登录
8. 如图，五边形ABCDE的顶点B,C,D,E在$\odot O$上，顶点A在$\odot O$外，且$AB=AE$.若$∠ A=100°$，则$∠ CBA+∠ CDE=$
220
°.答案
8. 220 解析 如图,连接BE.
$\because AB=AE,∠ A=100°$,
$\therefore ∠ ABE = ∠ AEB = \frac{1}{2}(180°-∠ A)=40°$.
$\because$ 点 B,C,D,E 在$\odot O$上,
$\therefore ∠ CDE+∠ CBE=180°$,
$\therefore ∠ CBA + ∠ CDE = ∠ CDE + ∠ CBE + ∠ ABE=180°+40°=220°$.
9.如图，点A，B，C，D，E在$\odot O$上，且$∠ ABD + ∠ AEC = 155°$，则$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角度数为
50°
。答案
9. 50° 解析 如图,连接 BC,OC,OD.
$\because$ 点 A,B,C,D,E 在$\odot O$上,
$\therefore ∠ ABC+∠ AEC=180°.\because ∠ ABD+∠ AEC=155°$,
$\therefore ∠ ABC-∠ ABD=25°$,即$∠ DBC=25°$.
$\because ∠ COD=2∠ DBC,\therefore ∠ COD=50°$,
即 $\overset{\frown}{CD}$ 所对的圆心角为 $50°$.
10. 如图,圆内接四边形ABCD 的对角线AC,BD 交于点E,∠BAC=∠ADB.
(1)求证:DB 平分∠ADC;
(2)过点C作AD 的平行线,交AB 的延长线于点 F,若 BD 平分∠ABC,AC=AD,BF=3,求 AB 的长.
(1)求证:DB 平分∠ADC;
(2)过点C作AD 的平行线,交AB 的延长线于点 F,若 BD 平分∠ABC,AC=AD,BF=3,求 AB 的长.
答案
10. (1)证明 $\because ∠ BAC=∠ ADB,∠ BAC=∠ BDC$,
$\therefore ∠ ADB=∠ BDC,\therefore DB$ 平分$∠ ADC$.
(2)解 $\because BD$ 平分$∠ ABC$,
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$.
由(1)知$∠ ADB=∠ BDC$,
$\therefore ∠ ABD+∠ ADB=∠ CBD+∠ BDC$.
$\because$ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,
$\therefore ∠ ABD+∠ ADB+∠ CBD+∠ BDC=180°$,
$\therefore ∠ ABD+∠ ADB=\frac{1}{2}×180°=90°$,
$\therefore ∠ BAD=90°,\therefore BD$ 是圆的直径.
$\because ∠ ABD=∠ CBD$,
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},\therefore AD=CD$.
$\because AC=AD,\therefore △ ACD$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ ADC=60°$,
$\therefore ∠ BDC=\frac{1}{2}∠ ADC=30°$.
$\because BD$ 是圆的直径,
$\therefore ∠ BCD=90°,\therefore BC=\frac{1}{2}BD$.
$\because$ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,
$\therefore ∠ ABC+∠ ADC=180°,\therefore ∠ ABC=120°$,
$\therefore ∠ CBF=180°-120°=60°$.
$\because CF// AD$,
$\therefore ∠ F+∠ BAD=180°,\therefore ∠ F=90°$,
$\therefore ∠ BCF=90°-60°=30°$,
$\therefore BC=2BF=2×3=6,\therefore AB=BC=6$.
$\therefore ∠ ADB=∠ BDC,\therefore DB$ 平分$∠ ADC$.
(2)解 $\because BD$ 平分$∠ ABC$,
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$.
由(1)知$∠ ADB=∠ BDC$,
$\therefore ∠ ABD+∠ ADB=∠ CBD+∠ BDC$.
$\because$ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,
$\therefore ∠ ABD+∠ ADB+∠ CBD+∠ BDC=180°$,
$\therefore ∠ ABD+∠ ADB=\frac{1}{2}×180°=90°$,
$\therefore ∠ BAD=90°,\therefore BD$ 是圆的直径.
$\because ∠ ABD=∠ CBD$,
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},\therefore AD=CD$.
$\because AC=AD,\therefore △ ACD$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ ADC=60°$,
$\therefore ∠ BDC=\frac{1}{2}∠ ADC=30°$.
$\because BD$ 是圆的直径,
$\therefore ∠ BCD=90°,\therefore BC=\frac{1}{2}BD$.
$\because$ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,
$\therefore ∠ ABC+∠ ADC=180°,\therefore ∠ ABC=120°$,
$\therefore ∠ CBF=180°-120°=60°$.
$\because CF// AD$,
$\therefore ∠ F+∠ BAD=180°,\therefore ∠ F=90°$,
$\therefore ∠ BCF=90°-60°=30°$,
$\therefore BC=2BF=2×3=6,\therefore AB=BC=6$.
11.定义:三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“遥望角”.如图1,∠E是△ABC中∠A的“遥望角”.如图2,四边形ABCD内接于$\odot O$,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$,四边形ABCD的外角平分线DF交$\odot O$于点F,连接BF并延长交CD的延长线于点E.求证:∠BEC是△ABC中∠BAC的“遥望角”.
答案
11. 证明 如图,延长 BC 到点 T.
$\because$ 四边形 FBCD 内接于$\odot O$,
$\therefore ∠ FDC+∠ FBC=180°$.
$\because ∠ FDE+∠ FDC=180°$,
$\therefore ∠ FDE=∠ FBC$.
$\because DF$ 平分$∠ ADE,\therefore ∠ ADF=∠ FDE$.
$\because ∠ ADF=∠ ABF,\therefore ∠ ABF=∠ FBC$,
$\therefore BE$ 是$∠ ABC$ 的平分线.
$\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD},\therefore ∠ ACD=∠ BFD$.
$\because ∠ BFD + ∠ BCD = 180°, ∠ DCT + ∠ BCD=180°$,
$\therefore ∠ DCT=∠ BFD,\therefore ∠ ACD=∠ DCT$,
$\therefore CE$ 是$△ ABC$ 的外角平分线,
$\therefore ∠ BEC$ 是$△ ABC$ 中$∠ BAC$的“遥望角”.
