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8 如图,在△ABC中,CA=CB=4,∠BAC=α,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转2α,得到△AB'C',连接B'C并延长,交AB于点D.当B'D⊥AB时,$\overset{\frown}{BB'}$的长是 (
A.$\frac{2}{3}\sqrt{3}π$
B.$\frac{4}{3}\sqrt{3}π$
C.$\frac{8}{9}\sqrt{3}π$
D.$\frac{10}{9}\sqrt{3}π$
（第8题）
B
)A.$\frac{2}{3}\sqrt{3}π$
B.$\frac{4}{3}\sqrt{3}π$
C.$\frac{8}{9}\sqrt{3}π$
D.$\frac{10}{9}\sqrt{3}π$
（第8题）答案
8. B
9 如图，矩形ABCD内接于$\odot O$，分别以AB，BC，CD，AD为直径向外作半圆。若$AB=4$，$BC=5$，则涂色部分的面积是（
A.$\frac{41}{4}π -20$
B.$\frac{41}{2}π -20$
C.$20π$
D.$20$
D
）A.$\frac{41}{4}π -20$
B.$\frac{41}{2}π -20$
C.$20π$
D.$20$
答案
9. D
10 [2025 山西]如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°,AB=AC$,分别以点$B,C$为圆心、$BC$的长为半径画弧,与$BA,CA$的延长线分别交于点$D,E$.若$BC=4$,则图中涂色部分的面积为（
A.$2π -4$
B.$4π -4$
C.$8π -8$
D.$4π -8$
D
）A.$2π -4$
B.$4π -4$
C.$8π -8$
D.$4π -8$
答案
10. D
11 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC = 6\ \mathrm{cm}$，$∠ BAC=50°$，以$AB$为直径作半圆$O$，交$BC$于点$D$，交$AC$于点$E$，则$\overset{\frown}{DE}$的长为
$\frac{5}{6}π$
cm.答案
11. $\frac{5}{6}π$
12 [2024 西宁]如图，在$△ ABC$中，$∠ A=70°$，$BC=12$，$D$是$BC$的中点，分别以点$B$，$C$为圆心，$BD$长为半径作弧，交$AB$于点$E$，交$AC$于点$F$，则图中阴影部分的面积是
$11π$
。答案
12. $11π$
13 如图，将$△ ABC$绕点$B$顺时针旋转$60°$得到$△ DBE$，点$C$的对应点$E$恰好落在$AB$的延长线上，连接$AD$。
（1）求证：$BC// AD$；
（2）若$AB=4$，$BC=1$，求$A$，$C$两点旋转所经过的路径长之和。
（1）求证：$BC// AD$；
（2）若$AB=4$，$BC=1$，求$A$，$C$两点旋转所经过的路径长之和。
答案
13. (1) 由题意知,$AB = DB$,且 $∠ ABD = ∠ CBE = 60°$,$\therefore △ ABD$ 是等边三角形. $\therefore ∠ DAB = 60°$. $\therefore ∠ CBE = ∠ DAB$. $\therefore BC// AD$
(2) 由题意,得 $BA=BD=4$,$BC=BE=1$,$∠ ABD=∠ CBE=60°$,$\therefore A,C$ 两点旋转所经过的路径长之和$=\frac{60· π · 4}{180}+\frac{60· π · 1}{180}=\frac{5π}{3}$
(2) 由题意,得 $BA=BD=4$,$BC=BE=1$,$∠ ABD=∠ CBE=60°$,$\therefore A,C$ 两点旋转所经过的路径长之和$=\frac{60· π · 4}{180}+\frac{60· π · 1}{180}=\frac{5π}{3}$
14 如图,在扇形 OAB 中,$∠ AOB = 90°$,半径$OA = 6$.将扇形 OAB 沿过点 B 的直线折叠,使点 O 恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点 D 处,折痕交 OA 于点 C,求整个阴影部分的周长和面积.
答案
14. 连接 $OD$. 根据折叠的性质,得 $S_{△ BDC}=S_{△ BOC}$,$CD=OC$,$BD=BO$,$∠ DBC=∠ OBC$. $\therefore OB=OD=BD$. $\therefore △ OBD$ 是等边三角形. $\therefore ∠ DBO = 60°$. $\therefore ∠ OBC = \frac{1}{2}∠ DBO = 30°$.
$\because ∠ AOB=90°$,$\therefore BC=2OC$. 由勾股定理,得 $OC^2 + OB^2 = BC^2$. $\therefore OC^2 + 6^2 = 4OC^2$, 解得 $OC = 2\sqrt{3}$ (负值舍去).
$\therefore S_{△ BDC}=S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB · OC=\frac{1}{2}× 6 × 2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$,
$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{90π× 6^2}{360}=9π$,$\overset{\frown}{AB}$ 的长为 $\frac{90π× 6}{180}=3π$. $\therefore$ 整个阴影部分的周长为 $AC + CD + BD + \overset{\frown}{AB} = AC + OC + BO + \overset{\frown}{AB} = OA + OB + \overset{\frown}{AB} =6+6+3π=12+3π$,整个阴影部分的面积为 $S_{\mathrm{扇形}OAB}-S_{△ BDC}-S_{△ BOC}=9π-6\sqrt{3}-6\sqrt{3}=9π-12\sqrt{3}$
$\because ∠ AOB=90°$,$\therefore BC=2OC$. 由勾股定理,得 $OC^2 + OB^2 = BC^2$. $\therefore OC^2 + 6^2 = 4OC^2$, 解得 $OC = 2\sqrt{3}$ (负值舍去).
$\therefore S_{△ BDC}=S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB · OC=\frac{1}{2}× 6 × 2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$,
$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{90π× 6^2}{360}=9π$,$\overset{\frown}{AB}$ 的长为 $\frac{90π× 6}{180}=3π$. $\therefore$ 整个阴影部分的周长为 $AC + CD + BD + \overset{\frown}{AB} = AC + OC + BO + \overset{\frown}{AB} = OA + OB + \overset{\frown}{AB} =6+6+3π=12+3π$,整个阴影部分的面积为 $S_{\mathrm{扇形}OAB}-S_{△ BDC}-S_{△ BOC}=9π-6\sqrt{3}-6\sqrt{3}=9π-12\sqrt{3}$
