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11.[学科特色·分类讨论思想]已知二次函数$y=a(x-1)^2 - a(a≠0)$，当$-1≤x≤4$时，y的最小值为$-4$，则a的值为（
A.$\frac{1}{2}$或4
B.$\frac{4}{3}$或$-\frac{1}{2}$
C.$-\frac{4}{3}$或4
D.$-\frac{1}{2}$或4
D
）A.$\frac{1}{2}$或4
B.$\frac{4}{3}$或$-\frac{1}{2}$
C.$-\frac{4}{3}$或4
D.$-\frac{1}{2}$或4
答案
11.D
12.已知一条抛物线$y=2(x-3)^2+1$，以下说法：①对称轴为直线$x=3$，当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而增大；②$y_{最大值}=1$；③顶点坐标为$(-3,1)$；④开口向上.其中正确的是
①④
.(填序号)答案
12.①④ [解析]
∵抛物线$y=2(x-3)^2+1$，
∴对称轴为直线$x=3$，当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而增大，故①正确；当$x=3$时，函数有最小值1，故②错误；顶点坐标为$(3,1)$，故③错误；函数图象开口向上，故④正确。
∵抛物线$y=2(x-3)^2+1$，
∴对称轴为直线$x=3$，当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而增大，故①正确；当$x=3$时，函数有最小值1，故②错误；顶点坐标为$(3,1)$，故③错误；函数图象开口向上，故④正确。
13.已知抛物线$y=-2(x-3)^2+m$的图象与x轴交于点$A(5,0)$，顶点为$B$.
(1)试确定$m$的值，并写出点$B$的坐标；
(2)若抛物线$y=-2(x-3)^2+m$与y轴交于点$C$，$D$是该抛物线上与点$C$关于对称轴对称的点，求点$D$的坐标；
(3)说明该函数图象与函数$y=-2x^2$的图象的关系.
(1)试确定$m$的值，并写出点$B$的坐标；
(2)若抛物线$y=-2(x-3)^2+m$与y轴交于点$C$，$D$是该抛物线上与点$C$关于对称轴对称的点，求点$D$的坐标；
(3)说明该函数图象与函数$y=-2x^2$的图象的关系.
答案
13.解:(1)将点$A(5,0)$代入$y=-2(x-3)^2+m$中，解得$m=8$，点$B$的坐标为$(3,8)$。
(2)当$x=0$时，$y=-2(0-3)^2+8=-10$，$\therefore C(0,-10)$。又$\because$点$C$，点$D$关于$x=3$对称，$\therefore 3=\frac{0+x}{2}$，$x=6$，$\therefore D(6,-10)$。
(3)该函数图象可由函数$y=-2x^2$的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移8个单位长度得到。
(2)当$x=0$时，$y=-2(0-3)^2+8=-10$，$\therefore C(0,-10)$。又$\because$点$C$，点$D$关于$x=3$对称，$\therefore 3=\frac{0+x}{2}$，$x=6$，$\therefore D(6,-10)$。
(3)该函数图象可由函数$y=-2x^2$的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移8个单位长度得到。
14.[运算能力]已知二次函数$y=-\dfrac{1}{4}(x-3m)^2+3-3m$（$m$是实数）。
(1)小明认为当$m$的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认同他的说法吗？为什么？
(2)已知点$A(a-5,c)$，$B(6m+4,c)$都在该二次函数图象上，求证：$c≤8$。
(1)小明认为当$m$的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认同他的说法吗？为什么？
(2)已知点$A(a-5,c)$，$B(6m+4,c)$都在该二次函数图象上，求证：$c≤8$。
答案
14.(1)解:认同.理由如下:抛物线$y=-\frac{1}{4}(x-3m)^2+3-3m$的顶点坐标为$(3m,3-3m)$，$\because 3m+3-3m=3$，$\therefore$点$(3m,3-3m)$在直线$y=-x+3$上，$\therefore$当$m$的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动。
