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1[2025江苏南通中考]在平面直角坐标系$xOy$中,五个点的坐标分别为$A(-1,5),B(1,2),C(2,1),D(3,-1),E(5,5)$.若抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$经过上述五个点中的三个点,则满足题意的$a$的值不可能为 (
A.$\dfrac{3}{8}$
B.$\dfrac{4}{9}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{3}{4}$
C
)A.$\dfrac{3}{8}$
B.$\dfrac{4}{9}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{3}{4}$
答案
1.C 【解析】
∵ 抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$,
∴ 抛物线开口向上,对称轴为直线x=2.
∵ A(-1,5),E(5,5),且$\frac{-1+5}{2}=2$,
∴ 点A,E同时在抛物线上或同时不在抛物线上. 当抛物线过点A,E,B时,把B(1,2),A(-1,5)代入,得$\begin{cases}a(1-2)^2+k=2,\\a(-1-2)^2+k=5,\end{cases}$解得$a=\frac{3}{8}$; 当抛物线过点A,E,C时,把A(-1,5),C(2,1)代入,得$\begin{cases}a(-1-2)^2+k=5,\\a(2-2)^2+k=1,\end{cases}$解得$a=\frac{4}{9}$; 当抛物线过点A,E,D时,把A(-1,5),D(3,-1)代入,得$\begin{cases}a(-1-2)^2+k=5,\\a(3-2)^2+k=-1,\end{cases}$解得$a=\frac{3}{4}$; 当抛物线过点B,C,D时,把C(2,1)代入,得k=1,
∴ y=a(x-2)^2+1,把B(1,2)代入,得a+1=2,解得a=1,把D(3,-1)代入,得a+1=-1,解得a=-2,
∴ B,C,D三点不能同时在抛物线上. 综上,a的值可能为$\frac{3}{8},\frac{4}{9},\frac{3}{4}$,不可能为$\frac{2}{3}$,故选C.
∵ 抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$,
∴ 抛物线开口向上,对称轴为直线x=2.
∵ A(-1,5),E(5,5),且$\frac{-1+5}{2}=2$,
∴ 点A,E同时在抛物线上或同时不在抛物线上. 当抛物线过点A,E,B时,把B(1,2),A(-1,5)代入,得$\begin{cases}a(1-2)^2+k=2,\\a(-1-2)^2+k=5,\end{cases}$解得$a=\frac{3}{8}$; 当抛物线过点A,E,C时,把A(-1,5),C(2,1)代入,得$\begin{cases}a(-1-2)^2+k=5,\\a(2-2)^2+k=1,\end{cases}$解得$a=\frac{4}{9}$; 当抛物线过点A,E,D时,把A(-1,5),D(3,-1)代入,得$\begin{cases}a(-1-2)^2+k=5,\\a(3-2)^2+k=-1,\end{cases}$解得$a=\frac{3}{4}$; 当抛物线过点B,C,D时,把C(2,1)代入,得k=1,
∴ y=a(x-2)^2+1,把B(1,2)代入,得a+1=2,解得a=1,把D(3,-1)代入,得a+1=-1,解得a=-2,
∴ B,C,D三点不能同时在抛物线上. 综上,a的值可能为$\frac{3}{8},\frac{4}{9},\frac{3}{4}$,不可能为$\frac{2}{3}$,故选C.
解析
【分析】
首先观察抛物线解析式为顶点式，可先确定其对称轴与开口方向，再分析已知点的坐标特征：发现A、E两点纵坐标相同，横坐标中点恰好为抛物线对称轴x=2，因此A、E两点要么同时在抛物线上，要么同时不在抛物线上。接下来分两类讨论：①抛物线同时经过A、E，再分别搭配B、C、D三点中的一个，代入解析式计算对应的a值；②抛物线不经过A、E，此时需经过B、C、D三点，代入验证三点能否同时在抛物线上，最后结合选项判断不可能的a值即可。
【解析】
∵抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$。
∵$A(-1,5)$，$E(5,5)$，且$\frac{-1+5}{2}=2$，
∴点A、E关于直线$x=2$对称，两点同时在抛物线上或同时不在抛物线上。
情况1：抛物线经过A、E两点：
①若同时过点$B(1,2)$，将B、A坐标代入解析式得：
$\begin{cases}a(1-2)^2+k=2\\a(-1-2)^2+k=5\end{cases}$，解得$a=\frac{3}{8}$；
②若同时过点$C(2,1)$，将A、C坐标代入解析式得：
$\begin{cases}a(-1-2)^2+k=5\\a(2-2)^2+k=1\end{cases}$，解得$a=\frac{4}{9}$；
③若同时过点$D(3,-1)$，将A、D坐标代入解析式得：
$\begin{cases}a(-1-2)^2+k=5\\a(3-2)^2+k=-1\end{cases}$，解得$a=\frac{3}{4}$；
情况2：抛物线不经过A、E两点，此时需经过B、C、D三点：
将$C(2,1)$代入解析式得$k=1$，即$y=a(x-2)^2+1$，
将$B(1,2)$代入得$a+1=2$，解得$a=1$；
将$D(3,-1)$代入得$a+1=-1$，解得$a=-2$，两个a值矛盾，因此B、C、D三点不能同时在抛物线上。
综上，满足条件的a的值可能为$\frac{3}{8}、\frac{4}{9}、\frac{3}{4}$，不可能为$\frac{2}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；待定系数法求解析式；分类讨论思想
【点评】
本题围绕二次函数过定点的问题设置，重点考查二次函数的对称性、图象上点的坐标特征，解题的关键是先利用对称性确定A、E两点的共存性，再分情况计算验证，能有效考查逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
首先观察抛物线解析式为顶点式，可先确定其对称轴与开口方向，再分析已知点的坐标特征：发现A、E两点纵坐标相同，横坐标中点恰好为抛物线对称轴x=2，因此A、E两点要么同时在抛物线上，要么同时不在抛物线上。接下来分两类讨论：①抛物线同时经过A、E，再分别搭配B、C、D三点中的一个，代入解析式计算对应的a值；②抛物线不经过A、E，此时需经过B、C、D三点，代入验证三点能否同时在抛物线上，最后结合选项判断不可能的a值即可。
【解析】
∵抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$。
∵$A(-1,5)$，$E(5,5)$，且$\frac{-1+5}{2}=2$，
∴点A、E关于直线$x=2$对称，两点同时在抛物线上或同时不在抛物线上。
情况1：抛物线经过A、E两点：
①若同时过点$B(1,2)$，将B、A坐标代入解析式得：
$\begin{cases}a(1-2)^2+k=2\\a(-1-2)^2+k=5\end{cases}$，解得$a=\frac{3}{8}$；
②若同时过点$C(2,1)$，将A、C坐标代入解析式得：
$\begin{cases}a(-1-2)^2+k=5\\a(2-2)^2+k=1\end{cases}$，解得$a=\frac{4}{9}$；
③若同时过点$D(3,-1)$，将A、D坐标代入解析式得：
$\begin{cases}a(-1-2)^2+k=5\\a(3-2)^2+k=-1\end{cases}$，解得$a=\frac{3}{4}$；
