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2. 如图，AB是$\odot O$的弦，半径$OC ⊥ AB$，垂足为D. 若$AB=8$，$OC=5$，则$OD$的长是（
A.3
B.2
C.6
D.$\dfrac{5}{2}$
（第2题图）
（第3题图）
A
）A.3
B.2
C.6
D.$\dfrac{5}{2}$
（第2题图）（第3题图）
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。已知OC⊥AB，可先求出弦AB一半的长度；再连接OA，OA是圆的半径，长度等于OC，此时△ODA为直角三角形，最后利用勾股定理即可求出OD的长度。
【解析】
解：连接OA
∵OC是$\odot O$的半径，$OC=5$
∴$OA=OC=5$
∵$OC⊥AB$，AB是$\odot O$的弦
根据垂径定理可得：$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，且$∠ ODA=90°$
在$Rt△ ODA$中，由勾股定理得：
$OD^2 + AD^2 = OA^2$
代入数值：$OD^2 + 4^2 = 5^2$
$OD^2 = 25 - 16 = 9$
∵OD为线段长度，为正数
∴$OD=3$
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关计算的基础题型，核心考察垂径定理与勾股定理的结合运用，解题的关键是通过连接半径构造直角三角形，将弦长、半径、弦心距的计算转化为直角三角形边长求解问题，属于基础必掌握题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。已知OC⊥AB，可先求出弦AB一半的长度；再连接OA，OA是圆的半径，长度等于OC，此时△ODA为直角三角形，最后利用勾股定理即可求出OD的长度。
【解析】
解：连接OA
∵OC是$\odot O$的半径，$OC=5$
∴$OA=OC=5$
∵$OC⊥AB$，AB是$\odot O$的弦
根据垂径定理可得：$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，且$∠ ODA=90°$
在$Rt△ ODA$中，由勾股定理得：
$OD^2 + AD^2 = OA^2$
代入数值：$OD^2 + 4^2 = 5^2$
$OD^2 = 25 - 16 = 9$
∵OD为线段长度，为正数
∴$OD=3$
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关计算的基础题型，核心考察垂径定理与勾股定理的结合运用，解题的关键是通过连接半径构造直角三角形，将弦长、半径、弦心距的计算转化为直角三角形边长求解问题，属于基础必掌握题型。
【难度系数】
0.8
3.如图，$\odot O$的直径是$AB$，$P$，$Q$两点均在圆上，$BP$和$OQ$相交于点$C$。若$AB=10$，$BC=PC=4$，则$CQ$的长为（
A.$2$
B.$3$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{10}$
A
）A.$2$
B.$3$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{10}$
答案
3. A
解析
【分析】
解题时先结合已知条件联想相关性质：AB是圆的直径，可联想到直径所对的圆周角为直角，因此连接AP构造直角三角形；由BC=PC可知C是BP中点，O是AB中点，可借助三角形中位线定理求出OC的长度；最后结合OQ是圆的半径，用OQ的长度减去OC的长度即可得到CQ的长。
【解析】
解：连接AP，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ APB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
∵$BC=PC=4$，
∴$BP=BC+PC=8$，
在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，$AB=10$，$BP=8$，由勾股定理得：
$AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$，
∵O是AB的中点，C是BP的中点，
∴OC是$△ ABP$的中位线，
∴$OC=\frac{1}{2}AP=3$，
∵OQ是$\odot O$的半径，$AB=10$，
∴$OQ=\frac{1}{2}AB=5$，
∴$CQ=OQ-OC=5-3=2$。
【答案】
A
【知识点】
直径所对圆周角的性质，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，解题的关键是合理构造辅助线，将圆的性质和三角形的定理结合起来转化线段关系，解题思路比较常规，熟练掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件联想相关性质：AB是圆的直径，可联想到直径所对的圆周角为直角，因此连接AP构造直角三角形；由BC=PC可知C是BP中点，O是AB中点，可借助三角形中位线定理求出OC的长度；最后结合OQ是圆的半径，用OQ的长度减去OC的长度即可得到CQ的长。
【解析】
解：连接AP，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ APB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
∵$BC=PC=4$，
∴$BP=BC+PC=8$，
在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，$AB=10$，$BP=8$，由勾股定理得：
$AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$，
∵O是AB的中点，C是BP的中点，
∴OC是$△ ABP$的中位线，
∴$OC=\frac{1}{2}AP=3$，
∵OQ是$\odot O$的半径，$AB=10$，
∴$OQ=\frac{1}{2}AB=5$，
∴$CQ=OQ-OC=5-3=2$。
【答案】
A
【知识点】
直径所对圆周角的性质，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，解题的关键是合理构造辅助线，将圆的性质和三角形的定理结合起来转化线段关系，解题思路比较常规，熟练掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4. 一个门洞的横截面如图所示，这个门洞的高为2.5 m，这个门洞的形状是以点O为圆心的圆的一部分. 若AB=1 m，则⊙O的半径长为
1.3
m.答案
4. 1.3
解析
【分析】
要计算圆O的半径，可利用垂径定理结合勾股定理求解。首先过圆心O作AB的垂线，根据垂径定理得到AB一半的长度，再结合门洞高度表示出圆心到弦AB的距离，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O上方的切线于点D。
由题意可知CD=2.5m，AB=1m。
根据垂径定理得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB=0.5m$。
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OA=OD=r\ \mathrm{m}$，$OC=CD-OD=(2.5-r)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=AC^2+OC^2$
代入得：$r^2 = 0.5^2 + (2.5 - r)^2$
展开右边：$r^2 = 0.25 + 6.25 - 5r + r^2$
消去两边的$r^2$，整理得：$5r = 6.5$
解得：$r=1.3$
【答案】
1.3
【知识点】
垂径定理；勾股定理的应用
【点评】
本题是圆的实际应用问题，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
要计算圆O的半径，可利用垂径定理结合勾股定理求解。首先过圆心O作AB的垂线，根据垂径定理得到AB一半的长度，再结合门洞高度表示出圆心到弦AB的距离，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O上方的切线于点D。
由题意可知CD=2.5m，AB=1m。
根据垂径定理得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB=0.5m$。
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OA=OD=r\ \mathrm{m}$，$OC=CD-OD=(2.5-r)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=AC^2+OC^2$
代入得：$r^2 = 0.5^2 + (2.5 - r)^2$
展开右边：$r^2 = 0.25 + 6.25 - 5r + r^2$
消去两边的$r^2$，整理得：$5r = 6.5$
解得：$r=1.3$
【答案】
1.3
【知识点】
垂径定理；勾股定理的应用
【点评】
本题是圆的实际应用问题，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
5.如图，四边形ABCD为矩形，$\odot O$的直径的长与AD的长相等，已知$CD=EF=16\ \mathrm{cm}$，则$\odot O$的直径长为
20
cm.答案
5. 20
解析
【分析】
我们可以通过构造直角三角形结合方程思想求解：首先设$\odot O$的半径为$r$，则直径为$2r$，由题意得矩形的边$AD=2r$；结合矩形性质可知圆心$O$到$AD$边的距离为$(16-r)\mathrm{cm}$，过$O$作$AD$的垂线，连接半径$OF$，根据垂径定理可得到弦$EF$的一半长度为$8\mathrm{cm}$，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程求半径，即可得到直径长度。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则直径为$2r\ \mathrm{cm}$。
由题意得$AD=2r$，$\because$四边形$ABCD$是矩形，$CD=16\ \mathrm{cm}$，$\therefore CD⊥ BC$，$AD// BC$。
$\because \odot O$与$BC$相切，$\therefore$圆心$O$到$BC$的距离等于半径$r$，因此圆心$O$到$AD$的距离$OH=CD-r=(16-r)\mathrm{cm}$。
过点$O$作$OH⊥ AD$于点$H$，连接$OF$，根据垂径定理可得：$HF=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$，且$OF=r\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OHF$中，由勾股定理得：$OH^2+HF^2=OF^2$，
代入得：$(16-r)^2+8^2=r^2$，
展开化简：$256-32r+r^2+64=r^2$，即$320=32r$，解得$r=10$，
