三、解答题
11. (1) 计算：$\sqrt{16} ÷ |2| - \frac{1}{5} × 5^2 + (-1)^{2024} - \sqrt[3]{-27}$；
(2) 解不等式组：$\begin{cases} 3(x-2) ≥ x+4, \\ \frac{x-1}{2} ＜ 1. \end{cases}$

11.(1)1;(2)不等式组无解.

【分析】
(1)本题为实数混合运算题，解题时先遵循运算优先级：先计算乘方、开方、绝对值运算，再计算乘除，最后计算加减，同级运算从左到右依次进行，同时注意符号的处理。(2)本题为一元一次不等式组求解问题，解题思路是先分别求出两个不等式的解集，再判断两个解集是否有公共部分，若无公共部分则不等式组无解。
【解析】
(1) 先计算各专项运算的结果：
$\sqrt{16}=4$，$|2|=2$，$5^2=25$，$(-1)^{2024}=1$，$\sqrt[3]{-27}=-3$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=4÷2 - \frac{1}{5}×25 + 1 - (-3)\\&=2 - 5 + 1 + 3\\&=1\end{aligned}$
(2) 分别求解两个不等式：
① 解不等式$3(x-2)≥x+4$：
去括号得：$3x - 6 ≥ x + 4$
移项合并同类项得：$2x ≥ 10$
系数化为1得：$x ≥ 5$
② 解不等式$\frac{x-1}{2} ＜ 1$：
两边同时乘2得：$x - 1 ＜ 2$
移项得：$x ＜ 3$
两个解集$x≥5$和$x＜3$没有公共部分，因此该不等式组无解。
【答案】
(1)1；(2)不等式组无解
【知识点】
实数的混合运算；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于基础题型，主要考查基础运算能力，实数运算中要注意特殊运算（开方、乘方、绝对值）的结果准确性，解不等式组时要正确求解每个不等式，再准确判断解集的公共部分。
【难度系数】
0.8

12.经过薄凸透镜光心的光线,其传播方向不变。如图,光线AB从空气中射入薄凸透镜,再经过凸透镜的光心,射入到空气中,形成光线CD,由光学知识知$∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4$,求证:$AB// CD$.

12.证明:如图,$\because ∠1=∠2$,
$\therefore ∠EBC=∠NCB.$
又$\because ∠3=∠4$,
$\therefore ∠EBC+∠3=∠NCB+∠4$,
即$∠ABC=∠DCB$,
$\therefore AB// CD.$

【分析】
要证明$AB// CD$，可通过证明两条直线被第三条直线所截形成的内错角相等来推导。首先根据平角的性质，由已知$∠1=∠2$可得它们的补角$∠EBC$和$∠NCB$相等；再结合$∠3=∠4$，利用等式的性质将两组等角相加，即可得到内错角$∠ABC=∠DCB$，最后根据平行线的判定定理即可证得结论。
【解析】
证明：如图，
$\because ∠1=∠2$，且$∠EBC=180°-∠1$，$∠NCB=180°-∠2$，
$\therefore ∠EBC=∠NCB$（等角的补角相等），
又$\because ∠3=∠4$，
$\therefore ∠EBC+∠3=∠NCB+∠4$（等式的性质），
即$∠ABC=∠DCB$，
$\therefore AB// CD$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
12.证明:如图,$\because ∠1=∠2$,
$\therefore ∠EBC=∠NCB.$
又$\because ∠3=∠4$,
$\therefore ∠EBC+∠3=∠NCB+∠4$,
即$∠ABC=∠DCB$,
$\therefore AB// CD.$
【知识点】
平行线的判定、等角的补角相等、等式的性质
【点评】
本题结合光学常识考查几何证明，实现了跨学科知识的融合，解题核心是推导得到内错角相等，整体逻辑清晰，侧重对基础定理的应用考查。
【难度系数】
0.8

