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基础知识·预习
问题1 圆是中心对称图形吗？对称中心是什么？如果将一个圆形纸片绕圆心旋转$180°$，你能发现什么？
问题2 如果两条弦相等，这两条弦所对的弧，以及所对的圆心角一定相等吗？
问题1 圆是中心对称图形吗？对称中心是什么？如果将一个圆形纸片绕圆心旋转$180°$，你能发现什么？
问题2 如果两条弦相等，这两条弦所对的弧，以及所对的圆心角一定相等吗？
答案
问题1. 圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆形纸片绕圆心旋转180°后，旋转后的图形与原来的图形完全重合。
问题2. 不一定相等。只有在同圆或等圆中，两条弦相等，那么这两条弦所对的同类型弧（同为劣弧或同为优弧）以及所对的圆心角才相等，缺少“同圆或等圆”的前提条件时，该结论不成立。
问题2. 不一定相等。只有在同圆或等圆中，两条弦相等，那么这两条弦所对的同类型弧（同为劣弧或同为优弧）以及所对的圆心角才相等，缺少“同圆或等圆”的前提条件时，该结论不成立。
解析
【分析】
对于问题1，先回忆中心对称图形的定义：平面内一个图形绕某点旋转180°后，旋转后的图形能与原图形重合，则该图形为中心对称图形，对应点为对称中心。结合圆的特征，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，旋转180°也满足重合要求，据此推导结论即可。对于问题2，先回忆圆心角、弧、弦的关系定理的适用前提，该定理成立必须满足“同圆或等圆”的条件，同时一条弦对应优弧、劣弧两类弧，需明确是同类型弧才能判断相等，缺少前提条件时结论不成立。
【解析】
问题1：根据中心对称图形的定义验证，将圆绕圆心旋转180°后，旋转得到的图形和原图形完全重合，因此圆符合中心对称图形的特征，它的对称中心是圆心，将圆形纸片绕圆心旋转180°后，纸片与原位置的图形完全重合。
问题2：结论不一定成立。首先圆心角、弧、弦的相等关系仅在同圆或等圆中成立，若缺少该前提，不同半径的圆中长度相等的弦，对应的弧长、圆心角均不相等；其次同一条弦对应优弧、劣弧两条弧，只有两条弦所对的是同类型弧（同为劣弧或同为优弧）时，弧才会相等。因此无前提条件时，相等的弦所对的弧、圆心角不一定相等。
【答案】
问题1. 圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆形纸片绕圆心旋转180°后，旋转后的图形与原来的图形完全重合。
问题2. 不一定相等。只有在同圆或等圆中，两条弦相等，那么这两条弦所对的同类型弧（同为劣弧或同为优弧）以及所对的圆心角才相等，缺少“同圆或等圆”的前提条件时，该结论不成立。
【知识点】
1.中心对称图形的概念 2.圆心角、弧、弦的关系 3.圆的对称性
【点评】
这两道题属于圆的基础概念类题目，侧重考查对几何概念、定理的完整理解，易错点是容易忽略“同圆或等圆”这个圆心角、弧、弦相等关系的适用前提，也容易忽略一条弦对应两条不同的弧。学习时要注意记牢定理的完整内容，不要遗漏适用条件。
【难度系数】
0.7
对于问题1，先回忆中心对称图形的定义：平面内一个图形绕某点旋转180°后，旋转后的图形能与原图形重合，则该图形为中心对称图形，对应点为对称中心。结合圆的特征，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，旋转180°也满足重合要求，据此推导结论即可。对于问题2，先回忆圆心角、弧、弦的关系定理的适用前提，该定理成立必须满足“同圆或等圆”的条件，同时一条弦对应优弧、劣弧两类弧，需明确是同类型弧才能判断相等，缺少前提条件时结论不成立。
【解析】
问题1：根据中心对称图形的定义验证，将圆绕圆心旋转180°后，旋转得到的图形和原图形完全重合，因此圆符合中心对称图形的特征，它的对称中心是圆心，将圆形纸片绕圆心旋转180°后，纸片与原位置的图形完全重合。
问题2：结论不一定成立。首先圆心角、弧、弦的相等关系仅在同圆或等圆中成立，若缺少该前提，不同半径的圆中长度相等的弦，对应的弧长、圆心角均不相等；其次同一条弦对应优弧、劣弧两条弧，只有两条弦所对的是同类型弧（同为劣弧或同为优弧）时，弧才会相等。因此无前提条件时，相等的弦所对的弧、圆心角不一定相等。
【答案】
问题1. 圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆形纸片绕圆心旋转180°后，旋转后的图形与原来的图形完全重合。
问题2. 不一定相等。只有在同圆或等圆中，两条弦相等，那么这两条弦所对的同类型弧（同为劣弧或同为优弧）以及所对的圆心角才相等，缺少“同圆或等圆”的前提条件时，该结论不成立。
【知识点】
1.中心对称图形的概念 2.圆心角、弧、弦的关系 3.圆的对称性
【点评】
这两道题属于圆的基础概念类题目，侧重考查对几何概念、定理的完整理解，易错点是容易忽略“同圆或等圆”这个圆心角、弧、弦相等关系的适用前提，也容易忽略一条弦对应两条不同的弧。学习时要注意记牢定理的完整内容，不要遗漏适用条件。
【难度系数】
0.7
【典型例题】如图，在$\odot O$中，AB，CD是两条弦，$OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，垂足分别是E，F.
