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4 观察下列各式：
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2},\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3},\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4},$
$\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5},….$
根据规律解答问题：
（1）第6个等式为$\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_;$
（2）计算：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2025×2026};$
（3）若有理数$a,b$满足$|a-3|+|b-5|=0,$求$\frac{1}{ab}+\frac{1}{(a+2)(b+2)}+\frac{1}{(a+4)(b+4)}+…+\frac{1}{(a+100)(b+100)}$的值.
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2},\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3},\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4},$
$\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5},….$
根据规律解答问题：
（1）第6个等式为$\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_;$
（2）计算：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2025×2026};$
（3）若有理数$a,b$满足$|a-3|+|b-5|=0,$求$\frac{1}{ab}+\frac{1}{(a+2)(b+2)}+\frac{1}{(a+4)(b+4)}+…+\frac{1}{(a+100)(b+100)}$的值.
答案
4. (1) $\frac{1}{6×7}$ $\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$
(2) $\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2025×2026}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}=1-\frac{1}{2026}=\frac{2025}{2026}$
(3) 因为$|a-3|+|b-5|=0$,所以$a-3=0,b-5=0$,解得$a=3,b=5$.所以$\frac{1}{ab}+\frac{1}{(a+2)(b+2)}+\frac{1}{(a+4)(b+4)}+…+\frac{1}{(a+100)(b+100)}=\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\frac{1}{7×9}+…+\frac{1}{103×105}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+…+\frac{1}{103}-\frac{1}{105})=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{105})=\frac{1}{2}×\frac{34}{105}=\frac{17}{105}$
(2) $\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2025×2026}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}=1-\frac{1}{2026}=\frac{2025}{2026}$
(3) 因为$|a-3|+|b-5|=0$,所以$a-3=0,b-5=0$,解得$a=3,b=5$.所以$\frac{1}{ab}+\frac{1}{(a+2)(b+2)}+\frac{1}{(a+4)(b+4)}+…+\frac{1}{(a+100)(b+100)}=\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\frac{1}{7×9}+…+\frac{1}{103×105}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+…+\frac{1}{103}-\frac{1}{105})=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{105})=\frac{1}{2}×\frac{34}{105}=\frac{17}{105}$
解析
【分析】
（1）观察给出的等式可总结规律：第n个等式左边为$\frac{1}{n(n+1)}$，右边为$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，求第6个等式只需将n=6代入规律即可。
（2）根据裂项规律，把算式中每一项拆成两个分数的差，中间相邻的分数会相互抵消，最后仅剩首项和末项，计算即可得到结果。
（3）先利用绝对值的非负性：两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，求出a、b的值；代入原式后发现分母两个数的差为2，裂项后需提取$\frac{1}{2}$，再用抵消法计算剩余项即可。
【解析】
（1）根据规律，第n个等式为$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，当n=6时，可得第6个等式为$\frac{1}{6×7}=\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$。
（2）$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2025×2026}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$
$=1-\frac{1}{2026}$
$=\frac{2025}{2026}$
（3）
∵$|a-3|≥0$，$|b-5|≥0$，且$|a-3|+|b-5|=0$
∴$a-3=0$，$b-5=0$，解得$a=3$，$b=5$
将$a=3$，$b=5$代入原式得：
原式$=\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\frac{1}{7×9}+…+\frac{1}{103×105}$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+…+\frac{1}{103}-\frac{1}{105})$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{105})$
$=\frac{1}{2}×\frac{34}{105}$
$=\frac{17}{105}$
【答案】
（1）$\frac{1}{6×7}$，$\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$；（2）$\frac{2025}{2026}$；（3）$\frac{17}{105}$
【知识点】
规律探究，裂项相消法，绝对值的非负性
【点评】
本题是有理数简便运算的典型题型，核心是掌握裂项相消的拆分规律，需注意当分母两数的差不为1时，拆分后要提取对应的系数，结合绝对值性质考查，能很好地检验学生的规律探究能力和简便运算能力。
【难度系数】
0.7
（1）观察给出的等式可总结规律：第n个等式左边为$\frac{1}{n(n+1)}$，右边为$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，求第6个等式只需将n=6代入规律即可。
（2）根据裂项规律，把算式中每一项拆成两个分数的差，中间相邻的分数会相互抵消，最后仅剩首项和末项，计算即可得到结果。
（3）先利用绝对值的非负性：两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，求出a、b的值；代入原式后发现分母两个数的差为2，裂项后需提取$\frac{1}{2}$，再用抵消法计算剩余项即可。
【解析】
（1）根据规律，第n个等式为$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，当n=6时，可得第6个等式为$\frac{1}{6×7}=\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$。
