登录
1. 新考向 传统文化 中国古代有很多极为精巧的发明，榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式。如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1。若x个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为y，则y关于x的关系式可以表示为
$y=5x+1$
。答案
$y=5x+1$
解析
【分析】
解题时先从简单情况入手找规律：①1个木构件时总长度为6；②每增加1个木构件拼接时，相邻两个构件的凹凸部分会咬合，凸出的长度1会嵌入相邻构件的凹处，因此每拼接1个构件，总长度只增加6-1=5，而不是完整的6；也可以用“总长度=无重叠总长度-重叠部分总长度”的思路推导：x个构件无重叠时总长为6x，x个构件拼接有(x-1)个拼接处，每个拼接处重叠长度1，总共重叠(x-1)，由此即可列式化简得到关系式。
【解析】
方法一：
1个木构件时，总长度$ y = 6 $；
每增加1个木构件，总长度增加$ 6 - 1 = 5 $；
则x个木构件的总长度为：第一个的长度 + 剩余(x-1)个每个增加的长度，即
$ y = 6 + 5(x-1) $
化简得：$ y = 5x + 1 $
方法二：
x个木构件不重叠拼接时总长度为$ 6x $；
x个构件紧密拼接共有$ x-1 $个拼接处，每个拼接处重叠长度1，总共重叠长度为$ 1×(x-1) $；
因此实际总长度$ y = 6x - (x-1) $
化简得：$ y = 5x + 1 $
【答案】
$ y=5x+1 $
【知识点】
列函数关系式、图形拼接规律、代数式化简
【点评】
本题结合传统榫卯结构考查实际问题中函数关系式的推导，解题核心是观察发现拼接时的重叠长度规律，题目贴合生活实际，能有效锻炼学生的观察归纳和数学建模能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从简单情况入手找规律：①1个木构件时总长度为6；②每增加1个木构件拼接时，相邻两个构件的凹凸部分会咬合，凸出的长度1会嵌入相邻构件的凹处，因此每拼接1个构件，总长度只增加6-1=5，而不是完整的6；也可以用“总长度=无重叠总长度-重叠部分总长度”的思路推导：x个构件无重叠时总长为6x，x个构件拼接有(x-1)个拼接处，每个拼接处重叠长度1，总共重叠(x-1)，由此即可列式化简得到关系式。
【解析】
方法一：
1个木构件时，总长度$ y = 6 $；
每增加1个木构件，总长度增加$ 6 - 1 = 5 $；
则x个木构件的总长度为：第一个的长度 + 剩余(x-1)个每个增加的长度，即
$ y = 6 + 5(x-1) $
化简得：$ y = 5x + 1 $
方法二：
x个木构件不重叠拼接时总长度为$ 6x $；
x个构件紧密拼接共有$ x-1 $个拼接处，每个拼接处重叠长度1，总共重叠长度为$ 1×(x-1) $；
因此实际总长度$ y = 6x - (x-1) $
化简得：$ y = 5x + 1 $
【答案】
$ y=5x+1 $
【知识点】
列函数关系式、图形拼接规律、代数式化简
【点评】
本题结合传统榫卯结构考查实际问题中函数关系式的推导，解题核心是观察发现拼接时的重叠长度规律，题目贴合生活实际，能有效锻炼学生的观察归纳和数学建模能力。
【难度系数】
0.7
2.【教材P46习题T2变式题】一盘蚊香长105 cm，点燃时每小时缩短10 cm，请写出点燃后蚊香的长y cm与蚊香燃烧时间t h之间的函数表达式，并画出函数图象.
