登录
1.如图，直线$l:y=kx+b$与x轴、y轴分别交于A，B两点，且$OA=2OB=8$，点$C(6,0)$在x轴上，P是直线l上一点，连接OP和CP.当点P的横坐标为2时，三角形COP的面积为
9
。答案
9
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先根据已知条件OA=2OB=8确定A、B两点的坐标；第二步利用A、B两点坐标求出直线l的函数解析式；第三步将点P的横坐标代入解析式，求出点P的纵坐标，也就是三角形COP中OC边上的高；第四步已知OC的长度，结合三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
1. 确定A、B两点坐标：
已知OA=2OB=8，因此OA=8，点A在x轴正半轴，故A(8,0)；OB=4，点B在y轴正半轴，故B(0,4)。
2. 求直线l的解析式：
将B(0,4)代入$y=kx+b$，得$b=4$；再将A(8,0)代入$y=kx+4$，得：
$0=8k+4$，解得$k=-\frac{1}{2}$
因此直线l的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+4$。
3. 求点P的纵坐标：
已知点P横坐标为2，代入直线解析式得：
$y=-\frac{1}{2}×2 +4=3$，即点P的纵坐标为3，也就是$△ COP$中OC边上的高为3。
4. 计算$△ COP$的面积：
点C坐标为(6,0)，因此OC=6，根据三角形面积公式：
$S_{△ COP}=\frac{1}{2}× OC × 高=\frac{1}{2}×6×3=9$
【答案】
9
【知识点】
一次函数解析式求解；一次函数点的坐标特征；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何面积的基础综合题，核心是先通过已知点求出直线解析式，得到目标点的纵坐标，再结合面积公式计算，解题思路清晰，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步先根据已知条件OA=2OB=8确定A、B两点的坐标；第二步利用A、B两点坐标求出直线l的函数解析式；第三步将点P的横坐标代入解析式，求出点P的纵坐标，也就是三角形COP中OC边上的高；第四步已知OC的长度，结合三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
1. 确定A、B两点坐标：
已知OA=2OB=8，因此OA=8，点A在x轴正半轴，故A(8,0)；OB=4，点B在y轴正半轴，故B(0,4)。
2. 求直线l的解析式：
将B(0,4)代入$y=kx+b$，得$b=4$；再将A(8,0)代入$y=kx+4$，得：
$0=8k+4$，解得$k=-\frac{1}{2}$
因此直线l的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+4$。
3. 求点P的纵坐标：
已知点P横坐标为2，代入直线解析式得：
$y=-\frac{1}{2}×2 +4=3$，即点P的纵坐标为3，也就是$△ COP$中OC边上的高为3。
4. 计算$△ COP$的面积：
点C坐标为(6,0)，因此OC=6，根据三角形面积公式：
$S_{△ COP}=\frac{1}{2}× OC × 高=\frac{1}{2}×6×3=9$
【答案】
9
【知识点】
一次函数解析式求解；一次函数点的坐标特征；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何面积的基础综合题，核心是先通过已知点求出直线解析式，得到目标点的纵坐标，再结合面积公式计算，解题思路清晰，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.7
2.如图，已知直线$y=kx+b$经过点$A(5,0)$和点$B(-1,6)$。
(1)直线AB的表达式为________；
(2)若直线$y=2x-1$与$y$轴交于点$D$，与直线AB交于点$C$，连接$AD$，求三角形$ACD$的面积。
(1)直线AB的表达式为________；
(2)若直线$y=2x-1$与$y$轴交于点$D$，与直线AB交于点$C$，连接$AD$，求三角形$ACD$的面积。
答案
(1) $y=-x+5$
(2) 由$-x+5=2x-1$，得$x=2$，此时$y=-x+5=3$，所以$C(2,3)$。