情况2：抛物线不经过A、E两点，此时需经过B、C、D三点：
将$C(2,1)$代入解析式得$k=1$，即$y=a(x-2)^2+1$，
将$B(1,2)$代入得$a+1=2$，解得$a=1$；
将$D(3,-1)$代入得$a+1=-1$，解得$a=-2$，两个a值矛盾，因此B、C、D三点不能同时在抛物线上。
综上，满足条件的a的值可能为$\frac{3}{8}、\frac{4}{9}、\frac{3}{4}$，不可能为$\frac{2}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；待定系数法求解析式；分类讨论思想
【点评】
本题围绕二次函数过定点的问题设置，重点考查二次函数的对称性、图象上点的坐标特征，解题的关键是先利用对称性确定A、E两点的共存性，再分情况计算验证，能有效考查逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
2[2025广东广州中考]若抛物线$y=x^2 -6mx +6m^2 +5m +3$的顶点在直线$y=x+2$上，则m的值为
1或$-\frac{1}{3}$
.答案
2. 1或$-\frac{1}{3}$ 【解析】
∵ $y=x^2 -6mx +6m^2 +5m +3 = x^2 -6mx +9m^2 -9m^2 +6m^2 +5m +3 = (x - 3m)^2 - 3m^2 +5m +3$,
∴ 抛物线$y=x^2 -6mx +6m^2 +5m +3$的顶点坐标为$(3m, -3m^2 +5m +3)$. 把$(3m, -3m^2 +5m +3)$代入$y=x+2$，得$-3m^2+5m+3=3m+2$，整理得$3m^2-2m-1=0$，解得$m_1=1,m_2=-\frac{1}{3}$.
∵ $y=x^2 -6mx +6m^2 +5m +3 = x^2 -6mx +9m^2 -9m^2 +6m^2 +5m +3 = (x - 3m)^2 - 3m^2 +5m +3$,
∴ 抛物线$y=x^2 -6mx +6m^2 +5m +3$的顶点坐标为$(3m, -3m^2 +5m +3)$. 把$(3m, -3m^2 +5m +3)$代入$y=x+2$，得$-3m^2+5m+3=3m+2$，整理得$3m^2-2m-1=0$，解得$m_1=1,m_2=-\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
解决本题可按两个步骤思考：第一步，先求抛物线的顶点坐标，对于二次函数一般式，可通过配方法转化为顶点式，直接得到顶点的横、纵坐标；第二步，顶点在直线上说明顶点坐标满足直线的解析式，将顶点坐标代入直线方程，得到关于m的一元二次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
首先对抛物线解析式进行配方：
$\begin{aligned}y&=x^2 -6mx +6m^2 +5m +3\\&=x^2 -6mx +9m^2 -9m^2 +6m^2 +5m +3\\&=(x-3m)^2 -3m^2 +5m +3\end{aligned}$
因此抛物线的顶点坐标为$(3m, -3m^2 +5m +3)$。
因为顶点在直线$y=x+2$上，将顶点坐标代入直线解析式得：
$-3m^2 +5m +3 = 3m + 2$
整理可得：
$3m^2 -2m -1 = 0$
因式分解得$(3m+1)(m-1)=0$，解得$m_1=1$，$m_2=-\frac{1}{3}$。
【答案】
1或$-\frac{1}{3}$
【知识点】
二次函数顶点坐标求法；点与函数图象的关系；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于二次函数与一次函数的综合基础题，核心考察函数图象上的点与对应解析式的关系，解题关键是正确求出二次函数的顶点坐标，计算时要注意避免配方、解方程环节出现运算失误。
【难度系数】
0.7
解决本题可按两个步骤思考：第一步，先求抛物线的顶点坐标，对于二次函数一般式，可通过配方法转化为顶点式，直接得到顶点的横、纵坐标；第二步，顶点在直线上说明顶点坐标满足直线的解析式，将顶点坐标代入直线方程，得到关于m的一元二次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
首先对抛物线解析式进行配方：
$\begin{aligned}y&=x^2 -6mx +6m^2 +5m +3\\&=x^2 -6mx +9m^2 -9m^2 +6m^2 +5m +3\\&=(x-3m)^2 -3m^2 +5m +3\end{aligned}$
因此抛物线的顶点坐标为$(3m, -3m^2 +5m +3)$。
因为顶点在直线$y=x+2$上，将顶点坐标代入直线解析式得：
$-3m^2 +5m +3 = 3m + 2$
整理可得：
$3m^2 -2m -1 = 0$
因式分解得$(3m+1)(m-1)=0$，解得$m_1=1$，$m_2=-\frac{1}{3}$。
【答案】
1或$-\frac{1}{3}$
【知识点】
二次函数顶点坐标求法；点与函数图象的关系；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于二次函数与一次函数的综合基础题，核心考察函数图象上的点与对应解析式的关系，解题关键是正确求出二次函数的顶点坐标，计算时要注意避免配方、解方程环节出现运算失误。
【难度系数】
0.7
3[2025江苏盐城中考]已知二次函数$y=x^2 -2x -3$，当自变量$x$满足$0≤x≤4$时，$y$的取值范围是。
答案
解：将二次函数解析式配方，得
$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$
该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，且$1$在取值范围$0≤ x≤4$内。
当$x=1$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{min}}=-4$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=0^2-2×0-3=-3$；
当$x=4$时，$y=4^2-2×4-3=5$。
比较可得$y$在$0≤ x≤4$上的最大值为$5$。
因此$y$的取值范围是$\boldsymbol{-4≤ y≤5}$。
$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$
该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，且$1$在取值范围$0≤ x≤4$内。
当$x=1$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{min}}=-4$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=0^2-2×0-3=-3$；
当$x=4$时，$y=4^2-2×4-3=5$。
比较可得$y$在$0≤ x≤4$上的最大值为$5$。
因此$y$的取值范围是$\boldsymbol{-4≤ y≤5}$。
解析
【分析】
要计算二次函数在给定区间内的y的取值范围，可按以下思路推导：首先通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，确定函数的开口方向、对称轴，判断对称轴是否落在自变量的取值区间内；由于该二次函数开口向上，若对称轴在区间内，顶点处的函数值就是y的最小值；最后计算区间两个端点的函数值，比较得出最大值，结合最值即可得到y的完整取值范围。
【解析】
将二次函数解析式配方，得：
$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$
