵D是BC的中点，BC=12，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=6，即两个扇形的半径$r=6$。
在△ABC中，∠A=70°，
∴∠B+∠C=180°-∠A=180°-70°=110°，即两个扇形的圆心角之和为110°。
∴阴影部分的面积为两个扇形的面积和：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{110°}{360°} × π × r^2 = \frac{11}{36} × π × 6^2 = \frac{11}{36} × π × 36 = 11π$
【答案】
$11π$
【知识点】
三角形内角和定理，扇形面积计算，线段中点的定义
【点评】
本题解题的核心是利用整体思想，将两个独立的扇形面积转化为圆心角和为110°的单个扇形面积计算，避免了分别求两个扇形面积的繁琐过程，解题时要注意扇形面积公式的正确应用。
【难度系数】
0.7
13 如图，将$△ ABC$绕点$B$顺时针旋转$60°$得到$△ DBE$，点$C$的对应点$E$恰好落在$AB$的延长线上，连接$AD$。
（1）求证：$BC// AD$；
（2）若$AB=4$，$BC=1$，求$A$，$C$两点旋转所经过的路径长之和。
（1）求证：$BC// AD$；
（2）若$AB=4$，$BC=1$，求$A$，$C$两点旋转所经过的路径长之和。
答案
13. (1) 由题意知,$AB = DB$,且 $∠ ABD = ∠ CBE = 60°$,$\therefore △ ABD$ 是等边三角形. $\therefore ∠ DAB = 60°$. $\therefore ∠ CBE = ∠ DAB$. $\therefore BC// AD$
(2) 由题意,得 $BA=BD=4$,$BC=BE=1$,$∠ ABD=∠ CBE=60°$,$\therefore A,C$ 两点旋转所经过的路径长之和$=\frac{60· π · 4}{180}+\frac{60· π · 1}{180}=\frac{5π}{3}$
(2) 由题意,得 $BA=BD=4$,$BC=BE=1$,$∠ ABD=∠ CBE=60°$,$\therefore A,C$ 两点旋转所经过的路径长之和$=\frac{60· π · 4}{180}+\frac{60· π · 1}{180}=\frac{5π}{3}$
解析
【分析】
（1）要证明$BC// AD$，可通过证明同位角相等实现。首先根据旋转的性质，可得$AB=DB$，旋转角$∠ ABD=∠ CBE=60°$，由此可判定$△ ABD$是等边三角形，得到$∠ DAB=60°$，进而可得$∠ CBE=∠ DAB$，根据同位角相等两直线平行即可得证。
（2）求$A$、$C$两点旋转所经过的路径长之和，首先明确旋转过程中点的运动路径是圆弧：点$A$的路径是以$B$为圆心、$AB$长为半径、圆心角为$60°$的弧，点$C$的路径是以$B$为圆心、$BC$长为半径、圆心角为$60°$的弧，分别根据弧长公式计算两段弧长再相加即可。
【解析】
（1）证明：由旋转的性质可知，$AB = DB$，旋转角$∠ ABD = ∠ CBE = 60°$，
$\therefore △ ABD$是有一个角为$60°$的等腰三角形，即$△ ABD$是等边三角形，
$\therefore ∠ DAB = 60°$，
$\therefore ∠ CBE = ∠ DAB = 60°$，
根据同位角相等，两直线平行，可得$BC// AD$。
（2）解：由旋转的性质可得：$BA=BD=4$，$BC=BE=1$，点$A$、$C$的旋转角均为$60°$，
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），
点$A$经过的路径长为：$\frac{60· π · 4}{180}$，
点$C$经过的路径长为：$\frac{60· π · 1}{180}$，
$\therefore$路径长之和$=\frac{60· π · 4}{180}+\frac{60· π · 1}{180}=\frac{5π}{3}$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\frac{5π}{3}$
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；弧长计算
【点评】
本题为几何基础综合题，结合了旋转性质、平行线判定、弧长计算多个考点，解题的核心是抓住旋转前后对应边相等、旋转角相等的性质，正确识别动点的运动路径，熟练运用弧长公式即可求解。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$BC// AD$，可通过证明同位角相等实现。首先根据旋转的性质，可得$AB=DB$，旋转角$∠ ABD=∠ CBE=60°$，由此可判定$△ ABD$是等边三角形，得到$∠ DAB=60°$，进而可得$∠ CBE=∠ DAB$，根据同位角相等两直线平行即可得证。
（2）求$A$、$C$两点旋转所经过的路径长之和，首先明确旋转过程中点的运动路径是圆弧：点$A$的路径是以$B$为圆心、$AB$长为半径、圆心角为$60°$的弧，点$C$的路径是以$B$为圆心、$BC$长为半径、圆心角为$60°$的弧，分别根据弧长公式计算两段弧长再相加即可。
【解析】
（1）证明：由旋转的性质可知，$AB = DB$，旋转角$∠ ABD = ∠ CBE = 60°$，
$\therefore △ ABD$是有一个角为$60°$的等腰三角形，即$△ ABD$是等边三角形，
$\therefore ∠ DAB = 60°$，
$\therefore ∠ CBE = ∠ DAB = 60°$，