如图，设直线AB交y轴于点E。易得$E(0,5)$，$D(0,-1)$，所以$DE=5-(-1)=6$，
所以$S_{△ ACD}=S_{△ ADE}-S_{△ CDE}=\frac{1}{2}DE·|x_A|-\frac{1}{2}DE·|x_C|=\frac{1}{2}×6×5-\frac{1}{2}×6×2=9$。
解析
【分析】
(1) 求直线AB的表达式使用待定系数法，将点A、B的坐标代入一次函数一般式$y=kx+b$，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值，得到解析式。
(2) 求$△ ACD$的面积时，首先联立直线AB和直线$y=2x-1$的方程，解出交点C的坐标；再分别求出两条直线与y轴的交点D、E的坐标，得到DE的长度。观察图形可知$△ ACD$的面积等于$△ ADE$与$△ CDE$的面积差，两个三角形同底为DE，高分别为点A、点C的横坐标的绝对值，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 将$A(5,0)$、$B(-1,6)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}5k+b=0\\-k+b=6\end{cases}$
两式相减得$6k=-6$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$-k+b=6$，解得$b=5$，因此直线AB的表达式为$y=-x+5$。
(2) 联立直线AB与$y=2x-1$的方程，得$-x+5=2x-1$，解得$x=2$，代入$y=-x+5$得$y=3$，即$C(2,3)$。
对于$y=2x-1$，令$x=0$得$y=-1$，即$D(0,-1)$；对于直线$y=-x+5$，令$x=0$得$y=5$，即直线AB与y轴交点$E(0,5)$，因此$DE=5-(-1)=6$。
$△ ACD$的面积可通过两个三角形面积差计算：
$S_{△ ACD}=S_{△ ADE}-S_{△ CDE}=\frac{1}{2}× DE× |x_A|-\frac{1}{2}× DE× |x_C|=\frac{1}{2}×6×5-\frac{1}{2}×6×2=9$
【答案】
(1) $y=-x+5$
(2) 由$-x+5=2x-1$，得$x=2$，此时$y=-x+5=3$，所以$C(2,3)$。
如图，设直线AB交y轴于点E。易得$E(0,5)$，$D(0,-1)$，所以$DE=5-(-1)=6$，
所以$S_{△ ACD}=S_{△ ADE}-S_{△ CDE}=\frac{1}{2}DE·|x_A|-\frac{1}{2}DE·|x_C|=\frac{1}{2}×6×5-\frac{1}{2}×6×2=9$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点计算，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数的常规综合题，既考查了一次函数解析式的基础求解方法，也考查了利用割补法简化计算坐标系内三角形面积的思路，解题的关键是准确求出各交点坐标，合理选择面积计算的简便方法。
【难度系数】
0.7
(1) 求直线AB的表达式使用待定系数法，将点A、B的坐标代入一次函数一般式$y=kx+b$，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值，得到解析式。
(2) 求$△ ACD$的面积时，首先联立直线AB和直线$y=2x-1$的方程，解出交点C的坐标；再分别求出两条直线与y轴的交点D、E的坐标，得到DE的长度。观察图形可知$△ ACD$的面积等于$△ ADE$与$△ CDE$的面积差，两个三角形同底为DE，高分别为点A、点C的横坐标的绝对值，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 将$A(5,0)$、$B(-1,6)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}5k+b=0\\-k+b=6\end{cases}$
两式相减得$6k=-6$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$-k+b=6$，解得$b=5$，因此直线AB的表达式为$y=-x+5$。
(2) 联立直线AB与$y=2x-1$的方程，得$-x+5=2x-1$，解得$x=2$，代入$y=-x+5$得$y=3$，即$C(2,3)$。