$\therefore \odot O$的直径为$2r=2×10=20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$20$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是圆与矩形结合的典型计算题，解题的核心是合理作辅助线构造直角三角形，将几何条件转化为方程求解，很好地考察了几何性质的综合应用能力和方程思想。
【难度系数】
$0.7$
我们可以通过构造直角三角形结合方程思想求解：首先设$\odot O$的半径为$r$，则直径为$2r$，由题意得矩形的边$AD=2r$；结合矩形性质可知圆心$O$到$AD$边的距离为$(16-r)\mathrm{cm}$，过$O$作$AD$的垂线，连接半径$OF$，根据垂径定理可得到弦$EF$的一半长度为$8\mathrm{cm}$，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程求半径，即可得到直径长度。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则直径为$2r\ \mathrm{cm}$。
由题意得$AD=2r$，$\because$四边形$ABCD$是矩形，$CD=16\ \mathrm{cm}$，$\therefore CD⊥ BC$，$AD// BC$。
$\because \odot O$与$BC$相切，$\therefore$圆心$O$到$BC$的距离等于半径$r$，因此圆心$O$到$AD$的距离$OH=CD-r=(16-r)\mathrm{cm}$。
过点$O$作$OH⊥ AD$于点$H$，连接$OF$，根据垂径定理可得：$HF=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$，且$OF=r\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OHF$中，由勾股定理得：$OH^2+HF^2=OF^2$，
代入得：$(16-r)^2+8^2=r^2$，
展开化简：$256-32r+r^2+64=r^2$，即$320=32r$，解得$r=10$，
$\therefore \odot O$的直径为$2r=2×10=20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$20$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是圆与矩形结合的典型计算题，解题的核心是合理作辅助线构造直角三角形，将几何条件转化为方程求解，很好地考察了几何性质的综合应用能力和方程思想。
【难度系数】
$0.7$
6.在$\odot O$中，$C$为弦$AB$的中点，过点$C$的直径交$\odot O$于点$D$，$E$.如果$AB=8$，$OD=5$，那么$CD$的长为________.
答案
6. 2或8
解析
【分析】
首先运用垂径定理，过圆心且平分弦（非直径）的直径垂直于弦，可得过C的直径DE与AB垂直，从而构造出直角三角形OAC。已知AB长度可求出半弦AC的长，圆的半径OD=5则OA也为5，用勾股定理算出圆心O到C的距离OC。接下来注意直径DE有两个端点，点D的位置有两种可能：靠近C的一侧、远离C的一侧，分情况计算CD的长度即可。
【解析】
连接OA，
∵ C是弦AB的中点，DE是过点C的直径，根据垂径定理可得：
$DE ⊥ AB$，$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 8=4$，
∵ OD是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OD=5$，
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3$，
分两种情况讨论：
① 当点D在靠近点C的一侧时，$CD=OD - OC=5 - 3=2$；
② 当点D在远离点C的一侧时，$CD=OD + OC=5 + 3=8$。
综上，CD的长为2或8。
【答案】
2或8
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题重点考查垂径定理的实际应用，易错点是容易忽略直径端点的两种位置，导致漏写其中一个解，做题时要注意全面考虑图形的多种可能性。
【难度系数】
0.6
首先运用垂径定理，过圆心且平分弦（非直径）的直径垂直于弦，可得过C的直径DE与AB垂直，从而构造出直角三角形OAC。已知AB长度可求出半弦AC的长，圆的半径OD=5则OA也为5，用勾股定理算出圆心O到C的距离OC。接下来注意直径DE有两个端点，点D的位置有两种可能：靠近C的一侧、远离C的一侧，分情况计算CD的长度即可。
【解析】
连接OA，
∵ C是弦AB的中点，DE是过点C的直径，根据垂径定理可得：
$DE ⊥ AB$，$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 8=4$，
∵ OD是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OD=5$，
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3$，
分两种情况讨论：
① 当点D在靠近点C的一侧时，$CD=OD - OC=5 - 3=2$；
② 当点D在远离点C的一侧时，$CD=OD + OC=5 + 3=8$。
综上，CD的长为2或8。
【答案】
2或8
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题重点考查垂径定理的实际应用，易错点是容易忽略直径端点的两种位置，导致漏写其中一个解，做题时要注意全面考虑图形的多种可能性。
【难度系数】
0.6
