11.已知$(x+y-4)^2 + |x+2|=0$，试求$(-4x^{3n-3}y^{2n}) · (\frac{1}{4}x^{4-3n}y^{1-2n})$的值.

解：
∵$(x+y-4)^2≥0$，$|x+2|≥0$，且$(x+y-4)^2 + |x+2|=0$
∴$\begin{cases}x+2=0\\x+y-4=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-2\\y=6\end{cases}$
先化简所求代数式：
$\begin{aligned}(-4x^{3n-3}y^{2n}) · (\frac{1}{4}x^{4-3n}y^{1-2n})&=(-4×\frac{1}{4})· x^{(3n-3)+(4-3n)}· y^{2n+(1-2n)}\\&=-1· x^1· y^1\\&=-xy\end{aligned}$
将$x=-2$，$y=6$代入$-xy$：
$-xy=-(-2)×6=12$
答：所求代数式的值为12。

12.若$n$为自然数，试说明$n(2n+1)-2n(n-1)$的值一定是3的倍数.

解：
先化简代数式：
$\begin{aligned}n(2n+1)-2n(n-1)&=2n^2 + n - 2n^2 + 2n\\&=3n\end{aligned}$
因为n是自然数，3n是3和自然数n的乘积，因此3n一定是3的倍数，即$n(2n+1)-2n(n-1)$的值一定是3的倍数。

13.已知$m^2 + n^2 -6m +10n +34=0$,求$m+n$的值.

解：
对已知等式变形，将34拆分为9+25，得：
$m^2 -6m +9 + n^2 +10n +25 = 0$
配方可得：
$(m-3)^2 + (n+5)^2 = 0$
因为平方数的非负性，$(m-3)^2≥0$，$(n+5)^2≥0$，两个非负数的和为0，则两个非负数分别为0，因此：
$m-3=0$，$n+5=0$
解得$m=3$，$n=-5$
则$m+n=3+(-5)=-2$

14.已知$2^x = 3, 2^y = 5, 2^z = 15$，求证：$x + y = z$。

证明：
∵ $2^x = 3$，$2^y = 5$，
∴ $2^{x+y} = 2^x × 2^y = 3 × 5 = 15$，
又∵ $2^z = 15$，
∴ $2^{x+y} = 2^z$，
∴ $x + y = z$。