13.数学方法：
解方程组：$\begin{cases}3(2x+y)-2(x-2y)=26, \\2(2x+y)+3(x-2y)=13.\end{cases}$ 若
设 $2x+y=m, x-2y=n$，则原方程组
可化为 $\begin{cases}3m-2n=26, \\2m+3n=13,\end{cases}$ 解方程组得
$\begin{cases}m=8, \\n=-1.\end{cases}$ 所以 $\begin{cases}2x+y=8, \\x-2y=-1,\end{cases}$ 解方程组
得 $\begin{cases}x=3, \\y=2,\end{cases}$ 我们把某个式子看成一个整
体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫作换元法.
(1)直接填空:已知关于 $x,y$ 的二元一次
方程组 $\begin{cases}ax+by=6, \\bx+ay=3\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x=-2, \\y=4,\end{cases}$ 那
么关于 $m、n$ 的二元一次方程组
$\begin{cases}a(m+n)+b(m-n)=6, \\b(m+n)+a(m-n)=3\end{cases}$ 的解为 ______ .
(2)知识迁移:请用这种方法解方程
组 $\begin{cases}\dfrac{x+y}{2}-\dfrac{x-y}{3}=4, \\2(x+y)+x-y=16.\end{cases}$

13.解:(1)$\begin{cases} m=1, \\ n=-3; \end{cases}$
(2)设$\frac{x+y}{2}=m$,$\frac{x-y}{3}=n$,则原方程组可化
为$\begin{cases} m-n=4, \\ 4m+3n=16, \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=4, \\ n=0, \end{cases}$即有$\begin{cases} \frac{x+y}{2}=4, \\ \frac{x-y}{3}=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=4, \\ y=4, \end{cases}$
$\therefore$方程组的解为$\begin{cases} x=4, \\ y=4. \end{cases}$

【分析】
(1) 观察两个方程组的结构可发现，关于m,n的方程组中，$m+n$的位置对应已知方程组中$x$的位置，$m-n$的位置对应已知方程组中$y$的位置，利用换元思想可得$m+n=x=-2$，$m-n=y=4$，解这个新方程组即可得到m、n的值。
(2) 观察方程组可知$x+y$和$x-y$是重复出现的整体，采用换元法，设$\frac{x+y}{2}=m$，$\frac{x-y}{3}=n$，将原方程组转化为关于m、n的简单二元一次方程组，解出m、n后再代回所设式子，求解关于x、y的方程组即可得到原方程组的解。
【解析】
(1) 已知方程组$\begin{cases}ax+by=6 \\bx+ay=3\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-2 \\y=4\end{cases}$，
对比关于m,n的方程组$\begin{cases}a(m+n)+b(m-n)=6 \\b(m+n)+a(m-n)=3\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}m+n=-2 \\m-n=4\end{cases}$
两式相加得$2m=2$，解得$m=1$，
将$m=1$代入$m+n=-2$，得$1+n=-2$，解得$n=-3$。
(2) 设$\frac{x+y}{2}=m$，$\frac{x-y}{3}=n$，则$x+y=2m$，$x-y=3n$，
原方程组可化为$\begin{cases}m - n = 4 ① \\4m + 3n = 16 ②\end{cases}$
由①得$m = n + 4$ ③，
把③代入②得：$4(n+4)+3n=16$，
去括号合并得$7n=0$，解得$n=0$，
把$n=0$代入③得$m=4$，
因此可得$\begin{cases}\frac{x+y}{2}=4 \\\frac{x-y}{3}=0\end{cases}$，整理得$\begin{cases}x+y=8 ④ \\x-y=0 ⑤\end{cases}$
④+⑤得$2x=8$，解得$x=4$，
把$x=4$代入⑤得$4-y=0$，解得$y=4$。
【答案】
(1)$\begin{cases} m=1 \\ n=-3 \end{cases}$；(2)$\begin{cases} x=4 \\ y=4 \end{cases}$
【知识点】
换元法解方程组，整体思想，二元一次方程组的解法
【点评】
本题重点考查换元法解二元一次方程组的应用，解题核心是找准方程组中重复出现的整体，通过代换将复杂方程组简化为常规二元一次方程组求解，能大幅降低计算难度。
【难度系数】
0.7