答案
由题意，得$y=105-10t(0≤ t≤10.5)$，函数图象如下：
解析
【分析】
解题时首先要明确数量关系：蚊香点燃后的剩余长度=蚊香原长-已经燃烧的长度，先据此列出y与t的初步关系式；接下来结合实际意义确定自变量t的取值范围：燃烧时间t不能为负数，同时蚊香剩余长度y也不能为负数，据此解不等式得到t的范围；最后画函数图象时，因为自变量有取值限制，所以图象是一次函数对应区间的线段，找到两个端点坐标连接即可。
【解析】
解：根据题意，蚊香剩余长度等于原长减去t小时燃烧的长度，每小时燃烧10cm，t小时燃烧10t cm，因此可得：
$y = 105 - 10t$
再结合实际意义确定自变量取值范围：
①燃烧时间不能为负，即$t≥0$；
②蚊香长度不能为负，即$y = 105 - 10t ≥0$，解得$t≤10.5$。
综上，t的取值范围是$0≤ t≤10.5$。
画函数图象时，该函数是一次函数，取两个端点：当$t=0$时，$y=105$，对应点$(0,105)$；当$t=10.5$时，$y=0$，对应点$(10.5,0)$，连接这两个点所得的线段即为函数图象。
【答案】
由题意，得$y=105-10t(0≤ t≤10.5)$，函数图象如下：
【知识点】
一次函数的实际应用；自变量取值范围确定；一次函数图象绘制
【点评】
本题属于一次函数实际应用的基础题型，核心是准确提取题干中的等量关系列出函数解析式，易错点是容易忽略实际意义对自变量取值范围的限制，画图时要注意函数图象为线段而非整条直线。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确数量关系：蚊香点燃后的剩余长度=蚊香原长-已经燃烧的长度，先据此列出y与t的初步关系式；接下来结合实际意义确定自变量t的取值范围：燃烧时间t不能为负数，同时蚊香剩余长度y也不能为负数，据此解不等式得到t的范围；最后画函数图象时，因为自变量有取值限制，所以图象是一次函数对应区间的线段，找到两个端点坐标连接即可。
【解析】
解：根据题意，蚊香剩余长度等于原长减去t小时燃烧的长度，每小时燃烧10cm，t小时燃烧10t cm，因此可得：
$y = 105 - 10t$
再结合实际意义确定自变量取值范围：
①燃烧时间不能为负，即$t≥0$；
②蚊香长度不能为负，即$y = 105 - 10t ≥0$，解得$t≤10.5$。
综上，t的取值范围是$0≤ t≤10.5$。
画函数图象时，该函数是一次函数，取两个端点：当$t=0$时，$y=105$，对应点$(0,105)$；当$t=10.5$时，$y=0$，对应点$(10.5,0)$，连接这两个点所得的线段即为函数图象。
【答案】
由题意，得$y=105-10t(0≤ t≤10.5)$，函数图象如下：
【知识点】
一次函数的实际应用；自变量取值范围确定；一次函数图象绘制
【点评】
本题属于一次函数实际应用的基础题型，核心是准确提取题干中的等量关系列出函数解析式，易错点是容易忽略实际意义对自变量取值范围的限制，画图时要注意函数图象为线段而非整条直线。
【难度系数】
0.8
3. 经验表明，树在一定的成长阶段中，其胸径（树的主干在地面以上1.3 m处的直径）越大，树就越高.通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高y m是其胸径x m的一次函数.已知这种树的胸径为0.2 m时，树高为20 m；胸径为0.28 m时，树高为22 m.
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当这种树的胸径为0.3 m时，其树高是多少？
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当这种树的胸径为0.3 m时，其树高是多少？
答案
(1) 设$y=kx+b(k≠0)$。
根据题意，得$\begin{cases}0.2k+b=20,\\0.28k+b=22.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=25,\\b=15.\end{cases}$
所以$y=25x+15$。
(2) 当$x=0.3$时，$y=25×0.3+15=22.5$。
所以当这种树的胸径为0.3 m时，其树高为22.5 m。
根据题意，得$\begin{cases}0.2k+b=20,\\0.28k+b=22.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=25,\\b=15.\end{cases}$
所以$y=25x+15$。
(2) 当$x=0.3$时，$y=25×0.3+15=22.5$。
所以当这种树的胸径为0.3 m时，其树高为22.5 m。
解析
【分析】
(1) 题目明确说明树高y是胸径x的一次函数，首先想到用待定系数法求一次函数解析式：先设一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，再将题目给出的两组x、y的对应值代入所设解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k和b的值，即可确定函数表达式。
(2) 第二问求胸径为0.3m时的树高，属于已知自变量求函数值的问题，直接将$x=0.3$代入第一问求出的函数解析式，计算得到对应的y值即可。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
根据题意，将两组对应值代入表达式得：
$\begin{cases}0.2k+b=20\\0.28k+b=22\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$0.08k=2$，解得$k=25$。
将$k=25$代入$0.2k+b=20$，得$0.2×25 + b=20$，解得$b=15$。
因此y与x的函数表达式为$y=25x+15$。
(2) 当$x=0.3$时，代入$y=25x+15$计算：
$y=25×0.3 + 15=7.5+15=22.5$
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=25x+15}$
(2) 当这种树的胸径为0.3 m时，其树高为$\boldsymbol{22.5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数代入求值；二元一次方程组解法
【点评】
本题是一次函数的基础应用题型，核心考查待定系数法的使用，解题关键是利用已知的两组对应量列出方程组求解函数系数，再代入求值，计算量小，解题思路清晰，是一次函数部分的常规题型。
【难度系数】
0.8
