1.如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东$64°$的方向且与轮船相距52 n mlie，在A岛周围20 n mlie水域有暗礁。若该轮船不改变航向继续航行，为了保证航行安全，需要计算A到OB的距离AC。下列算法正确的是（）


A.$AC=52· \cos 64°$
B.$AC=\dfrac{52}{\cos 64°}$
C.$AC=52· \sin 64°$
D.$AC=52· \tan 64°$

1.A

2.[新课标·中华优秀传统文化]端午节，赛龙舟，小亮在点P处观看400 m直道竞速赛，如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝400 m，则点P到赛道AB的距离为（）

A.$50\sqrt{3}$ m
B.$100\sqrt{3}$ m
C.87 m
D.173 m

2.B [解析]如图,过点 P 作 $PC⊥ AB$ 于 C,
设 $PC=x\ \mathrm{m}.\because∠ APC=30°,\therefore AC=PC·\tan30°=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x.\because∠ CPB=60°,\therefore BC=PC·\tan60°=\sqrt{3}x.\because AB=400,\therefore\dfrac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}x=400$,
$\therefore x=100\sqrt{3}.$

3.如图,轮船沿正东方向以 30 n mile/h 的速度匀速航行,在 M 处观测灯塔 D,MD 与航线所成夹角为α;航行2 h后,轮船到达 N 处,此时观测灯塔 D 在点 N 的东北方向.若轮船航线不变,那么当轮船航行至离灯塔最近的位置时,轮船离灯塔的距离为 ()

A.$\frac{30 · \tan α}{1 - \tan α}$ n mile
B.$\frac{30 · \tan α}{1 + \tan α}$ n mile
C.$\frac{60 · \tan α}{1 - \tan α}$ n mile
D.$\frac{60 · \tan α}{1 + \tan α}$ n mile

3.C

4.如图,已知公路$ l $上$ A,B $两点之间的距离为100 m,小明要测量点$ C $与河对岸的公路$ l $的距离,在$ A $处测得点$ C $在北偏东$ 60° $方向,在$ B $处测得点$ C $在北偏东$ 30° $方向,则点$ C $到公路$ l $的距离$ CD $为 m.

4.$50\sqrt{3}$ [解析] $\because∠ BCD=30°,∠ ACD=60°,\therefore∠ ACB=∠ CAB=30°.\because AB=100\ \mathrm{m},\therefore AB=BC=100\ \mathrm{m}.$在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,
$\because∠ CBD=60°,\sin∠ CBD=\dfrac{CD}{BC},\therefore CD=BC·\sin∠ CBD=100×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}\ \mathrm{m}.$

5.如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,测得A,B均在C的北偏东$37°$方向上,沿正东方向行走90 m至观测点D,测得A在D的正北方向,B在D的北偏西$53°$方向上.求A,B两点间的距离.(参考数据:$\sin 37°\approx0.60,\cos 37°\approx0.80,\tan 37°\approx0.75$)

5.解:如图.$\because CE// AD,\therefore∠ A=∠ ECA=37°$,
$\therefore∠ CBD=∠ A+∠ ADB=37°+53°=90°$,
$\therefore∠ ABD=90°,$易知$∠ BDC=90°-53°=37°.$
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$CD=90\ \mathrm{m},\cos∠ BDC=\dfrac{BD}{CD}$，
$\therefore BD=CD·\cos37°\approx90×0.80=72\ (\mathrm{m}).$在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，
$∠ A=37°,BD=72\ \mathrm{m},\tan A=\dfrac{BD}{AB},\therefore AB=\dfrac{BD}{\tan37°}\approx\dfrac{72}{0.75}=96\ (\mathrm{m}),\therefore A,B$两点间的距离约为96 m.