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【课本再现】
我们知道，正数$a$有两个平方根，其中正的平方根$\sqrt{a}$叫作$a$的算术平方根.正数$a$的算术平方根用$\sqrt{a}$来表示.
【探究新知】
(1)若$(\sqrt{a^2})=a$，则$a$的取值范围是
【知识应用】
(2)若$|a+b+1|+\sqrt{a-2b+4}=0$，求$(a+b)^{2026}$的值.
【拓展应用】
(3)若$|2025-a|+\sqrt{a-2026}=a$，求$a-2025^2$的值.
我们知道，正数$a$有两个平方根，其中正的平方根$\sqrt{a}$叫作$a$的算术平方根.正数$a$的算术平方根用$\sqrt{a}$来表示.
【探究新知】
(1)若$(\sqrt{a^2})=a$，则$a$的取值范围是
a≥0
.【知识应用】
(2)若$|a+b+1|+\sqrt{a-2b+4}=0$，求$(a+b)^{2026}$的值.
【拓展应用】
(3)若$|2025-a|+\sqrt{a-2026}=a$，求$a-2025^2$的值.
答案
1.(1)$a≥0$
(2)由$|a+b+1|+\sqrt{a-2b+4}=0$,得
$\begin{cases} a+b+1=0, \\ a-2b+4=0. \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=-2, \\ b=1. \end{cases}$
所以$(a+b)^{2026}=(-2+1)^{2026}=(-1)^{2026}=1.$
(3)因为$|2025-a|+\sqrt{a-2026}=a$,
所以$a-2026≥0$,即$a≥2026.$
所以$2025-a＜0.$
所以原方程可化为$a-2025+\sqrt{a-2026}=a$,
所以$\sqrt{a-2026}=2025.$
所以$a=2025^2+2026.$
所以$a-2025^2=2026.$
(2)由$|a+b+1|+\sqrt{a-2b+4}=0$,得
$\begin{cases} a+b+1=0, \\ a-2b+4=0. \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=-2, \\ b=1. \end{cases}$
所以$(a+b)^{2026}=(-2+1)^{2026}=(-1)^{2026}=1.$
(3)因为$|2025-a|+\sqrt{a-2026}=a$,
所以$a-2026≥0$,即$a≥2026.$
所以$2025-a＜0.$
所以原方程可化为$a-2025+\sqrt{a-2026}=a$,
所以$\sqrt{a-2026}=2025.$
所以$a=2025^2+2026.$
所以$a-2025^2=2026.$
2. 当 $ a=2024 $ 时，求 $ a+\sqrt{a^2-2a+1} $ 的值. 如图是小亮和小芳的解答过程：
小亮：解：原式$=a+\sqrt{(1-a)^2}=a+1-a=1.$
小芳：解：原式$=a+\sqrt{(1-a)^2}=a+a-1=4047.$
(1)
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：
(3)当 $ a＞3 $ 时，求$ \sqrt{a^2-6a+9}-|1-a| $的值.
小亮：解：原式$=a+\sqrt{(1-a)^2}=a+1-a=1.$
小芳：解：原式$=a+\sqrt{(1-a)^2}=a+a-1=4047.$
(1)
小亮
的解法是错误的；(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：
$\sqrt{a^2}=|a|$
；(3)当 $ a＞3 $ 时，求$ \sqrt{a^2-6a+9}-|1-a| $的值.
答案
2.(1)小亮
(2)$\sqrt{a^2}=|a|$
(3)$\because \ \ a＞3$,
$\therefore \ \ a-3＞0,1-a＜0.$
$\therefore \ \ $ 原式$=\sqrt{(a-3)^2}-|1-a|$
$=|a-3|-|1-a|$
$=a-3+(1-a)$
$=a-3+1-a$
$=-2.$
(2)$\sqrt{a^2}=|a|$
(3)$\because \ \ a＞3$,
$\therefore \ \ a-3＞0,1-a＜0.$
$\therefore \ \ $ 原式$=\sqrt{(a-3)^2}-|1-a|$
$=|a-3|-|1-a|$
$=a-3+(1-a)$
$=a-3+1-a$
$=-2.$