该二次函数二次项系数为1＞0，因此开口向上，对称轴为直线$x=1$，且$1$在取值范围$0≤ x≤4$内。
当$x=1$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{min}}=-4$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=0^2-2×0-3=-3$；
当$x=4$时，$y=4^2-2×4-3=5$。
比较可得$y$在$0≤ x≤4$上的最大值为5。
因此$y$的取值范围是$-4≤ y≤5$。
【答案】
$\boldsymbol{-4≤ y≤5}$
【知识点】
配方法、二次函数的图象与性质、二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数取值范围求解的基础典型题，解题的核心易错点是直接代入区间两端点计算最值，忽略顶点是否在取值区间内的判断，是对二次函数性质应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.7
要计算二次函数在给定区间内的y的取值范围，可按以下思路推导：首先通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，确定函数的开口方向、对称轴，判断对称轴是否落在自变量的取值区间内；由于该二次函数开口向上，若对称轴在区间内，顶点处的函数值就是y的最小值；最后计算区间两个端点的函数值，比较得出最大值，结合最值即可得到y的完整取值范围。
【解析】
将二次函数解析式配方，得：
$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$
该二次函数二次项系数为1＞0，因此开口向上，对称轴为直线$x=1$，且$1$在取值范围$0≤ x≤4$内。
当$x=1$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{min}}=-4$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=0^2-2×0-3=-3$；
当$x=4$时，$y=4^2-2×4-3=5$。
比较可得$y$在$0≤ x≤4$上的最大值为5。
因此$y$的取值范围是$-4≤ y≤5$。
【答案】
$\boldsymbol{-4≤ y≤5}$
【知识点】
配方法、二次函数的图象与性质、二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数取值范围求解的基础典型题，解题的核心易错点是直接代入区间两端点计算最值，忽略顶点是否在取值区间内的判断，是对二次函数性质应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.7
4[2025安徽中考]已知抛物线$y=ax^2+bx(a≠0)$经过点$(4,0)$。
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$分别在抛物线$y=ax^2+bx$和$y=x^2-2x$上(A,B与原点都不重合)。
(i)若$a=\frac{1}{2}$，且$x_1=x_2$，比较$y_1$与$y_2$的大小；
(ii)当$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$时，若$\frac{x_2}{x_1}$是一个与$x_1$无关的定值，求$a$与$b$的值。
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$分别在抛物线$y=ax^2+bx$和$y=x^2-2x$上(A,B与原点都不重合)。
(i)若$a=\frac{1}{2}$，且$x_1=x_2$，比较$y_1$与$y_2$的大小；
(ii)当$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$时，若$\frac{x_2}{x_1}$是一个与$x_1$无关的定值，求$a$与$b$的值。
答案
(1) 解：抛物线$y=ax^2+bx(a≠0)$经过点$(4,0)$，代入得$16a+4b=0$，即$b=-4a$，抛物线表达式为$y=ax^2-4ax$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4a}{2a}=2$。
(2)(i) 若$a=\frac{1}{2}$，则抛物线为$y=\frac{1}{2}x^2-2x$，$y_1=\frac{1}{2}x_1^2-2x_1$，$y_2=x_2^2-2x_2$，且$x_1=x_2$，$y_2-y_1=(x_1^2-2x_1)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=\frac{1}{2}x_1^2$。因为抛物线$y=\frac{1}{2}x^2-2x$过原点，且点A与原点不重合，所以$x_1≠0$，所以$\frac{1}{2}x_1^2＞0$，故$y_2＞y_1$。
(ii) 由题意知，$y_1=ax_1^2-4ax_1$，$y_2=x_2^2-2x_2$。因为$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$，所以$\frac{x_2^2-2x_2}{a(x_1^2-4x_1)}=\frac{x_2}{x_1}$。因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以$x_1≠0,x_2≠0$，故$\frac{x_2-2}{a(x_1-4)}=1$，即$x_2=a(x_1-4)+2$，所以$\frac{x_2}{x_1}=\frac{a(x_1-4)+2}{x_1}=a+\frac{2-4a}{x_1}$。依题意知，$a+\frac{2-4a}{x_1}$是与$x_1$无关的定值。不妨将$x_1=1$和$x_1=2$分别代入$a+\frac{2-4a}{x_1}$，可得$2-3a=1-a$，解得$a=\frac{1}{2}$。经检验，当$a=\frac{1}{2}$时，$\frac{x_2}{x_1}=\frac{1}{2}$是一个与$x_1$无关的定值，符合题意，所以$a=\frac{1}{2},b=-4a=-2$。
(2)(i) 若$a=\frac{1}{2}$，则抛物线为$y=\frac{1}{2}x^2-2x$，$y_1=\frac{1}{2}x_1^2-2x_1$，$y_2=x_2^2-2x_2$，且$x_1=x_2$，$y_2-y_1=(x_1^2-2x_1)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=\frac{1}{2}x_1^2$。因为抛物线$y=\frac{1}{2}x^2-2x$过原点，且点A与原点不重合，所以$x_1≠0$，所以$\frac{1}{2}x_1^2＞0$，故$y_2＞y_1$。
(ii) 由题意知，$y_1=ax_1^2-4ax_1$，$y_2=x_2^2-2x_2$。因为$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$，所以$\frac{x_2^2-2x_2}{a(x_1^2-4x_1)}=\frac{x_2}{x_1}$。因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以$x_1≠0,x_2≠0$，故$\frac{x_2-2}{a(x_1-4)}=1$，即$x_2=a(x_1-4)+2$，所以$\frac{x_2}{x_1}=\frac{a(x_1-4)+2}{x_1}=a+\frac{2-4a}{x_1}$。依题意知，$a+\frac{2-4a}{x_1}$是与$x_1$无关的定值。不妨将$x_1=1$和$x_1=2$分别代入$a+\frac{2-4a}{x_1}$，可得$2-3a=1-a$，解得$a=\frac{1}{2}$。经检验，当$a=\frac{1}{2}$时，$\frac{x_2}{x_1}=\frac{1}{2}$是一个与$x_1$无关的定值，符合题意，所以$a=\frac{1}{2},b=-4a=-2$。