7. 如图，已知$AB=6$，将半圆形纸片沿$BC$所在直线折叠.若折叠后弧$BC$恰好过圆心$O$，则$BC$的长是（
A.$3\sqrt{3}$
B.$2π$
C.$3\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{6}$
A
）A.$3\sqrt{3}$
B.$2π$
C.$3\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{6}$
答案
7. A
解析
【分析】
要解决这道题，可结合折叠性质与圆的相关性质推导：首先由直径长度求出圆的半径，再根据折叠后弧BC过圆心O的特点，利用折叠对称性得出圆心O到BC的距离为半径的一半，最后结合垂径定理和勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵AB是半圆的直径，AB=6
∴圆O的半径$OB=OC=\frac{1}{2}AB=3$
过点O作$OD⊥BC$于点D，根据垂径定理可得：$BC=2BD$
∵将弧BC沿BC折叠后过圆心O，由折叠的对称性可知，O到BC的距离为半径的$\frac{1}{2}$，即$OD=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$
在$Rt△ODB$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$
∴$BC=2BD=2×\frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的折叠类典型题型，综合了圆的基本性质和折叠的性质，解题核心是通过折叠的对称性得出圆心到BC的距离，再结合垂径定理转化为直角三角形求解。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，可结合折叠性质与圆的相关性质推导：首先由直径长度求出圆的半径，再根据折叠后弧BC过圆心O的特点，利用折叠对称性得出圆心O到BC的距离为半径的一半，最后结合垂径定理和勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵AB是半圆的直径，AB=6
∴圆O的半径$OB=OC=\frac{1}{2}AB=3$
过点O作$OD⊥BC$于点D，根据垂径定理可得：$BC=2BD$
∵将弧BC沿BC折叠后过圆心O，由折叠的对称性可知，O到BC的距离为半径的$\frac{1}{2}$，即$OD=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$
在$Rt△ODB$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$
∴$BC=2BD=2×\frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的折叠类典型题型，综合了圆的基本性质和折叠的性质，解题核心是通过折叠的对称性得出圆心到BC的距离，再结合垂径定理转化为直角三角形求解。
【难度系数】
0.6
8.如图，AB为$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，连接AC，以AC为边向右作菱形ACDE，CD交$\odot O$于点F，$AB⊥ CD$，垂足为G。若$AG=12$，$GF=5$，则DF的长为
3
。答案
8. 3
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①AB是⊙O直径且AB⊥CD，首先想到垂径定理，可得到弦CF被AB平分，即CG=GF；②四边形ACDE是菱形，根据菱形性质可知四条边相等，即AC=CD；③在Rt△AGC中已知AG和CG的长度，可用勾股定理求出AC的长，也就得到了CD的长，最后用CD减去CF的长度就能求出DF的长。
【解析】
解：
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，垂足为G，
∴根据垂径定理，得CG=GF=5。
在Rt△AGC中，AG=12，CG=5，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AG^2+CG^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$。
∵四边形ACDE是菱形，
∴CD=AC=13。
又
∵CF=CG+GF=5+5=10，
∴DF=CD-CF=13-10=3。
【答案】
3
【知识点】
垂径定理，菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是结合图形特征，灵活运用垂径定理得到相等线段，再结合菱形性质和勾股定理计算即可，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①AB是⊙O直径且AB⊥CD，首先想到垂径定理，可得到弦CF被AB平分，即CG=GF；②四边形ACDE是菱形，根据菱形性质可知四条边相等，即AC=CD；③在Rt△AGC中已知AG和CG的长度，可用勾股定理求出AC的长，也就得到了CD的长，最后用CD减去CF的长度就能求出DF的长。
【解析】
解：
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，垂足为G，
∴根据垂径定理，得CG=GF=5。
在Rt△AGC中，AG=12，CG=5，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AG^2+CG^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$。
∵四边形ACDE是菱形，
∴CD=AC=13。
又
∵CF=CG+GF=5+5=10，