(2)证明:$\because A(a-5,c)$，$B(6m+4,c)$都在该二次函数图象上，$\therefore A,B$关于直线$x=3m$对称，$\therefore \frac{a-5+6m+4}{2}=3m$，解得$a=1$，$\therefore A(-4,c)$，$\therefore c=-\frac{1}{4}(-4-3m)^2+3-3m=-\frac{9}{4}m^2-9m-1=-\frac{9}{4}(m^2+4m+4)+9-1=-\frac{9}{4}(m+2)^2+8$，$\therefore$关于$c$与$m$的二次函数解析式为$c=-\frac{9}{4}(m+2)^2+8$，$\therefore$该抛物线的顶点坐标为$(-2,8)$。$\because -\frac{9}{4}＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，$\therefore c$有最大值为8，$\therefore c≤8$。
(2)证明:$\because A(a-5,c)$，$B(6m+4,c)$都在该二次函数图象上，$\therefore A,B$关于直线$x=3m$对称，$\therefore \frac{a-5+6m+4}{2}=3m$，解得$a=1$，$\therefore A(-4,c)$，$\therefore c=-\frac{1}{4}(-4-3m)^2+3-3m=-\frac{9}{4}m^2-9m-1=-\frac{9}{4}(m^2+4m+4)+9-1=-\frac{9}{4}(m+2)^2+8$，$\therefore$关于$c$与$m$的二次函数解析式为$c=-\frac{9}{4}(m+2)^2+8$，$\therefore$该抛物线的顶点坐标为$(-2,8)$。$\because -\frac{9}{4}＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，$\therefore c$有最大值为8，$\therefore c≤8$。
15.[学科特色·分类讨论思想]如图,已知抛物线$y=a(x-h)^2 +k$与$x$轴的一个交点为$A(3,0)$,与$y$轴的交点为$B(0,3)$,对称轴为直线$x=1$.
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)已知点$M$为$y$轴上的一个动点,当$△ ABM$为等腰三角形时,求点$M$的坐标.
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)已知点$M$为$y$轴上的一个动点,当$△ ABM$为等腰三角形时,求点$M$的坐标.
答案
15.解:(1)由题意可知$h=1$，则$y=a(x-1)^2+k$。将点$A(3,0)$，$B(0,3)$的坐标代入上式，得$\begin{cases}4a+k=0,\\a+k=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\k=4.\end{cases}$故抛物线对应的函数表达式为$y=-(x-1)^2+4$。
(2)设$M$点坐标为$(0,t)$.①当$MA=MB$时，$\sqrt{3^2+t^2}=\sqrt{(3-t)^2}$，解得$t=0$，故$M(0,0)$；②当$AB=AM$时，$\sqrt{3^2+t^2}=3\sqrt{2}$，解得$t=3$(舍去)或$t=-3$，故$M(0,-3)$；③当$AB=BM$时，$\sqrt{(t-3)^2}=3\sqrt{2}$，解得$t=3\pm3\sqrt{2}$，故$M(0,3+3\sqrt{2})$或$M(0,3-3\sqrt{2})$.综上，点$M$的坐标为$(0,0)$，$(0,-3)$，$(0,3+3\sqrt{2})$或$(0,3-3\sqrt{2})$。
(2)设$M$点坐标为$(0,t)$.①当$MA=MB$时，$\sqrt{3^2+t^2}=\sqrt{(3-t)^2}$，解得$t=0$，故$M(0,0)$；②当$AB=AM$时，$\sqrt{3^2+t^2}=3\sqrt{2}$，解得$t=3$(舍去)或$t=-3$，故$M(0,-3)$；③当$AB=BM$时，$\sqrt{(t-3)^2}=3\sqrt{2}$，解得$t=3\pm3\sqrt{2}$，故$M(0,3+3\sqrt{2})$或$M(0,3-3\sqrt{2})$.综上，点$M$的坐标为$(0,0)$，$(0,-3)$，$(0,3+3\sqrt{2})$或$(0,3-3\sqrt{2})$。