（2）$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2025×2026}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$
$=1-\frac{1}{2026}$
$=\frac{2025}{2026}$
（3）
∵$|a-3|≥0$，$|b-5|≥0$，且$|a-3|+|b-5|=0$
∴$a-3=0$，$b-5=0$，解得$a=3$，$b=5$
将$a=3$，$b=5$代入原式得：
原式$=\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\frac{1}{7×9}+…+\frac{1}{103×105}$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+…+\frac{1}{103}-\frac{1}{105})$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{105})$
$=\frac{1}{2}×\frac{34}{105}$
$=\frac{17}{105}$
【答案】
（1）$\frac{1}{6×7}$，$\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$；（2）$\frac{2025}{2026}$；（3）$\frac{17}{105}$
【知识点】
规律探究，裂项相消法，绝对值的非负性
【点评】
本题是有理数简便运算的典型题型，核心是掌握裂项相消的拆分规律，需注意当分母两数的差不为1时，拆分后要提取对应的系数，结合绝对值性质考查，能很好地检验学生的规律探究能力和简便运算能力。
【难度系数】
0.7
5 计算：
(1) $1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots + 99 - 100$；
(2) $2 - 4 - 6 + 8 + 10 - 12 - 14 + 16 + 18 - 20 - 22 + 24 + \dots + 2010 - 2012$；
(3) $\left| \frac{1}{2} - 1 \right| + \left| \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right| + \left| \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \right| + \dots + \left| \frac{1}{2025} - \frac{1}{2024} \right|$。
(1) $1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots + 99 - 100$；
(2) $2 - 4 - 6 + 8 + 10 - 12 - 14 + 16 + 18 - 20 - 22 + 24 + \dots + 2010 - 2012$；
(3) $\left| \frac{1}{2} - 1 \right| + \left| \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right| + \left| \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \right| + \dots + \left| \frac{1}{2025} - \frac{1}{2024} \right|$。
答案
5. (1) 原式$=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(99-100)=(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=-50$
(2) 原式$=(2-4-6+8)+(10-12-14+16)+(18-20-22+24)+…+(2002-2004-2006+2008)+(2010-2012)=0+0+0+…+0+(-2)=-2$
(3) 原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}=1-\frac{1}{2025}=\frac{2024}{2025}$
(2) 原式$=(2-4-6+8)+(10-12-14+16)+(18-20-22+24)+…+(2002-2004-2006+2008)+(2010-2012)=0+0+0+…+0+(-2)=-2$
(3) 原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}=1-\frac{1}{2025}=\frac{2024}{2025}$
解析
【分析】
(1) 观察算式可发现相邻两个数的差均为-1，可将相邻两个数分为一组，先求每组的结果，再统计总组数即可算出总和。
(2) 算式的符号规律为+、-、-、+循环，每4个数为一组，每组运算结果为0，先计算所有完整分组的和，再计算剩余未分组的部分即可得到最终结果。
(3) 先根据绝对值的性质：若a＜b，则|a-b|=b-a，去掉所有绝对值符号，可发现中间的分数能够两两抵消，仅剩下首尾两项，直接计算首尾两项的差即可。
【解析】
(1) 原式$=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\dots+(99-100)$
每组结果为$-1$，共有$100÷2=50$组，
因此原式$=(-1)×50=-50$。
(2) 每4个数为一组，每组运算结果为：$2-4-6+8=0$、$10-12-14+16=0$，以此类推。
从2到2008共有$2008÷2=1004$个数，可分为$1004÷4=251$组，251组的总和为0。
剩余未分组的部分为$2010-2012=-2$，
因此原式$=0×251+(-2)=-2$。
(3) 根据绝对值的性质去掉绝对值符号，可得：
原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}$
中间项两两抵消后仅剩$1-\frac{1}{2025}$，
计算得$1-\frac{1}{2025}=\frac{2024}{2025}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-50}$；(2) $\boldsymbol{-2}$；(3) $\boldsymbol{\dfrac{2024}{2025}}$
【知识点】
有理数加减简便运算、绝对值的性质、分组计算法
【点评】
这三道题是有理数加减混合运算简便计算的经典题型，分别考察了相邻两两分组、按周期分组、去绝对值后裂项抵消的运算技巧，掌握这类规律型运算的技巧，能有效简化运算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
(1) 观察算式可发现相邻两个数的差均为-1，可将相邻两个数分为一组，先求每组的结果，再统计总组数即可算出总和。
(2) 算式的符号规律为+、-、-、+循环，每4个数为一组，每组运算结果为0，先计算所有完整分组的和，再计算剩余未分组的部分即可得到最终结果。
(3) 先根据绝对值的性质：若a＜b，则|a-b|=b-a，去掉所有绝对值符号，可发现中间的分数能够两两抵消，仅剩下首尾两项，直接计算首尾两项的差即可。
【解析】
(1) 原式$=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\dots+(99-100)$
每组结果为$-1$，共有$100÷2=50$组，
因此原式$=(-1)×50=-50$。
(2) 每4个数为一组，每组运算结果为：$2-4-6+8=0$、$10-12-14+16=0$，以此类推。
从2到2008共有$2008÷2=1004$个数，可分为$1004÷4=251$组，251组的总和为0。
剩余未分组的部分为$2010-2012=-2$，
因此原式$=0×251+(-2)=-2$。
(3) 根据绝对值的性质去掉绝对值符号，可得：
原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}$
中间项两两抵消后仅剩$1-\frac{1}{2025}$，
计算得$1-\frac{1}{2025}=\frac{2024}{2025}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-50}$；(2) $\boldsymbol{-2}$；(3) $\boldsymbol{\dfrac{2024}{2025}}$
【知识点】
有理数加减简便运算、绝对值的性质、分组计算法
【点评】
这三道题是有理数加减混合运算简便计算的经典题型，分别考察了相邻两两分组、按周期分组、去绝对值后裂项抵消的运算技巧，掌握这类规律型运算的技巧，能有效简化运算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