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先将已知点(4,0)代入抛物线解析式，得到a与b的数量关系，再代入二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$即可求出对称轴；也可根据抛物线无常数项，必过原点(0,0)，两个零点的中点即为对称轴。
(2)(i) 解题思路：已知a的取值，先写出$y_1$的表达式，结合$x_1=x_2$的条件，用作差法计算$y_2-y_1$，根据点A不与原点重合可得$x_1≠0$，判断差的正负即可比较$y_1$和$y_2$的大小。
(2)(ii) 解题思路：将$y_1$、$y_2$的表达式代入已知的比例关系，结合A、B均不与原点重合，可得$x_1≠0$、$x_2≠0$，对等式约分化简得到$x_2$与$x_1$的关系，再整理出$\frac{x_2}{x_1}$的表达式，要使该值与$x_1$无关，需让含$x_1$的项的系数为0，据此求出a的值，再结合第一问得到的$b=-4a$即可求出b的值。
【解析】
(1) 抛物线$y=ax^2+bx(a≠0)$经过点$(4,0)$，代入得$16a+4b=0$，即$b=-4a$，抛物线表达式为$y=ax^2-4ax$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4a}{2a}=2$。
(2)(i) 若$a=\frac{1}{2}$，则抛物线为$y=\frac{1}{2}x^2-2x$，$y_1=\frac{1}{2}x_1^2-2x_1$，$y_2=x_2^2-2x_2$，且$x_1=x_2$，$y_2-y_1=(x_1^2-2x_1)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=\frac{1}{2}x_1^2$。因为抛物线$y=\frac{1}{2}x^2-2x$过原点，且点A与原点不重合，所以$x_1≠0$，所以$\frac{1}{2}x_1^2＞0$，故$y_2＞y_1$。
(ii) 由题意知，$y_1=ax_1^2-4ax_1$，$y_2=x_2^2-2x_2$。因为$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$，所以$\frac{x_2^2-2x_2}{a(x_1^2-4x_1)}=\frac{x_2}{x_1}$。因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以$x_1≠0,x_2≠0$，故$\frac{x_2-2}{a(x_1-4)}=1$，即$x_2=a(x_1-4)+2$，所以$\frac{x_2}{x_1}=\frac{a(x_1-4)+2}{x_1}=a+\frac{2-4a}{x_1}$。依题意知，$a+\frac{2-4a}{x_1}$是与$x_1$无关的定值，因此含$x_1$的项的系数为0，即$2-4a=0$，解得$a=\frac{1}{2}$。经检验，当$a=\frac{1}{2}$时，$\frac{x_2}{x_1}=\frac{1}{2}$是一个与$x_1$无关的定值，符合题意，所以$b=-4a=-2$。
【答案】
(1) 直线$x=2$；
(2)(i) $y_2＞y_1$；
(ii) $a=\frac{1}{2},b=-2$
【知识点】
1.二次函数对称轴计算
2.作差法比较大小
3.分式定值条件
【点评】
本题以二次函数为载体逐层设置问题，既考查了二次函数基础性质、代数式运算等基础能力，也考查了对定值类问题的逻辑分析能力，是典型的二次函数基础综合题。
【难度系数】
0.6
(1) 解题思路：首先将已知点(4,0)代入抛物线解析式，得到a与b的数量关系，再代入二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$即可求出对称轴；也可根据抛物线无常数项，必过原点(0,0)，两个零点的中点即为对称轴。
(2)(i) 解题思路：已知a的取值，先写出$y_1$的表达式，结合$x_1=x_2$的条件，用作差法计算$y_2-y_1$，根据点A不与原点重合可得$x_1≠0$，判断差的正负即可比较$y_1$和$y_2$的大小。
(2)(ii) 解题思路：将$y_1$、$y_2$的表达式代入已知的比例关系，结合A、B均不与原点重合，可得$x_1≠0$、$x_2≠0$，对等式约分化简得到$x_2$与$x_1$的关系，再整理出$\frac{x_2}{x_1}$的表达式，要使该值与$x_1$无关，需让含$x_1$的项的系数为0，据此求出a的值，再结合第一问得到的$b=-4a$即可求出b的值。
【解析】
(1) 抛物线$y=ax^2+bx(a≠0)$经过点$(4,0)$，代入得$16a+4b=0$，即$b=-4a$，抛物线表达式为$y=ax^2-4ax$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4a}{2a}=2$。
(2)(i) 若$a=\frac{1}{2}$，则抛物线为$y=\frac{1}{2}x^2-2x$，$y_1=\frac{1}{2}x_1^2-2x_1$，$y_2=x_2^2-2x_2$，且$x_1=x_2$，$y_2-y_1=(x_1^2-2x_1)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=\frac{1}{2}x_1^2$。因为抛物线$y=\frac{1}{2}x^2-2x$过原点，且点A与原点不重合，所以$x_1≠0$，所以$\frac{1}{2}x_1^2＞0$，故$y_2＞y_1$。
(ii) 由题意知，$y_1=ax_1^2-4ax_1$，$y_2=x_2^2-2x_2$。因为$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$，所以$\frac{x_2^2-2x_2}{a(x_1^2-4x_1)}=\frac{x_2}{x_1}$。因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以$x_1≠0,x_2≠0$，故$\frac{x_2-2}{a(x_1-4)}=1$，即$x_2=a(x_1-4)+2$，所以$\frac{x_2}{x_1}=\frac{a(x_1-4)+2}{x_1}=a+\frac{2-4a}{x_1}$。依题意知，$a+\frac{2-4a}{x_1}$是与$x_1$无关的定值，因此含$x_1$的项的系数为0，即$2-4a=0$，解得$a=\frac{1}{2}$。经检验，当$a=\frac{1}{2}$时，$\frac{x_2}{x_1}=\frac{1}{2}$是一个与$x_1$无关的定值，符合题意，所以$b=-4a=-2$。
【答案】
(1) 直线$x=2$；
(2)(i) $y_2＞y_1$；
(ii) $a=\frac{1}{2},b=-2$
【知识点】
1.二次函数对称轴计算
2.作差法比较大小
3.分式定值条件
【点评】
本题以二次函数为载体逐层设置问题，既考查了二次函数基础性质、代数式运算等基础能力，也考查了对定值类问题的逻辑分析能力，是典型的二次函数基础综合题。
【难度系数】
0.6
5 [2025安徽中考]已知二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象如图
所示，则（
A.$abc＜0$
B.$2a+b＜0$
C.$2b-c＜0$
D.$a-b+c＜0$
所示，则（C
）A.$abc＜0$
B.$2a+b＜0$
C.$2b-c＜0$
D.$a-b+c＜0$
答案
5.C 【解析】
∵ 抛物线开口向上,
∴ a＞0.
