【典型例题 2】通分：
(1)$\frac{3}{4a^2b}$与$\frac{1}{2ac^2}$；(2)$\frac{x+2}{2x+2}$与$\frac{3}{8-4x}$。
思路导引 通分的关键是确定最简公分母.在确定几个分式的最简公分母时,要从系数、相同因式、不同因式三个方面考虑,不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数.
【解】(1)分式$\frac{3}{4a^2b}$与$\frac{1}{2ac^2}$的最简公分母是$4a^2bc^2$，$\frac{3}{4a^2b}=\frac{3×c^2}{4a^2b·c^2}=\frac{3c^2}{4a^2bc^2}$；
$\frac{1}{2ac^2}=\frac{1×2ab}{2ac^2·2ab}=\frac{2ab}{4a^2bc^2}$。
(2)$\frac{3}{8-4x}=-\frac{3}{4x-8}=-\frac{3}{4(x-2)}$，
$\frac{x+2}{2x+2}=\frac{x+2}{2(x+1)}$，分式$\frac{x+2}{2x+2}$与$\frac{3}{8-4x}$的最简公分母是$4(x+1)(x-2)$，$\frac{x+2}{2x+2}=\frac{(x+2)·2(x-2)}{2(x+1)·2(x-2)}=\frac{2(x+2)(x-2)}{4(x+1)(x-2)}$；
$\frac{3}{8-4x}=-\frac{3}{4x-8}$
$=-\frac{3×(x+1)}{4(x-2)·(x+1)}$
$=-\frac{3(x+1)}{4(x+1)(x-2)}$。
规律方法 通分的一般步骤：
(1)确定最简公分母；
(2)用最简公分母分别除以各分式的分母求商；
(3)用所得的商去乘原来各分式的分子、分母得到同分母的分式。

解：
(1) 分式$\frac{3}{4a^2b}$与$\frac{1}{2ac^2}$的最简公分母是$4a^2bc^2$，
$\frac{3}{4a^2b}=\frac{3× c^2}{4a^2b · c^2}=\frac{3c^2}{4a^2bc^2}$，
$\frac{1}{2ac^2}=\frac{1× 2ab}{2ac^2 · 2ab}=\frac{2ab}{4a^2bc^2}$。
(2) 先对分母因式分解：
$\frac{x+2}{2x+2}=\frac{x+2}{2(x+1)}$，
$\frac{3}{8-4x}=-\frac{3}{4(x-2)}$，
分式$\frac{x+2}{2x+2}$与$\frac{3}{8-4x}$的最简公分母是$4(x+1)(x-2)$，
$\frac{x+2}{2x+2}=\frac{(x+2)· 2(x-2)}{2(x+1)· 2(x-2)}=\frac{2(x+2)(x-2)}{4(x+1)(x-2)}$，
$\frac{3}{8-4x}=-\frac{3× (x+1)}{4(x-2)· (x+1)}=-\frac{3(x+1)}{4(x+1)(x-2)}$。

2. 分式$\frac{3a}{a^2 - b^2}$的分母经过通分后变成$2(a - b)^2(a + b)$，那么分子应变为（）

A.$6a(a - b)^2(a + b)$
B.$2(a - b)$
C.$6a(a - b)$
D.$6a(a + b)$

C 【解析】分母$a^2-b^2$变为$2(a-b)^2(a+b)$，是乘$2(a-b)$，所以分子应变为$3a·2(a-b)=6a(a-b)$。

1. 下列分式中，属于最简分式的是 （）

A.$-\dfrac{9y}{12x}$
B.$\dfrac{a+b}{a^2+2ab+b^2}$
C.$\dfrac{2a-4b}{a^2-4b^2}$
D.$\dfrac{1-a}{4a^2-2a}$

D

2. 在通分$\frac{2xy}{x^2 - y^2}$与$\frac{x - y}{x + y}$时，最简公分母是（）

A.$x^2 + y^2$
B.$x + y$
C.$(x^2 - y^2)(x + y)$
D.$(x - y)(x + y)$

D 【解析】$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，所以最简公分母是$(x-y)(x+y)$。

3.化简:(1)$\frac{2a^2b^3}{-6a^3b^2}=$;
(2)$\frac{2x+6}{x^2-9}=$.

(1)$-\frac{b}{3a}$ (2)$\frac{2}{x-3}$ 【解析】(1)$\frac{2a^2b^3}{-6a^3b^2}=\frac{b·2a^2b^2}{-3a·2a^2b^2}=-\frac{b}{3a}$。
(2)$\frac{2x+6}{x^2-9}=\frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{2}{x-3}$。

4. (2024·山东济宁中考)已知$a^2 - 2b + 1 = 0$，则$\frac{4b}{a^2 + 1}$的值是。

2 【解析】因为$a^2-2b+1=0$，所以$a^2+1=2b$。
因为$a^2≥0$，所以$a^2+1≥1$，所以$b＞0$，
所以$\frac{4b}{a^2+1}=\frac{4b}{2b}=2$。

5. 约分：
(1) $\dfrac{24a^2b}{-4ab}$；(2) $\dfrac{2a^2 - ab}{2a^2b - ab^2}$。

【解】(1)原式$=\frac{4ab·6a}{-4ab}=-6a$。
(2)原式$=\frac{a(2a-b)}{ab(2a-b)}=\frac{1}{b}$。