对于$y=2x-1$，令$x=0$得$y=-1$，即$D(0,-1)$；对于直线$y=-x+5$，令$x=0$得$y=5$，即直线AB与y轴交点$E(0,5)$，因此$DE=5-(-1)=6$。
$△ ACD$的面积可通过两个三角形面积差计算：
$S_{△ ACD}=S_{△ ADE}-S_{△ CDE}=\frac{1}{2}× DE× |x_A|-\frac{1}{2}× DE× |x_C|=\frac{1}{2}×6×5-\frac{1}{2}×6×2=9$
【答案】
(1) $y=-x+5$
(2) 由$-x+5=2x-1$，得$x=2$，此时$y=-x+5=3$，所以$C(2,3)$。
如图，设直线AB交y轴于点E。易得$E(0,5)$，$D(0,-1)$，所以$DE=5-(-1)=6$，
所以$S_{△ ACD}=S_{△ ADE}-S_{△ CDE}=\frac{1}{2}DE·|x_A|-\frac{1}{2}DE·|x_C|=\frac{1}{2}×6×5-\frac{1}{2}×6×2=9$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点计算，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数的常规综合题，既考查了一次函数解析式的基础求解方法，也考查了利用割补法简化计算坐标系内三角形面积的思路，解题的关键是准确求出各交点坐标，合理选择面积计算的简便方法。
【难度系数】
0.7
3.已知一次函数$y=2x+b$的图象与$x$轴交于点$A(-2,0)$，与$y$轴交于点$B$，在$y$轴上有一点$P$.若三角形$APB$的面积为$5$，则点$P$的坐标为
(0,9)或(0,-1)
.答案
(0,9)或(0,-1)
解析
【分析】
解题思路分为三步：① 先将点A的坐标代入一次函数解析式，求出参数b的值，确定一次函数的完整解析式，进而求出与y轴交点B的坐标；② 分析△APB的底和高：因为P、B都在y轴上，所以底为BP的长度，即P、B两点纵坐标差的绝对值，高为点A到y轴的水平距离（即点A横坐标的绝对值）；③ 根据三角形面积公式列方程求解，注意P点可能在B点上方或下方，需考虑绝对值的两种情况，避免漏解。
【解析】
1. 求参数b：将点A(-2,0)代入$y=2x+b$，得
$0 = 2×(-2) + b$
解得$b=4$，因此一次函数解析式为$y=2x+4$。
2. 求点B坐标：当$x=0$时，$y=2×0 +4=4$，故B点坐标为$(0,4)$。
3. 设点P坐标为$(0,p)$，则线段BP的长度为$\vert p - 4\vert$；点A到y轴的距离为$\vert -2\vert=2$，即△APB的高为2。
4. 根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知$S_{△ APB}=5$，代入得：
$\frac{1}{2} × \vert p - 4\vert × 2 =5$
化简得$\vert p - 4\vert=5$，则：
当$p-4=5$时，$p=9$；当$p-4=-5$时，$p=-1$。
因此点P的坐标为$(0,9)$或$(0,-1)$。
【答案】
(0,9)或(0,-1)
【知识点】
一次函数求参，坐标轴交点坐标，坐标系面积计算
【点评】
本题是一次函数与面积结合的常见题型，核心是利用坐标轴上点的坐标特征简化线段长度的计算，解题时需注意坐标差的绝对值的应用，考虑点的位置的多种可能性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：① 先将点A的坐标代入一次函数解析式，求出参数b的值，确定一次函数的完整解析式，进而求出与y轴交点B的坐标；② 分析△APB的底和高：因为P、B都在y轴上，所以底为BP的长度，即P、B两点纵坐标差的绝对值，高为点A到y轴的水平距离（即点A横坐标的绝对值）；③ 根据三角形面积公式列方程求解，注意P点可能在B点上方或下方，需考虑绝对值的两种情况，避免漏解。
【解析】
1. 求参数b：将点A(-2,0)代入$y=2x+b$，得
$0 = 2×(-2) + b$
解得$b=4$，因此一次函数解析式为$y=2x+4$。
2. 求点B坐标：当$x=0$时，$y=2×0 +4=4$，故B点坐标为$(0,4)$。
3. 设点P坐标为$(0,p)$，则线段BP的长度为$\vert p - 4\vert$；点A到y轴的距离为$\vert -2\vert=2$，即△APB的高为2。