根据同位角相等，两直线平行，可得$BC// AD$。
（2）解：由旋转的性质可得：$BA=BD=4$，$BC=BE=1$，点$A$、$C$的旋转角均为$60°$，
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），
点$A$经过的路径长为：$\frac{60· π · 4}{180}$，
点$C$经过的路径长为：$\frac{60· π · 1}{180}$，
$\therefore$路径长之和$=\frac{60· π · 4}{180}+\frac{60· π · 1}{180}=\frac{5π}{3}$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\frac{5π}{3}$
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；弧长计算
【点评】
本题为几何基础综合题，结合了旋转性质、平行线判定、弧长计算多个考点，解题的核心是抓住旋转前后对应边相等、旋转角相等的性质，正确识别动点的运动路径，熟练运用弧长公式即可求解。
【难度系数】
0.7
14 如图,在扇形 OAB 中,$∠ AOB = 90°$,半径$OA = 6$.将扇形 OAB 沿过点 B 的直线折叠,使点 O 恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点 D 处,折痕交 OA 于点 C,求整个阴影部分的周长和面积.
答案
14. 连接 $OD$. 根据折叠的性质,得 $S_{△ BDC}=S_{△ BOC}$,$CD=OC$,$BD=BO$,$∠ DBC=∠ OBC$. $\therefore OB=OD=BD$. $\therefore △ OBD$ 是等边三角形. $\therefore ∠ DBO = 60°$. $\therefore ∠ OBC = \frac{1}{2}∠ DBO = 30°$.
$\because ∠ AOB=90°$,$\therefore BC=2OC$. 由勾股定理,得 $OC^2 + OB^2 = BC^2$. $\therefore OC^2 + 6^2 = 4OC^2$, 解得 $OC = 2\sqrt{3}$ (负值舍去).
$\therefore S_{△ BDC}=S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB · OC=\frac{1}{2}× 6 × 2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$,
$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{90π× 6^2}{360}=9π$,$\overset{\frown}{AB}$ 的长为 $\frac{90π× 6}{180}=3π$. $\therefore$ 整个阴影部分的周长为 $AC + CD + BD + \overset{\frown}{AB} = AC + OC + BO + \overset{\frown}{AB} = OA + OB + \overset{\frown}{AB} =6+6+3π=12+3π$,整个阴影部分的面积为 $S_{\mathrm{扇形}OAB}-S_{△ BDC}-S_{△ BOC}=9π-6\sqrt{3}-6\sqrt{3}=9π-12\sqrt{3}$
$\because ∠ AOB=90°$,$\therefore BC=2OC$. 由勾股定理,得 $OC^2 + OB^2 = BC^2$. $\therefore OC^2 + 6^2 = 4OC^2$, 解得 $OC = 2\sqrt{3}$ (负值舍去).
$\therefore S_{△ BDC}=S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB · OC=\frac{1}{2}× 6 × 2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$,
$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{90π× 6^2}{360}=9π$,$\overset{\frown}{AB}$ 的长为 $\frac{90π× 6}{180}=3π$. $\therefore$ 整个阴影部分的周长为 $AC + CD + BD + \overset{\frown}{AB} = AC + OC + BO + \overset{\frown}{AB} = OA + OB + \overset{\frown}{AB} =6+6+3π=12+3π$,整个阴影部分的面积为 $S_{\mathrm{扇形}OAB}-S_{△ BDC}-S_{△ BOC}=9π-6\sqrt{3}-6\sqrt{3}=9π-12\sqrt{3}$
解析
【分析】
要求阴影部分的周长和面积，可借助折叠的性质转化未知量：①计算周长时，观察阴影部分的边由AC、CD、BD和$\overset{\frown}{AB}$组成，根据折叠性质可得CD=OC、BD=OB，可将周长转化为OA+OB+$\overset{\frown}{AB}$，只需先算出$\overset{\frown}{AB}$的长度即可。②计算面积时，阴影部分面积可转化为扇形OAB的面积减去$△ BDC$和$△ BOC$的面积，而折叠后$S_{△ BDC}=S_{△ BOC}$，因此只需计算$△ BOC$的面积。接下来连接OD，由OB=OD=BD可判定$△ OBD$是等边三角形，得到$∠OBC=30°$，再结合直角三角形的性质和勾股定理求出OC的长度，即可算出$△ BOC$的面积，最终求得结果。
