登录
1.若$x^{m-3} · x^{n}=x^{2}$，则n等于（）
A.$m-1$
B.$m+5$
C.$4-m$
D.$5-m$
A.$m-1$
B.$m+5$
C.$4-m$
D.$5-m$
答案
D
解析
根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$x^{m-3} · x^n = x^{m-3+n}$。结合已知等式$x^{m-3} · x^n = x^2$，可知等式两边x的指数相等，即$m-3 + n = 2$，移项计算得$n=2-(m-3)=5-m$。
2.计算$(\dfrac{2}{3})^{1001} × 1.5^{1000} × (-1)^{1001}$的结果是（）
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$-\dfrac{2}{3}$
D.$-\dfrac{3}{2}$
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$-\dfrac{2}{3}$
D.$-\dfrac{3}{2}$
答案
C
解析
先将1.5化为$\frac{3}{2}$，把$(\frac{2}{3})^{1001}$变形为$(\frac{2}{3})^{1000} × \frac{2}{3}$，利用积的乘方逆运算$a^n b^n=(ab)^n$计算：
原式$= (\frac{2}{3})^{1000} × \frac{2}{3} × (\frac{3}{2})^{1000} × (-1)^{1001}$
$= (\frac{2}{3} × \frac{3}{2})^{1000} × \frac{2}{3} × (-1)$
$=1^{1000} × \frac{2}{3} × (-1)$
$= -\frac{2}{3}$
原式$= (\frac{2}{3})^{1000} × \frac{2}{3} × (\frac{3}{2})^{1000} × (-1)^{1001}$
$= (\frac{2}{3} × \frac{3}{2})^{1000} × \frac{2}{3} × (-1)$
$=1^{1000} × \frac{2}{3} × (-1)$
$= -\frac{2}{3}$
3.对于任意的整数$n$，下列能整除代数式$(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)$的整数是
（）
A.4
B.3
C.5
D.2
（）
A.4
B.3
C.5
D.2
答案
C
解析
利用平方差公式展开化简代数式：
1. 根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得：$(n+3)(n-3)=n^2-9$，$(n+2)(n-2)=n^2-4$
2. 代入原式计算：
$(n^2-9)-(n^2-4)=n^2-9-n^2+4=-5$
该代数式的值恒为-5，因此能整除它的整数是5。
1. 根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得：$(n+3)(n-3)=n^2-9$，$(n+2)(n-2)=n^2-4$
2. 代入原式计算：
$(n^2-9)-(n^2-4)=n^2-9-n^2+4=-5$
该代数式的值恒为-5，因此能整除它的整数是5。
4.已知$x+y=-5,xy=6$,则$x^2+y^2$的值是（）
A.1
B.13
C.17
D.25
A.1
B.13
C.17
D.25
答案
B
解析
根据完全平方公式变形可得：$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，将$x+y=-5$，$xy=6$代入式子，计算得$(-5)^2 - 2×6=25-12=13$。
5.若$3x(x^n + 5) = 3x^{n+1} - 7$，则$x=$
答案
解：
将等式左边利用单项式乘多项式法则展开，得
$3x^{n+1} + 15x = 3x^{n+1} -7$
两边同时减去$3x^{n+1}$，得
$15x = -7$
系数化为1，得
$x = -\frac{7}{15}$
将等式左边利用单项式乘多项式法则展开，得
$3x^{n+1} + 15x = 3x^{n+1} -7$
两边同时减去$3x^{n+1}$，得
$15x = -7$
系数化为1，得
$x = -\frac{7}{15}$
6.如果$(x+q)(x+\frac{1}{5})$的积中不含$x$项，那么$q=$。
答案
$\boldsymbol{-\dfrac{1}{5}}$
解析
解：
先展开并合并多项式：
$\begin{aligned}(x+q)(x+\frac{1}{5})&=x^2 + \frac{1}{5}x + qx + \frac{q}{5}\\&=x^2 + (q+\frac{1}{5})x + \frac{q}{5}\end{aligned}$
因为积中不含x项，所以x项的系数为0，可得：
$q + \frac{1}{5} = 0$
解得：
$q = -\frac{1}{5}$
最终
先展开并合并多项式：
$\begin{aligned}(x+q)(x+\frac{1}{5})&=x^2 + \frac{1}{5}x + qx + \frac{q}{5}\\&=x^2 + (q+\frac{1}{5})x + \frac{q}{5}\end{aligned}$
因为积中不含x项，所以x项的系数为0，可得：
$q + \frac{1}{5} = 0$
解得：
$q = -\frac{1}{5}$
最终
7.若$(x+\dfrac{1}{x})^2=9$，则$(x-\dfrac{1}{x})^2$的值为。