(1)已知$∠ AOB=∠ COD$. 求证：$OE=OF$.
(2)已知$OE=OF$. 求证：$AB=CD$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$∠ AOB=∠ COD$.
思路导引 (1)在同圆中，已知$∠ AOB=∠ COD$，可得它们所对的弦AB与CD相等.再结合垂径定理，易证$\mathrm{Rt}△ OAE≌\mathrm{Rt}△ OCF$，从而有$OE=OF$. (2)由已知条件易证$\mathrm{Rt}△ OAE≌\mathrm{Rt}△ OCF$，得$AE=CF$，再结合
等腰三角形的性质及圆心角、弧、弦之间的关系定理，证明结论成立.
【证明】(1)$\because$在$\odot O$中，$∠ AOB=∠ COD$，
$\therefore AB=CD$.
$\because OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
$\therefore AE=\dfrac{1}{2}AB$，$CF=\dfrac{1}{2}CD$.
$\therefore AE=CF$.
又$OA=OC$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAE≌\mathrm{Rt}△ OCF(\mathrm{HL})$.
$\therefore OE=OF$.
(2)$\because OA=OC$，$OE=OF$，$OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAE≌\mathrm{Rt}△ OCF(\mathrm{HL})$.
$\therefore AE=CF$.
$\because OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
$\therefore AE=\dfrac{1}{2}AB$，$CF=\dfrac{1}{2}CD$.
$\therefore AB=CD$.
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$∠ AOB=∠ COD$.
规律方法 在同圆或等圆中，对于两个圆心角、两条弧、两条弦，如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.
(1)已知$∠ AOB=∠ COD$. 求证：$OE=OF$.
(2)已知$OE=OF$. 求证：$AB=CD$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$∠ AOB=∠ COD$.
思路导引 (1)在同圆中，已知$∠ AOB=∠ COD$，可得它们所对的弦AB与CD相等.再结合垂径定理，易证$\mathrm{Rt}△ OAE≌\mathrm{Rt}△ OCF$，从而有$OE=OF$. (2)由已知条件易证$\mathrm{Rt}△ OAE≌\mathrm{Rt}△ OCF$，得$AE=CF$，再结合
等腰三角形的性质及圆心角、弧、弦之间的关系定理，证明结论成立.
【证明】(1)$\because$在$\odot O$中，$∠ AOB=∠ COD$，
$\therefore AB=CD$.
$\because OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
$\therefore AE=\dfrac{1}{2}AB$，$CF=\dfrac{1}{2}CD$.
$\therefore AE=CF$.
又$OA=OC$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAE≌\mathrm{Rt}△ OCF(\mathrm{HL})$.
$\therefore OE=OF$.
(2)$\because OA=OC$，$OE=OF$，$OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAE≌\mathrm{Rt}△ OCF(\mathrm{HL})$.
$\therefore AE=CF$.
$\because OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
$\therefore AE=\dfrac{1}{2}AB$，$CF=\dfrac{1}{2}CD$.
$\therefore AB=CD$.
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$∠ AOB=∠ COD$.
规律方法 在同圆或等圆中，对于两个圆心角、两条弧、两条弦，如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.
答案
1. 证明：$\because$在$\odot O$中，$∠ AOB=∠ COD$，
$\therefore AB=CD$.
$\because OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
$\therefore AE=\dfrac{1}{2}AB$，$CF=\dfrac{1}{2}CD$.
$\therefore AE=CF$.
又$OA=OC$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAE≌\mathrm{Rt}△ OCF(\mathrm{HL})$.
$\therefore OE=OF$.
2. 证明：$\because OA=OC$，$OE=OF$，$OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAE≌\mathrm{Rt}△ OCF(\mathrm{HL})$.
$\therefore AE=CF$.
$\because OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
$\therefore AE=\dfrac{1}{2}AB$，$CF=\dfrac{1}{2}CD$.
$\therefore AB=CD$.
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$∠ AOB=∠ COD$.
$\therefore AB=CD$.
$\because OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
$\therefore AE=\dfrac{1}{2}AB$，$CF=\dfrac{1}{2}CD$.