∵ 抛物线对称轴在y轴右侧,
∴ $-\frac{b}{2a}＞0$,
∴ b＜0.
∵ 抛物线与y轴交于负半轴,
∴ c＜0,
∴ abc＞0,故A选项错误. 由题图易知$-\frac{b}{2a}＜1$,
∴ -b＜2a,
∴ 2a+b＞0,故B选项错误.
∵ 抛物线过点(2,0),
∴ 4a+2b+c=0,
∴ c=-4a-2b,
∴ 2b-c=2b+4a+2b=4(a+b). 由题图易知$-\frac{b}{2a}＞\frac{1}{2}$,
∴ a+b＜0,
∴ 2b-c＜0,故C选项正确. 由图象可知,当x=-1时,y＞0,
∴ a-b+c＞0,故D选项错误. 故选C.
∵ 抛物线开口向上,
∴ a＞0.
∵ 抛物线对称轴在y轴右侧,
∴ $-\frac{b}{2a}＞0$,
∴ b＜0.
∵ 抛物线与y轴交于负半轴,
∴ c＜0,
∴ abc＞0,故A选项错误. 由题图易知$-\frac{b}{2a}＜1$,
∴ -b＜2a,
∴ 2a+b＞0,故B选项错误.
∵ 抛物线过点(2,0),
∴ 4a+2b+c=0,
∴ c=-4a-2b,
∴ 2b-c=2b+4a+2b=4(a+b). 由题图易知$-\frac{b}{2a}＞\frac{1}{2}$,
∴ a+b＜0,
∴ 2b-c＜0,故C选项正确. 由图象可知,当x=-1时,y＞0,
∴ a-b+c＞0,故D选项错误. 故选C.
解析
【分析】
解决这类二次函数图象与系数关系的题目，按三步思考：1. 先根据抛物线开口方向判断a的符号，结合对称轴位置用“左同右异”判断b的符号，再由抛物线与y轴交点位置判断c的符号；2. 结合对称轴的取值范围、抛物线与x轴的交点坐标，推导a、b、c之间的数量关系；3. 对每个选项逐一验证，涉及特殊值的代数式可代入对应x的函数值判断正负。
【解析】
解：①判断a、b、c的符号：
∵ 抛物线开口向上，
∴ $a＞0$；
∵ 抛物线对称轴在y轴右侧，即 $-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$，可得 $b＜0$；
∵ 抛物线与y轴交于负半轴，
∴ $c＜0$。
②逐个判断选项：
A选项：$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，则$abc＞0$，故A错误；
B选项：由图象可知对称轴$-\frac{b}{2a}＜1$，两边同乘$2a$（$a＞0$，不等号方向不变）得$-b＜2a$，移项得$2a+b＞0$，故B错误；
C选项：
∵ 抛物线过点$(2,0)$，代入函数解析式得$4a+2b+c=0$，变形得$c=-4a-2b$，
∴ $2b-c=2b-(-4a-2b)=4a+4b=4(a+b)$；
又
∵ 抛物线左侧零点在$(-1,0)$之间，右侧零点为$2$，故对称轴横坐标$-\frac{b}{2a}＞\frac{-1+2}{2}=\frac{1}{2}$，
两边同乘$2a$得$-b＞a$，移项得$a+b＜0$，
∴ $4(a+b)＜0$，即$2b-c＜0$，故C正确；
D选项：由图象可知，当$x=-1$时，函数图象在x轴上方，即$y＞0$，代入$x=-1$得$y=a-b+c＞0$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系，二次函数的性质，二次函数点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的常考题型，核心考查对函数图象信息的提取能力，以及结合代数变形判断代数式正负的能力，解题的关键是熟练掌握二次函数系数与图象特征的对应规律，灵活运用特殊点的函数值推导数量关系。
【难度系数】
0.6
解决这类二次函数图象与系数关系的题目，按三步思考：1. 先根据抛物线开口方向判断a的符号，结合对称轴位置用“左同右异”判断b的符号，再由抛物线与y轴交点位置判断c的符号；2. 结合对称轴的取值范围、抛物线与x轴的交点坐标，推导a、b、c之间的数量关系；3. 对每个选项逐一验证，涉及特殊值的代数式可代入对应x的函数值判断正负。
【解析】
解：①判断a、b、c的符号：
∵ 抛物线开口向上，
∴ $a＞0$；
∵ 抛物线对称轴在y轴右侧，即 $-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$，可得 $b＜0$；
∵ 抛物线与y轴交于负半轴，
∴ $c＜0$。
②逐个判断选项：
A选项：$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，则$abc＞0$，故A错误；
B选项：由图象可知对称轴$-\frac{b}{2a}＜1$，两边同乘$2a$（$a＞0$，不等号方向不变）得$-b＜2a$，移项得$2a+b＞0$，故B错误；
C选项：
∵ 抛物线过点$(2,0)$，代入函数解析式得$4a+2b+c=0$，变形得$c=-4a-2b$，
∴ $2b-c=2b-(-4a-2b)=4a+4b=4(a+b)$；
又
∵ 抛物线左侧零点在$(-1,0)$之间，右侧零点为$2$，故对称轴横坐标$-\frac{b}{2a}＞\frac{-1+2}{2}=\frac{1}{2}$，
两边同乘$2a$得$-b＞a$，移项得$a+b＜0$，
∴ $4(a+b)＜0$，即$2b-c＜0$，故C正确；
D选项：由图象可知，当$x=-1$时，函数图象在x轴上方，即$y＞0$，代入$x=-1$得$y=a-b+c＞0$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系，二次函数的性质，二次函数点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的常考题型，核心考查对函数图象信息的提取能力，以及结合代数变形判断代数式正负的能力，解题的关键是熟练掌握二次函数系数与图象特征的对应规律，灵活运用特殊点的函数值推导数量关系。
【难度系数】
0.6
6[2025湖北武汉中考]已知二次函数$y=ax^2+(a-2)x-2$（$a$为常数，且$a≠0$）.下列五个结论：
①该函数图象经过点$(-1,0)$；
②若$a=-1$，则当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小；
③该函数图象与$x$轴有两个不同的公共点；
④若$a＞2$，则关于$x$的方程$ax^2+(a-2)x-2=0$有一个根大于0且小于1；
⑤若$a＞2$，则关于$x$的方程$|ax^2+(a-2)x-2|=2$的正数根只有一个.