4. 根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知$S_{△ APB}=5$，代入得：
$\frac{1}{2} × \vert p - 4\vert × 2 =5$
化简得$\vert p - 4\vert=5$，则：
当$p-4=5$时，$p=9$；当$p-4=-5$时，$p=-1$。
因此点P的坐标为$(0,9)$或$(0,-1)$。
【答案】
(0,9)或(0,-1)
【知识点】
一次函数求参，坐标轴交点坐标，坐标系面积计算
【点评】
本题是一次函数与面积结合的常见题型，核心是利用坐标轴上点的坐标特征简化线段长度的计算，解题时需注意坐标差的绝对值的应用，考虑点的位置的多种可能性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
4.[2026·安庆怀宁县期中节选]如图，直线$l_1:y=-x+2$与x轴、y轴分别交于A，B两点，P(m，3)为直线AB上一点，另一直线$l_2:y=kx+4$经过点P，C是直线$l_2$与x轴的交点。
(1)求点P的坐标和直线$l_2$的表达式；
(2)若Q是直线$l_1$上一点，当三角形CPQ的面积等于三角形APC面积的两倍时，求出点Q的坐标。
(1)求点P的坐标和直线$l_2$的表达式；
(2)若Q是直线$l_1$上一点，当三角形CPQ的面积等于三角形APC面积的两倍时，求出点Q的坐标。
答案
(1) 将$P(m,3)$代入$y=-x+2$，得$3=-m+2$，解得$m=-1$，所以点P的坐标为$(-1,3)$。
将$P(-1,3)$代入$y=kx+4$，得$3=-k+4$，解得$k=1$，因此直线$l_2$的表达式为$y=x+4$。
(2) 由直线$l_1:y=-x+2$，可得$A(2,0)$。由直线$l_2:y=x+4$，可得$C(-4,0)$，所以$AC=6$。
因为$P(-1,3)$，所以$S_{△ APC}=\frac{1}{2}AC·|y_P|=\frac{1}{2}×6×3=9$，所以$S_{△ CPQ}=2×9=18$。
设点$Q(q,-q+2)$。
当点Q在点P左侧时，$S_{△ AQC}-S_{△ APC}=S_{△ CPQ}$，即$\frac{1}{2}×6×(-q+2)-9=18$，解得$q=-7$，此时$Q(-7,9)$；
当点Q在点P右侧时，$S_{△ AQC}+S_{△ APC}=S_{△ CPQ}$，即$\frac{1}{2}×6×(q-2)+9=18$，解得$q=5$，此时$Q(5,-3)$。
综上所述，点Q的坐标为$(-7,9)$或$(5,-3)$。
将$P(-1,3)$代入$y=kx+4$，得$3=-k+4$，解得$k=1$，因此直线$l_2$的表达式为$y=x+4$。
(2) 由直线$l_1:y=-x+2$，可得$A(2,0)$。由直线$l_2:y=x+4$，可得$C(-4,0)$，所以$AC=6$。
因为$P(-1,3)$，所以$S_{△ APC}=\frac{1}{2}AC·|y_P|=\frac{1}{2}×6×3=9$，所以$S_{△ CPQ}=2×9=18$。
设点$Q(q,-q+2)$。
当点Q在点P左侧时，$S_{△ AQC}-S_{△ APC}=S_{△ CPQ}$，即$\frac{1}{2}×6×(-q+2)-9=18$，解得$q=-7$，此时$Q(-7,9)$；
当点Q在点P右侧时，$S_{△ AQC}+S_{△ APC}=S_{△ CPQ}$，即$\frac{1}{2}×6×(q-2)+9=18$，解得$q=5$，此时$Q(5,-3)$。
综上所述，点Q的坐标为$(-7,9)$或$(5,-3)$。
解析
【分析】
(1) 点在函数图象上时，点的坐标满足对应函数的解析式，因此先将P(m,3)代入直线l₁的解析式，可求出m的值，得到P点坐标；再将P点坐标代入直线l₂的解析式，即可求出未知系数k，得到l₂的函数表达式。
(2) 先分别求出直线l₁与x轴交点A、直线l₂与x轴交点C的坐标，计算出线段AC的长度，以AC为底，P点纵坐标的绝对值为高，先算出△APC的面积，进而得到△CPQ的面积。由于Q在直线l₁上，可设Q的坐标为(q,-q+2)，再根据Q在P左侧、Q在P右侧两种不同位置，结合面积的和差关系列方程求解，避免漏解。
【解析】
(1)
∵点P(m,3)在直线$l_1:y=-x+2$上，
∴将$P(m,3)$代入解析式得：$3=-m+2$，
解得$m=-1$，即点P的坐标为$(-1,3)$。
∵直线$l_2:y=kx+4$经过点$P(-1,3)$，
∴将$P(-1,3)$代入解析式得：$3=-k+4$，