(1) 题目明确说明树高y是胸径x的一次函数，首先想到用待定系数法求一次函数解析式：先设一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，再将题目给出的两组x、y的对应值代入所设解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k和b的值，即可确定函数表达式。
(2) 第二问求胸径为0.3m时的树高，属于已知自变量求函数值的问题，直接将$x=0.3$代入第一问求出的函数解析式，计算得到对应的y值即可。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
根据题意，将两组对应值代入表达式得：
$\begin{cases}0.2k+b=20\\0.28k+b=22\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$0.08k=2$，解得$k=25$。
将$k=25$代入$0.2k+b=20$，得$0.2×25 + b=20$，解得$b=15$。
因此y与x的函数表达式为$y=25x+15$。
(2) 当$x=0.3$时，代入$y=25x+15$计算：
$y=25×0.3 + 15=7.5+15=22.5$
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=25x+15}$
(2) 当这种树的胸径为0.3 m时，其树高为$\boldsymbol{22.5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数代入求值；二元一次方程组解法
【点评】
本题是一次函数的基础应用题型，核心考查待定系数法的使用，解题关键是利用已知的两组对应量列出方程组求解函数系数，再代入求值，计算量小，解题思路清晰，是一次函数部分的常规题型。
【难度系数】
0.8
4.某超市对某种水果采取促销方式，购买数量超过5 kg后，超过的部分给予优惠，水果的购买质量x(单位:kg)与所需金额y(单位:元)的函数关系如图所示，小丽用100元去购买该种水果，则她购买的质量为（
A.18 kg
B.19 kg
C.20 kg
D.21 kg
B
）A.18 kg
B.19 kg
C.20 kg
D.21 kg
答案
B
解析
【分析】
本题是一次函数的实际应用问题，图像为分段函数：①当购买量不超过5kg时，金额随质量正比例增长；②当购买量超过5kg时，超出部分享受优惠，金额为一次函数。解题有两种思路：一是先分别算出两段的单价，先计算5kg的花费，剩余金额按优惠单价计算可买质量，求和得到总质量；二是先求出x≥5时的一次函数解析式，再将y=100代入解析式求解x的值，即可得到购买质量。
【解析】
解法一（算术法）：
1. 计算不超过5kg时的单价：由图可知，购买5kg需30元，因此单价为$30÷5=6$元/kg，购买5kg固定花费30元。
2. 计算超过5kg部分的单价：购买15kg时花费80元，超出5kg的质量为$15-5=10\mathrm{kg}$，对应超出的金额为$80-30=50$元，因此超出部分单价为$50÷10=5$元/kg。
3. 计算100元可购买的总质量：100元大于30元，说明购买量超过5kg，扣除5kg的花费后剩余$100-30=70$元，可按优惠价购买$70÷5=14\mathrm{kg}$，总质量为$5+14=19\mathrm{kg}$。
解法二（解析式法）：
当$x≥5$时，设一次函数解析式为$y=kx+b$，将点$(5,30)$、$(15,80)$代入得：
$\begin{cases}5k + b = 30 \\15k + b = 80\end{cases}$
用第二个式子减第一个式子得：$10k=50$，解得$k=5$，将$k=5$代入$5k + b = 30$得：$25 + b = 30$，解得$b=5$。
因此$x≥5$时，函数解析式为$y=5x+5$。
当$y=100$时，代入得$100=5x+5$，解得$x=19$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合生活中的促销场景，考查学生从函数图像提取信息、分析问题的能力，解题核心是理清分段收费的规则，无论是算术分段计算还是用待定系数法求解析式都可解题，侧重基础应用。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数的实际应用问题，图像为分段函数：①当购买量不超过5kg时，金额随质量正比例增长；②当购买量超过5kg时，超出部分享受优惠，金额为一次函数。解题有两种思路：一是先分别算出两段的单价，先计算5kg的花费，剩余金额按优惠单价计算可买质量，求和得到总质量；二是先求出x≥5时的一次函数解析式，再将y=100代入解析式求解x的值，即可得到购买质量。
【解析】
解法一（算术法）：
1. 计算不超过5kg时的单价：由图可知，购买5kg需30元，因此单价为$30÷5=6$元/kg，购买5kg固定花费30元。
2. 计算超过5kg部分的单价：购买15kg时花费80元，超出5kg的质量为$15-5=10\mathrm{kg}$，对应超出的金额为$80-30=50$元，因此超出部分单价为$50÷10=5$元/kg。
3. 计算100元可购买的总质量：100元大于30元，说明购买量超过5kg，扣除5kg的花费后剩余$100-30=70$元，可按优惠价购买$70÷5=14\mathrm{kg}$，总质量为$5+14=19\mathrm{kg}$。
解法二（解析式法）：
当$x≥5$时，设一次函数解析式为$y=kx+b$，将点$(5,30)$、$(15,80)$代入得：
$\begin{cases}5k + b = 30 \\15k + b = 80\end{cases}$
用第二个式子减第一个式子得：$10k=50$，解得$k=5$，将$k=5$代入$5k + b = 30$得：$25 + b = 30$，解得$b=5$。
因此$x≥5$时，函数解析式为$y=5x+5$。
当$y=100$时，代入得$100=5x+5$，解得$x=19$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合生活中的促销场景，考查学生从函数图像提取信息、分析问题的能力，解题核心是理清分段收费的规则，无论是算术分段计算还是用待定系数法求解析式都可解题，侧重基础应用。
【难度系数】
0.7
5.[2026·合肥期中节选]小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些.折线AB－BC表示的是蓄电池剩余电量y(单位:kW·h)和已行驶路程x(单位:km)之间的关系.