其中正确的是
①该函数图象经过点$(-1,0)$；
②若$a=-1$，则当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小；
③该函数图象与$x$轴有两个不同的公共点；
④若$a＞2$，则关于$x$的方程$ax^2+(a-2)x-2=0$有一个根大于0且小于1；
⑤若$a＞2$，则关于$x$的方程$|ax^2+(a-2)x-2|=2$的正数根只有一个.
其中正确的是
①②④⑤
（填写序号）.答案
6. ①②④⑤ 【解析】把x=-1代入$y=ax^2+(a-2)x-2$,得y=a+2-a-2=0,故该函数图象经过点(-1,0),故①正确. 当a=-1时,该二次函数图象开口向下,对称轴为直线$x=-\frac{a-2}{2a}=-\frac{3}{2}$,
∴ 当$x＞-\frac{3}{2}$时,y随x的增大而减小,
∴ 当x＞-1时,y随x的增大而减小,故②正确.
∵ Δ=$(a-2)^2+8a=(a+2)^2≥0$,
∴ 该函数图象与x轴有两个不同的公共点或只有一个公共点,故③错误. 由①可知关于x的方程$ax^2+(a-2)x-2=0$有一个根为-1,设另一个根为$x_2$,
∴ $-1·x_2=-\frac{2}{a}$,
∴ $x_2=\frac{2}{a}$. 当a＞2时,有$0＜\frac{2}{a}＜1$,即关于x的方程$ax^2+(a-2)x-2=0$有一个根大于0且小于1,故④正确. 当a＞2时,对称轴为直线$x=\frac{2-a}{2a}=\frac{1}{a}-\frac{1}{2}＜0$,
∴ 易得关于x的方程$ax^2+(a-2)x-2=-2$有两个非正数解,将$y=ax^2+(a-2)x-2$在x轴下方的图象沿x轴翻折可得函数$y=|ax^2+(a-2)x-2|$的图象,如图
. 令y=2,则直线y=2与$y=|ax^2+(a-2)x-2|$的图象共有四个不同交点,其中只有一个交点横坐标为正,即关于x的方程$|ax^2+(a-2)x-2|=2$的正数根只有一个,故⑤正确. 故答案为①②④⑤.解析
【分析】
我们可以逐个验证5个结论的正误：①验证函数过定点，直接将点的横坐标代入解析式计算纵坐标即可；②判断二次函数增减性，先确定开口方向和对称轴，再判断指定区间的增减规律；③判断函数与x轴的交点个数，计算判别式Δ，注意Δ≥0包含Δ=0的情况，即仅存在1个公共点的情形；④判断方程根的范围，可借助韦达定理求出两根的关系，结合a的范围判断根的区间；⑤判断带绝对值的方程的正根个数，可转化为绝对值函数和直线y=2的交点问题，结合函数图象翻折的性质分析交点横坐标的正负即可。
【解析】
①把$x=-1$代入$y=ax^2+(a-2)x-2$，得$y=a-(a-2)-2=0$，故该函数图象经过点$(-1,0)$，①正确。
②若$a=-1$，二次函数解析式为$y=-x^2-3x-2$，图象开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2×(-1)}=-\frac{3}{2}$，因此当$x＞-\frac{3}{2}$时，$y$随$x$的增大而减小，$x＞-1$在$x＞-\frac{3}{2}$范围内，故当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小，②正确。
③计算判别式$\Delta=(a-2)^2+8a=(a+2)^2≥0$，当$a=-2$时$\Delta=0$，此时函数图象与x轴仅有1个公共点，因此“两个不同公共点”的表述错误，③错误。
④由①可知方程$ax^2+(a-2)x-2=0$有一个根为$x=-1$，设另一根为$x_2$，根据韦达定理，两根之积为$-\frac{2}{a}$，即$-1·x_2=-\frac{2}{a}$，解得$x_2=\frac{2}{a}$。当$a＞2$时，$0＜\frac{2}{a}＜1$，即方程有一个根大于0且小于1，④正确。
⑤当$a＞2$时，二次函数对称轴为直线$x=\frac{2-a}{2a}=\frac{1}{a}-\frac{1}{2}＜0$，对称轴在y轴左侧。方程$|ax^2+(a-2)x-2|=2$等价于$ax^2+(a-2)x-2=±2$，解$ax^2+(a-2)x-2=-2$得$x=0$或$x=\frac{2-a}{a}＜0$，两根均为非正数；将二次函数x轴下方的图象沿x轴翻折得到$y=|ax^2+(a-2)x-2|$的图象，直线$y=2$与该图象共有4个交点，结合图象可知仅1个交点的横坐标为正，即正数根只有1个，⑤正确。
【答案】
①②④⑤
【知识点】
二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，绝对值函数图象
【点评】
本题综合性较强，既需要掌握代入求值、判别式、韦达定理等代数计算方法，也需要结合函数图象分析问题，考查函数与方程的转化思想，需要仔细甄别每个结论的表述细节避免出错。
【难度系数】
0.5
我们可以逐个验证5个结论的正误：①验证函数过定点，直接将点的横坐标代入解析式计算纵坐标即可；②判断二次函数增减性，先确定开口方向和对称轴，再判断指定区间的增减规律；③判断函数与x轴的交点个数，计算判别式Δ，注意Δ≥0包含Δ=0的情况，即仅存在1个公共点的情形；④判断方程根的范围，可借助韦达定理求出两根的关系，结合a的范围判断根的区间；⑤判断带绝对值的方程的正根个数，可转化为绝对值函数和直线y=2的交点问题，结合函数图象翻折的性质分析交点横坐标的正负即可。
【解析】
①把$x=-1$代入$y=ax^2+(a-2)x-2$，得$y=a-(a-2)-2=0$，故该函数图象经过点$(-1,0)$，①正确。
②若$a=-1$，二次函数解析式为$y=-x^2-3x-2$，图象开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2×(-1)}=-\frac{3}{2}$，因此当$x＞-\frac{3}{2}$时，$y$随$x$的增大而减小，$x＞-1$在$x＞-\frac{3}{2}$范围内，故当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小，②正确。
③计算判别式$\Delta=(a-2)^2+8a=(a+2)^2≥0$，当$a=-2$时$\Delta=0$，此时函数图象与x轴仅有1个公共点，因此“两个不同公共点”的表述错误，③错误。
④由①可知方程$ax^2+(a-2)x-2=0$有一个根为$x=-1$，设另一根为$x_2$，根据韦达定理，两根之积为$-\frac{2}{a}$，即$-1·x_2=-\frac{2}{a}$，解得$x_2=\frac{2}{a}$。当$a＞2$时，$0＜\frac{2}{a}＜1$，即方程有一个根大于0且小于1，④正确。