解得$k=1$，因此直线$l_2$的表达式为$y=x+4$。
(2) 对于直线$l_1:y=-x+2$，令$y=0$，得$0=-x+2$，解得$x=2$，即$A(2,0)$；
对于直线$l_2:y=x+4$，令$y=0$，得$0=x+4$，解得$x=-4$，即$C(-4,0)$，
∴$AC=2-(-4)=6$。
结合$P(-1,3)$，可得$S_{△ APC}=\frac{1}{2}AC·|y_P|=\frac{1}{2}×6×3=9$，
∴$S_{△ CPQ}=2×S_{△ APC}=2×9=18$。
设点$Q(q,-q+2)$，分两种情况讨论：
① 当点Q在点P左侧时，$S_{△ CPQ}=S_{△ AQC}-S_{△ APC}$，
即$\frac{1}{2}×6×(-q+2)-9=18$，
解得$q=-7$，此时Q的坐标为$(-7,9)$；
② 当点Q在点P右侧时，$S_{△ CPQ}=S_{△ AQC}+S_{△ APC}$，
即$\frac{1}{2}×6×(q-2)+9=18$，
解得$q=5$，此时Q的坐标为$(5,-3)$。
【答案】
(1) 点P的坐标为$\boldsymbol{(-1,3)}$，直线$l_2$的表达式为$\boldsymbol{y=x+4}$；
(2) 点Q的坐标为$\boldsymbol{(-7,9)}$或$\boldsymbol{(5,-3)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数面积计算，分类讨论思想
【点评】
本题属于一次函数的常规综合题，既考查了待定系数法求函数解析式的基础应用，也考查了一次函数背景下的三角形面积计算，解题时要注意根据点的位置分类讨论，避免漏解，同时需要熟练掌握坐标与图形性质的结合运用。
【难度系数】
0.6
(1) 点在函数图象上时，点的坐标满足对应函数的解析式，因此先将P(m,3)代入直线l₁的解析式，可求出m的值，得到P点坐标；再将P点坐标代入直线l₂的解析式，即可求出未知系数k，得到l₂的函数表达式。
(2) 先分别求出直线l₁与x轴交点A、直线l₂与x轴交点C的坐标，计算出线段AC的长度，以AC为底，P点纵坐标的绝对值为高，先算出△APC的面积，进而得到△CPQ的面积。由于Q在直线l₁上，可设Q的坐标为(q,-q+2)，再根据Q在P左侧、Q在P右侧两种不同位置，结合面积的和差关系列方程求解，避免漏解。
【解析】
(1)
∵点P(m,3)在直线$l_1:y=-x+2$上，
∴将$P(m,3)$代入解析式得：$3=-m+2$，
解得$m=-1$，即点P的坐标为$(-1,3)$。
∵直线$l_2:y=kx+4$经过点$P(-1,3)$，
∴将$P(-1,3)$代入解析式得：$3=-k+4$，
解得$k=1$，因此直线$l_2$的表达式为$y=x+4$。
(2) 对于直线$l_1:y=-x+2$，令$y=0$，得$0=-x+2$，解得$x=2$，即$A(2,0)$；
对于直线$l_2:y=x+4$，令$y=0$，得$0=x+4$，解得$x=-4$，即$C(-4,0)$，
∴$AC=2-(-4)=6$。
结合$P(-1,3)$，可得$S_{△ APC}=\frac{1}{2}AC·|y_P|=\frac{1}{2}×6×3=9$，
∴$S_{△ CPQ}=2×S_{△ APC}=2×9=18$。
设点$Q(q,-q+2)$，分两种情况讨论：
① 当点Q在点P左侧时，$S_{△ CPQ}=S_{△ AQC}-S_{△ APC}$，
即$\frac{1}{2}×6×(-q+2)-9=18$，
解得$q=-7$，此时Q的坐标为$(-7,9)$；
② 当点Q在点P右侧时，$S_{△ CPQ}=S_{△ AQC}+S_{△ APC}$，
即$\frac{1}{2}×6×(q-2)+9=18$，
解得$q=5$，此时Q的坐标为$(5,-3)$。
【答案】
(1) 点P的坐标为$\boldsymbol{(-1,3)}$，直线$l_2$的表达式为$\boldsymbol{y=x+4}$；
(2) 点Q的坐标为$\boldsymbol{(-7,9)}$或$\boldsymbol{(5,-3)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数面积计算，分类讨论思想
【点评】
本题属于一次函数的常规综合题，既考查了待定系数法求函数解析式的基础应用，也考查了一次函数背景下的三角形面积计算，解题时要注意根据点的位置分类讨论，避免漏解，同时需要熟练掌握坐标与图形性质的结合运用。
【难度系数】
0.6