(1)求BC段的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)该汽车剩余电量为30 kW·h时，已行驶的路程是多少？
(1)求BC段的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)该汽车剩余电量为30 kW·h时，已行驶的路程是多少？
答案
(1) 设BC段的函数表达式为$y=kx+b$。
将$B(150,35)$和$C(200,10)$分别代入，得$\begin{cases}150k+b=35,\\200k+b=10,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2},\\b=110,\end{cases}$
所以BC段的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+110(150≤ x≤200)$。
(2) 当$y=30$时，$30=-\frac{1}{2}x+110$，解得$x=160$，
所以该汽车剩余电量为30 kW·h时，已行驶的路程是160 km。
将$B(150,35)$和$C(200,10)$分别代入，得$\begin{cases}150k+b=35,\\200k+b=10,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2},\\b=110,\end{cases}$
所以BC段的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+110(150≤ x≤200)$。
(2) 当$y=30$时，$30=-\frac{1}{2}x+110$，解得$x=160$，
所以该汽车剩余电量为30 kW·h时，已行驶的路程是160 km。
解析
【分析】
(1) BC段为一次函数图象的一部分，求解其函数表达式可采用待定系数法：首先从图象中读取B点坐标(150,35)、C点坐标(200,10)，将两点坐标代入一次函数通用形式$y=kx+b$，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的取值即可得到解析式，再结合BC段对应的x的区间写出自变量的取值范围。
(2) 首先判断剩余电量30kW·h对应的函数段：30介于10和35之间，对应BC段的电量范围，因此将$y=30$代入BC段的函数解析式，解一元一次方程即可得到对应的已行驶路程x的值。
【解析】
(1) 设BC段的函数表达式为$y=kx+b$。
将$B(150,35)$、$C(200,10)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}150k+b=35\\200k+b=10\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$50k=-25$，解得$k=-\frac{1}{2}$。
将$k=-\frac{1}{2}$代入$150k+b=35$，得$-75+b=35$，解得$b=110$。
因此BC段的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+110$，自变量x的取值范围为$150≤ x≤200$。
(2) 由于$10＜30＜35$，可知剩余电量为30kW·h时处于BC段对应区间，将$y=30$代入$y=-\frac{1}{2}x+110$，得：
$30=-\frac{1}{2}x+110$
移项计算得$\frac{1}{2}x=80$，解得$x=160$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{2}x+110(150≤ x≤200)$
(2) 160 km
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一次函数图象点坐标特征
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数的基础应用，解题关键是准确从函数图象中提取点的坐标信息，熟练运用待定系数法求解函数解析式，再代入对应数值求解，侧重考察读图能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) BC段为一次函数图象的一部分，求解其函数表达式可采用待定系数法：首先从图象中读取B点坐标(150,35)、C点坐标(200,10)，将两点坐标代入一次函数通用形式$y=kx+b$，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的取值即可得到解析式，再结合BC段对应的x的区间写出自变量的取值范围。
(2) 首先判断剩余电量30kW·h对应的函数段：30介于10和35之间，对应BC段的电量范围，因此将$y=30$代入BC段的函数解析式，解一元一次方程即可得到对应的已行驶路程x的值。
【解析】
(1) 设BC段的函数表达式为$y=kx+b$。
将$B(150,35)$、$C(200,10)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}150k+b=35\\200k+b=10\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$50k=-25$，解得$k=-\frac{1}{2}$。
将$k=-\frac{1}{2}$代入$150k+b=35$，得$-75+b=35$，解得$b=110$。
因此BC段的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+110$，自变量x的取值范围为$150≤ x≤200$。
(2) 由于$10＜30＜35$，可知剩余电量为30kW·h时处于BC段对应区间，将$y=30$代入$y=-\frac{1}{2}x+110$，得：
$30=-\frac{1}{2}x+110$
移项计算得$\frac{1}{2}x=80$，解得$x=160$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{2}x+110(150≤ x≤200)$
(2) 160 km
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一次函数图象点坐标特征
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数的基础应用，解题关键是准确从函数图象中提取点的坐标信息，熟练运用待定系数法求解函数解析式，再代入对应数值求解，侧重考察读图能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