⑤当$a＞2$时，二次函数对称轴为直线$x=\frac{2-a}{2a}=\frac{1}{a}-\frac{1}{2}＜0$，对称轴在y轴左侧。方程$|ax^2+(a-2)x-2|=2$等价于$ax^2+(a-2)x-2=±2$，解$ax^2+(a-2)x-2=-2$得$x=0$或$x=\frac{2-a}{a}＜0$，两根均为非正数；将二次函数x轴下方的图象沿x轴翻折得到$y=|ax^2+(a-2)x-2|$的图象，直线$y=2$与该图象共有4个交点，结合图象可知仅1个交点的横坐标为正，即正数根只有1个，⑤正确。
【答案】
①②④⑤
【知识点】
二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，绝对值函数图象
【点评】
本题综合性较强，既需要掌握代入求值、判别式、韦达定理等代数计算方法，也需要结合函数图象分析问题，考查函数与方程的转化思想，需要仔细甄别每个结论的表述细节避免出错。
【难度系数】
0.5
7 [2025江苏连云港中考]如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线$y=a(x-3)^2+2.5$运行，其中$x$是铅球离初始位置的水平距离，$y$是铅球离地面的高度. 若铅球抛出时离地面的高度$OA$为$1.6\ \mathrm{m}$，则铅球掷出的水平距离$OB$为
8
m. 答案
7. 8 【解析】由题意得,A(0,1.6). 将A(0,1.6)代入$y=a(x-3)^2+2.5$,得$1.6=a(0-3)^2+2.5$,解得$a=-\frac{1}{10}$,
∴ $y=-\frac{1}{10}(x-3)^2+2.5$. 令y=0,得$-\frac{1}{10}(x-3)^2+2.5=0$,解得$x_1=8,x_2=-2$(舍去),
∴ B(8,0),
∴ OB 为8 m,故答案为8.
∴ $y=-\frac{1}{10}(x-3)^2+2.5$. 令y=0,得$-\frac{1}{10}(x-3)^2+2.5=0$,解得$x_1=8,x_2=-2$(舍去),
∴ B(8,0),
∴ OB 为8 m,故答案为8.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：抛物线为顶点式，仅参数a未知，已知初始位置点A坐标为(0,1.6)，所求OB是铅球落地时的水平距离，对应抛物线与x轴正半轴交点的横坐标。首先将点A代入解析式求出参数a，得到完整的抛物线解析式；再令y=0求解一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根，得到的正根即为OB的长度。
【解析】
由题意得点A的坐标为$(0,1.6)$。
将$A(0,1.6)$代入$y=a(x-3)^2+2.5$，得：
$1.6=a(0-3)^2+2.5$
$1.6=9a+2.5$
解得$a=-\frac{1}{10}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{10}(x-3)^2+2.5$。
铅球落地时高度为0，令$y=0$，得：
$-\frac{1}{10}(x-3)^2+2.5=0$
整理得$(x-3)^2=25$
解得$x_1=8$，$x_2=-2$
水平距离不能为负，舍去$x_2=-2$，即点B坐标为$(8,0)$。
【答案】
8
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数实际应用；二次函数与方程的关系
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是理解实际场景中特殊点的坐标对应的函数意义，代入求值、解一元二次方程即可得到结果，注意要结合实际意义舍去不合理解。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：抛物线为顶点式，仅参数a未知，已知初始位置点A坐标为(0,1.6)，所求OB是铅球落地时的水平距离，对应抛物线与x轴正半轴交点的横坐标。首先将点A代入解析式求出参数a，得到完整的抛物线解析式；再令y=0求解一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根，得到的正根即为OB的长度。
【解析】
由题意得点A的坐标为$(0,1.6)$。
将$A(0,1.6)$代入$y=a(x-3)^2+2.5$，得：
$1.6=a(0-3)^2+2.5$
$1.6=9a+2.5$
解得$a=-\frac{1}{10}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{10}(x-3)^2+2.5$。
铅球落地时高度为0，令$y=0$，得：
$-\frac{1}{10}(x-3)^2+2.5=0$
整理得$(x-3)^2=25$
解得$x_1=8$，$x_2=-2$
水平距离不能为负，舍去$x_2=-2$，即点B坐标为$(8,0)$。
【答案】
8
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数实际应用；二次函数与方程的关系
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是理解实际场景中特殊点的坐标对应的函数意义，代入求值、解一元二次方程即可得到结果，注意要结合实际意义舍去不合理解。
【难度系数】
0.8
8[2025四川内江中考]2025年春节期间,我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录,商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品.已知购进A款200个,B款300个,需花费14 000元;购进A款100个,B款200个,需花费8 000元.
(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元?
(2)根据网上预约的情况,如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个,那么至少需要购进B款纪念品多少个?
(3)在销售中,该商家发现每个A款纪念品售价60元时,可售出200个,售价每增加1元,销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价a
(60≤a≤100)元,W表示该商家销售A款纪念品的利润(单位:元),求W关于a的函数表达式,并求出W的最大值.
