15.观察下列式子：
$1×3×5×7+16=11^2$，
$2×4×6×8+16=20^2$，
$3×5×7×9+16=31^2$，
…
(1)根据你发现的规律写出接下来的一个等式：；
(2)你能用含自然数$n$的代数式写出一个一般性的等式吗？

解：
(1) $4×6×8×10+16=44^2$
(2) 对任意自然数$n$，一般性等式为：
$n(n+2)(n+4)(n+6)+16=(n^2+6n+4)^2$
验证：
左边$=[n(n+6)][(n+2)(n+4)]+16$
$=(n^2+6n)(n^2+6n+8)+16$
令$t=n^2+6n$，则左边$=t(t+8)+16=t^2+8t+16=(t+4)^2=(n^2+6n+4)^2=$右边，等式成立。

16.南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了$(a+b)^n$（此处$n=0,1,2,3,···$）的展开式的项数及各项系数的有关规律，杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1（如左侧斜边上$1,a,a^2,a^3,···$的系数均为1）组成的，而其余的系数则是等于它“肩”上的两个数之和。
$(a+b)^0=1$
$(a+b)^1=a+b$
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$
$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$
$(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6$
$···$
上图的构成规律你看懂了吗？
(1)请你研究$(a+b)^7$的展开式；
(2)杨辉三角还有另一个特征：
①从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与的积.
②由此你可写出$11^5=$.
③由第行可写出$11^8=$.

(1) $(a+b)^7=a^7+7a^6b+21a^5b^2+35a^4b^3+35a^3b^4+21a^2b^5+7ab^6+b^7$
(2) ① $11$；② $161051$；③ $9$，$214358881$

解：
(1) 根据杨辉三角“除斜边为1外，其余系数等于肩上两数之和”的规律，可得$(a+b)^7$的展开式为：
$(a+b)^7=a^7+7a^6b+21a^5b^2+35a^4b^3+35a^3b^4+21a^2b^5+7ab^6+b^7$
(2) ① 验证可得：$11=1×11$，$121=11×11$，$1331=121×11$，$14641=1331×11$，因此每一行数字组成的数都是上一行的数与$\boldsymbol{11}$的积。
② $11^5=(10+1)^5=1×10^5+5×10^4+10×10^3+10×10^2+5×10+1=161051$
③ 由规律可知第$k$行对应$(a+b)^{k-1}$的展开式系数，因此写出$11^8$对应$(a+b)^8$的系数，即第9行；
计算得$11^8=214358881$