【解析】
解：连接$OD$。
根据折叠的性质，得 $S_{△ BDC}=S_{△ BOC}$，$CD=OC$，$BD=BO$，$∠ DBC=∠ OBC$。
∵$OB$和$OD$都是扇形$OAB$的半径，
∴$OB=OD$，
∴$OB=OD=BD$，
∴$△ OBD$是等边三角形，
∴$∠DBO=60°$，
∴$∠OBC=\frac{1}{2}∠DBO=30°$。
∵$∠AOB=90°$，
∴在$Rt△ BOC$中，$BC=2OC$。
由勾股定理，得$OC^2 + OB^2 = BC^2$，
将$OB=6$，$BC=2OC$代入，得$OC^2 + 6^2 = (2OC)^2$，
解得$OC = 2\sqrt{3}$（负值舍去）。
∴$S_{△ BDC}=S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB · OC=\frac{1}{2}× 6 × 2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$，
$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{90π× 6^2}{360}=9π$，
$\overset{\frown}{AB}$ 的长为 $\frac{90π× 6}{180}=3π$。
∴整个阴影部分的周长为 $AC + CD + BD + \overset{\frown}{AB} = AC + OC + BO + \overset{\frown}{AB} = OA + OB + \overset{\frown}{AB} =6+6+3π=12+3π$，
整个阴影部分的面积为 $S_{\mathrm{扇形}OAB}-S_{△ BDC}-S_{△ BOC}=9π-6\sqrt{3}-6\sqrt{3}=9π-12\sqrt{3}$。
【答案】
阴影部分的周长为$12+3π$，面积为$9π-12\sqrt{3}$
【知识点】
1.折叠的性质
2.扇形的弧长与面积计算
3.等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，解题核心是利用折叠的性质实现边和面积的等量转化，通过连接辅助线OD构造等边三角形得到特殊角度，结合直角三角形的性质求出相关线段长度，将不规则图形的周长、面积转化为规则图形的和差计算即可。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的周长和面积，可借助折叠的性质转化未知量：①计算周长时，观察阴影部分的边由AC、CD、BD和$\overset{\frown}{AB}$组成，根据折叠性质可得CD=OC、BD=OB，可将周长转化为OA+OB+$\overset{\frown}{AB}$，只需先算出$\overset{\frown}{AB}$的长度即可。②计算面积时，阴影部分面积可转化为扇形OAB的面积减去$△ BDC$和$△ BOC$的面积，而折叠后$S_{△ BDC}=S_{△ BOC}$，因此只需计算$△ BOC$的面积。接下来连接OD，由OB=OD=BD可判定$△ OBD$是等边三角形，得到$∠OBC=30°$，再结合直角三角形的性质和勾股定理求出OC的长度，即可算出$△ BOC$的面积，最终求得结果。
【解析】
解：连接$OD$。
根据折叠的性质，得 $S_{△ BDC}=S_{△ BOC}$，$CD=OC$，$BD=BO$，$∠ DBC=∠ OBC$。
∵$OB$和$OD$都是扇形$OAB$的半径，
∴$OB=OD$，
∴$OB=OD=BD$，
∴$△ OBD$是等边三角形，
∴$∠DBO=60°$，
∴$∠OBC=\frac{1}{2}∠DBO=30°$。
∵$∠AOB=90°$，
∴在$Rt△ BOC$中，$BC=2OC$。
由勾股定理，得$OC^2 + OB^2 = BC^2$，
将$OB=6$，$BC=2OC$代入，得$OC^2 + 6^2 = (2OC)^2$，
解得$OC = 2\sqrt{3}$（负值舍去）。
∴$S_{△ BDC}=S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB · OC=\frac{1}{2}× 6 × 2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$，
$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{90π× 6^2}{360}=9π$，
$\overset{\frown}{AB}$ 的长为 $\frac{90π× 6}{180}=3π$。
∴整个阴影部分的周长为 $AC + CD + BD + \overset{\frown}{AB} = AC + OC + BO + \overset{\frown}{AB} = OA + OB + \overset{\frown}{AB} =6+6+3π=12+3π$，
整个阴影部分的面积为 $S_{\mathrm{扇形}OAB}-S_{△ BDC}-S_{△ BOC}=9π-6\sqrt{3}-6\sqrt{3}=9π-12\sqrt{3}$。
【答案】
阴影部分的周长为$12+3π$，面积为$9π-12\sqrt{3}$
【知识点】
1.折叠的性质
2.扇形的弧长与面积计算
3.等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，解题核心是利用折叠的性质实现边和面积的等量转化，通过连接辅助线OD构造等边三角形得到特殊角度，结合直角三角形的性质求出相关线段长度，将不规则图形的周长、面积转化为规则图形的和差计算即可。
【难度系数】
0.6