(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元?
(2)根据网上预约的情况,如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个,那么至少需要购进B款纪念品多少个?
(3)在销售中,该商家发现每个A款纪念品售价60元时,可售出200个,售价每增加1元,销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价a
(60≤a≤100)元,W表示该商家销售A款纪念品的利润(单位:元),求W关于a的函数表达式,并求出W的最大值.
答案
8.【解】(1)设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元,B款“哪吒”纪念品每个进价为y元. 由题意得$\begin{cases}200x+300y=14000,\\100x+200y=8000,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=40,\\y=20.\end{cases}$ 答:A款“哪吒”纪念品每个进价为40元,B款“哪吒”纪念品每个进价为20元.
(2)设需要购进B款纪念品m个,则需要购进A款纪念品(400-m)个. 由题意得$40(400-m)+20m≤12000$,解得m≥200,
∴ m的最小值为200. 答:至少需要购进B款纪念品200个.
(3)由题意得,$W=(a-40)[200-5(a-60)]=(a-40)(200-5a+300)=(a-40)(500-5a)=500a-2000-5a^2+200a=-5(a-70)^2+4500$.
∵ -5＜0,60≤a≤100,
∴ 当a=70时,W最大,最大值为4500.
(2)设需要购进B款纪念品m个,则需要购进A款纪念品(400-m)个. 由题意得$40(400-m)+20m≤12000$,解得m≥200,
∴ m的最小值为200. 答:至少需要购进B款纪念品200个.
(3)由题意得,$W=(a-40)[200-5(a-60)]=(a-40)(200-5a+300)=(a-40)(500-5a)=500a-2000-5a^2+200a=-5(a-70)^2+4500$.
∵ -5＜0,60≤a≤100,
∴ 当a=70时,W最大,最大值为4500.
解析
【分析】
(1) 本题有A、B两款纪念品的进价两个未知量，可设两个未知数，根据题干给出的两种购进方案的总花费，列出二元一次方程组，联立求解即可得到两款纪念品的进价。
(2) 第二问已知总进货数量和总资金上限，求B款的最少进货量，可设B款进货数量为m，用含m的式子表示A款的进货数量，再根据总进货费用不超过12000元列一元一次不等式，解不等式得到m的取值范围后取最小正整数即可。
(3) 第三问求销售利润的函数表达式及最大值，需牢记“总利润=单个利润×销售量”的等量关系：单个利润为售价a减去A款进价，销售量根据“售价每涨1元销量减少5个”的规则，用含a的式子表示，两者相乘得到利润表达式，整理为二次函数顶点式后，结合a的取值范围和二次函数的开口方向，即可求出最大利润。
【解析】
(1) 设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元。
由题意得：
$\begin{cases}200x+300y=14000\\100x+200y=8000\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=40\\y=20\end{cases}$
(2) 设需要购进B款纪念品m个，则购进A款纪念品(400-m)个。
由题意得：$40(400-m)+20m≤12000$
解得：$m≥200$，即m的最小值为200。
(3) 由题意得，单个A款利润为$(a-40)$元，销售量为$[200-5(a-60)]$个，因此：
$W=(a-40)[200-5(a-60)]$
$=(a-40)(200-5a+300)$
$=(a-40)(500-5a)$
$=-5a^2+700a-20000$
$=-5(a-70)^2+4500$
∵$-5＜0$，且$60≤a≤100$，
∴当$a=70$时，W取得最大值，最大值为4500元。
【答案】
(1) A款每个进价40元，B款每个进价20元；
(2) 至少需要购进B款纪念品200个；
(3) W关于a的函数表达式为$W=-5(a-70)^2+4500$（$60≤a≤100$），W的最大值为4500元。
【知识点】
二元一次方程组应用；一元一次不等式应用；二次函数实际应用
【点评】
本题结合热门影视的消费场景命题，难度梯度清晰，依次考查了方程、不等式、函数三类核心代数知识的实际应用，要求学生能准确提取题干中的等量、不等关系，熟练掌握二次函数最值的求解方法，是中考常见的应用类综合题型。
【难度系数】
0.65
(1) 本题有A、B两款纪念品的进价两个未知量，可设两个未知数，根据题干给出的两种购进方案的总花费，列出二元一次方程组，联立求解即可得到两款纪念品的进价。
(2) 第二问已知总进货数量和总资金上限，求B款的最少进货量，可设B款进货数量为m，用含m的式子表示A款的进货数量，再根据总进货费用不超过12000元列一元一次不等式，解不等式得到m的取值范围后取最小正整数即可。
(3) 第三问求销售利润的函数表达式及最大值，需牢记“总利润=单个利润×销售量”的等量关系：单个利润为售价a减去A款进价，销售量根据“售价每涨1元销量减少5个”的规则，用含a的式子表示，两者相乘得到利润表达式，整理为二次函数顶点式后，结合a的取值范围和二次函数的开口方向，即可求出最大利润。
【解析】
(1) 设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元。
由题意得：
$\begin{cases}200x+300y=14000\\100x+200y=8000\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=40\\y=20\end{cases}$
(2) 设需要购进B款纪念品m个，则购进A款纪念品(400-m)个。
由题意得：$40(400-m)+20m≤12000$
解得：$m≥200$，即m的最小值为200。
(3) 由题意得，单个A款利润为$(a-40)$元，销售量为$[200-5(a-60)]$个，因此：
$W=(a-40)[200-5(a-60)]$
$=(a-40)(200-5a+300)$
$=(a-40)(500-5a)$
$=-5a^2+700a-20000$
$=-5(a-70)^2+4500$
∵$-5＜0$，且$60≤a≤100$，
∴当$a=70$时，W取得最大值，最大值为4500元。
【答案】
(1) A款每个进价40元，B款每个进价20元；
(2) 至少需要购进B款纪念品200个；
(3) W关于a的函数表达式为$W=-5(a-70)^2+4500$（$60≤a≤100$），W的最大值为4500元。
【知识点】
二元一次方程组应用；一元一次不等式应用；二次函数实际应用
【点评】
本题结合热门影视的消费场景命题，难度梯度清晰，依次考查了方程、不等式、函数三类核心代数知识的实际应用，要求学生能准确提取题干中的等量、不等关系，熟练掌握二次函数最值的求解方法，是中考常见的应用类综合题型。
【难度系数】
0.65