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
解：
由完全平方公式展开已知条件：
$(x+\dfrac{1}{x})^2 = x^2 + 2· x·\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} = 9$
移项得：
$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 9 - 2 =7$
将所求式子展开：
$(x-\dfrac{1}{x})^2 = x^2 - 2· x·\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = x^2 + \dfrac{1}{x^2} -2$
把$x^2+\dfrac{1}{x^2}=7$代入上式：
$(x-\dfrac{1}{x})^2 =7 -2 =5$
由完全平方公式展开已知条件：
$(x+\dfrac{1}{x})^2 = x^2 + 2· x·\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} = 9$
移项得：
$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 9 - 2 =7$
将所求式子展开：
$(x-\dfrac{1}{x})^2 = x^2 - 2· x·\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = x^2 + \dfrac{1}{x^2} -2$
把$x^2+\dfrac{1}{x^2}=7$代入上式：
$(x-\dfrac{1}{x})^2 =7 -2 =5$
8.若多项式$x^2 + kx + 25$是另一个多项式的平方，则$k=$。
答案
$\boldsymbol{\pm10}$
解析
解：
由完全平方公式可知：
$x^2 + kx + 25 = x^2 + kx + 5^2$
若该多项式是完全平方式，则中间项满足：
$kx = \pm 2 · x · 5 = \pm 10x$
因此 $k = \pm 10$
最终
由完全平方公式可知：
$x^2 + kx + 25 = x^2 + kx + 5^2$
若该多项式是完全平方式，则中间项满足：
$kx = \pm 2 · x · 5 = \pm 10x$
因此 $k = \pm 10$
最终
9.先化简,再求值:
$y(x+y)+(x+y)(x-y)-x^2$,其中$x=-2,y=\frac{1}{2}$.
$y(x+y)+(x+y)(x-y)-x^2$,其中$x=-2,y=\frac{1}{2}$.
答案
解：
原式 = xy + y² + x² - y² - x²
= xy
当$x=-2$，$y=\frac{1}{2}$时，
原式 = $(-2) × \frac{1}{2} = -1$
原式 = xy + y² + x² - y² - x²
= xy
当$x=-2$，$y=\frac{1}{2}$时，
原式 = $(-2) × \frac{1}{2} = -1$
10.已知$a+\frac{1}{a}=4$，求$a^2+\frac{1}{a^2}$和$a^4+\frac{1}{a^4}$的值.
答案
解：
将$a+\frac{1}{a}=4$两边同时平方，得：
$(a+\frac{1}{a})^2 = 4^2$
展开完全平方公式：
$a^2 + 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 16$
化简得：
$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 16$
计算得：
$a^2 + \frac{1}{a^2} = 16 - 2 = 14$
再将$a^2 + \frac{1}{a^2}=14$两边同时平方，得：
$(a^2 + \frac{1}{a^2})^2 = 14^2$
展开完全平方公式：
$a^4 + 2· a^2· \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^4} = 196$
化简得：
$a^4 + 2 + \frac{1}{a^4} = 196$
计算得：
$a^4 + \frac{1}{a^4} = 196 - 2 = 194$
综上，$a^2+\frac{1}{a^2}=14$，$a^4+\frac{1}{a^4}=194$。
将$a+\frac{1}{a}=4$两边同时平方，得：
$(a+\frac{1}{a})^2 = 4^2$
展开完全平方公式：
$a^2 + 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 16$
化简得：
$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 16$
计算得：
$a^2 + \frac{1}{a^2} = 16 - 2 = 14$
再将$a^2 + \frac{1}{a^2}=14$两边同时平方，得：
$(a^2 + \frac{1}{a^2})^2 = 14^2$
展开完全平方公式：
$a^4 + 2· a^2· \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^4} = 196$
化简得：
$a^4 + 2 + \frac{1}{a^4} = 196$
计算得：
$a^4 + \frac{1}{a^4} = 196 - 2 = 194$
综上，$a^2+\frac{1}{a^2}=14$，$a^4+\frac{1}{a^4}=194$。