$\therefore AE=CF$.
又$OA=OC$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAE≌\mathrm{Rt}△ OCF(\mathrm{HL})$.
$\therefore OE=OF$.
2. 证明：$\because OA=OC$，$OE=OF$，$OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAE≌\mathrm{Rt}△ OCF(\mathrm{HL})$.
$\therefore AE=CF$.
$\because OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
$\therefore AE=\dfrac{1}{2}AB$，$CF=\dfrac{1}{2}CD$.
$\therefore AB=CD$.
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$∠ AOB=∠ COD$.
解析
【分析】
(1) 要证$OE=OF$，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等推导：首先根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等，由$∠AOB=∠COD$得$AB=CD$；再结合垂径定理，可得$AE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$，推出$AE=CF$；最后在$\mathrm{Rt}△OAE$和$\mathrm{Rt}△OCF$中，斜边$OA=OC$（同圆半径相等），直角边$AE=CF$，用HL判定全等即可得$OE=OF$。
(2) 要证$AB=CD$、$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$、$∠AOB=∠COD$，从已知$OE=OF$入手：先在$\mathrm{Rt}△OAE$和$\mathrm{Rt}△OCF$中，由$OA=OC$、$OE=OF$用HL证全等，得$AE=CF$；再由垂径定理得$AB=2AE$，$CD=2CF$，推出$AB=CD$；最后根据同圆中相等的弦对应弧、圆心角相等，即可得到剩余结论。
【解析】
(1) 证明：$\because$在$\odot O$中，$∠ AOB=∠ COD$，
$\therefore AB=CD$.
$\because OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
$\therefore AE=\dfrac{1}{2}AB$，$CF=\dfrac{1}{2}CD$，
$\therefore AE=CF$.
又$OA=OC$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAE≌\mathrm{Rt}△ OCF(\mathrm{HL})$，
$\therefore OE=OF$.
(2) 证明：$\because OA=OC$，$OE=OF$，$OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAE≌\mathrm{Rt}△ OCF(\mathrm{HL})$，
$\therefore AE=CF$.
$\because OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
$\therefore AE=\dfrac{1}{2}AB$，$CF=\dfrac{1}{2}CD$，
$\therefore AB=CD$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$∠ AOB=∠ COD$.
【答案】
(1) 证明如上，得$OE=OF$；
(2) 证明如上，得$AB=CD$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$∠ AOB=∠ COD$。
【知识点】
垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；直角三角形全等判定
【点评】
本题是圆性质的基础典型题，考查同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距的等量转换规律，结合垂径定理和全等判定即可求解，熟练掌握“一组量相等其余对应量均相等”的规律可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
(1) 要证$OE=OF$，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等推导：首先根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等，由$∠AOB=∠COD$得$AB=CD$；再结合垂径定理，可得$AE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$，推出$AE=CF$；最后在$\mathrm{Rt}△OAE$和$\mathrm{Rt}△OCF$中，斜边$OA=OC$（同圆半径相等），直角边$AE=CF$，用HL判定全等即可得$OE=OF$。
(2) 要证$AB=CD$、$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$、$∠AOB=∠COD$，从已知$OE=OF$入手：先在$\mathrm{Rt}△OAE$和$\mathrm{Rt}△OCF$中，由$OA=OC$、$OE=OF$用HL证全等，得$AE=CF$；再由垂径定理得$AB=2AE$，$CD=2CF$，推出$AB=CD$；最后根据同圆中相等的弦对应弧、圆心角相等，即可得到剩余结论。
【解析】
(1) 证明：$\because$在$\odot O$中，$∠ AOB=∠ COD$，
$\therefore AB=CD$.
$\because OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
$\therefore AE=\dfrac{1}{2}AB$，$CF=\dfrac{1}{2}CD$，
$\therefore AE=CF$.
又$OA=OC$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAE≌\mathrm{Rt}△ OCF(\mathrm{HL})$，
$\therefore OE=OF$.
(2) 证明：$\because OA=OC$，$OE=OF$，$OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAE≌\mathrm{Rt}△ OCF(\mathrm{HL})$，
$\therefore AE=CF$.
$\because OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
$\therefore AE=\dfrac{1}{2}AB$，$CF=\dfrac{1}{2}CD$，
$\therefore AB=CD$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$∠ AOB=∠ COD$.
【答案】
(1) 证明如上，得$OE=OF$；
(2) 证明如上，得$AB=CD$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$∠ AOB=∠ COD$。
【知识点】
垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；直角三角形全等判定
【点评】
本题是圆性质的基础典型题，考查同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距的等量转换规律，结合垂径定理和全等判定即可求解，熟练掌握“一组量相等其余对应量均相等”的规律可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