∴DF=CD-CF=13-10=3。
【答案】
3
【知识点】
垂径定理，菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是结合图形特征，灵活运用垂径定理得到相等线段，再结合菱形性质和勾股定理计算即可，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
9.已知AB，CD是$\odot O$的两条弦，$AB=16$，$CD=12$，$AB// CD$，$\odot O$的半径为10，则AB与CD之间的距离为
2或14
.答案
9. 2或14
解析
【分析】
已知圆的两条平行弦的长度和圆的半径，求两条弦的距离，解题时首先要考虑两条平行弦相对于圆心的位置，存在两种情况：①两条弦在圆心的同侧；②两条弦在圆心的异侧。接下来运用垂径定理，过圆心作两条弦的垂线，分别计算两条弦的弦心距，再根据弦的位置关系对弦心距作和或作差，即可得到两弦之间的距离。
【解析】
过点O作$OE⊥ AB$于点E，$OF⊥ CD$于点F，连接OA、OC。
$\because AB// CD$，$\therefore$点O、E、F在同一条直线上，线段EF的长度就是AB与CD之间的距离。
根据垂径定理：$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×12=6$。
在$Rt△ AOE$中，$OA=10$，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$。
在$Rt△ COF$中，$OC=10$，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
分两种情况计算距离：
①当AB、CD在圆心O的同侧时，$EF=OF-OE=8-6=2$；
②当AB、CD在圆心O的异侧时，$EF=OF+OE=8+6=14$。
综上，AB与CD之间的距离为2或14。
【答案】
2或14
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是只考虑两条弦在圆心同侧的情况，漏掉异侧的情况导致漏解。解题时需先对平行弦的位置分类讨论，再结合垂径定理和勾股定理计算弦心距，最终求出两弦的距离。
【难度系数】
0.6
已知圆的两条平行弦的长度和圆的半径，求两条弦的距离，解题时首先要考虑两条平行弦相对于圆心的位置，存在两种情况：①两条弦在圆心的同侧；②两条弦在圆心的异侧。接下来运用垂径定理，过圆心作两条弦的垂线，分别计算两条弦的弦心距，再根据弦的位置关系对弦心距作和或作差，即可得到两弦之间的距离。
【解析】
过点O作$OE⊥ AB$于点E，$OF⊥ CD$于点F，连接OA、OC。
$\because AB// CD$，$\therefore$点O、E、F在同一条直线上，线段EF的长度就是AB与CD之间的距离。
根据垂径定理：$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×12=6$。
在$Rt△ AOE$中，$OA=10$，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$。
在$Rt△ COF$中，$OC=10$，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
分两种情况计算距离：
①当AB、CD在圆心O的同侧时，$EF=OF-OE=8-6=2$；
②当AB、CD在圆心O的异侧时，$EF=OF+OE=8+6=14$。
综上，AB与CD之间的距离为2或14。
【答案】
2或14
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是只考虑两条弦在圆心同侧的情况，漏掉异侧的情况导致漏解。解题时需先对平行弦的位置分类讨论，再结合垂径定理和勾股定理计算弦心距，最终求出两弦的距离。
【难度系数】
0.6
10. 如图,点A,B,C,D在$\odot O$上,$AB=CD$,且$AB ⊥ CD$,$OE ⊥ AB$,$OF ⊥ CD$,垂足分别为H,E,F.
(1)求证:四边形OEHF为正方形.
(2)若$CH=2$,$DH=10$,求$\odot O$的半径长.
(1)求证:四边形OEHF为正方形.
(2)若$CH=2$,$DH=10$,求$\odot O$的半径长.
答案
10. (1)【证明】如图,连接AO,OD.
由题意得∠EHF=∠OEH=∠OFH=90°,
$AE=\frac{1}{2}AB,DF=\frac{1}{2}CD$.
∴四边形OEHF是矩形.
∵AB=CD,
∴AE=DF.
在$\mathrm{Rt}△AEO$和$\mathrm{Rt}△DFO$中,
$\begin{cases}OA=OD,\\AE=DF,\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△AEO≌\mathrm{Rt}△DFO(\mathrm{HL})$.
∴OE=OF.
∴四边形OEHF是正方形.
(2)【解】
∵CH=2,DH=10,
∴CD=12.
∵$OF⊥ CD$,
∴$CF=DF=\frac{1}{2}CD=6$.
∴OF=FH=CF-CH=4.
∴$\odot O$的半径长为$\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$.
解析
【分析】
(1) 证明四边形OEHF为正方形可按两步推导：第一步先证矩形，由已知的AB⊥CD、OE⊥AB、OF⊥CD可得四边形三个内角均为直角，即可判定为矩形；第二步证邻边相等，结合垂径定理，由AB=CD可得两条弦的一半相等，再通过HL证明Rt△AEO和Rt△DFO全等，得到OE=OF，邻边相等的矩形即为正方形。
(2) 求圆的半径需结合垂径定理和勾股定理计算：先由CH、DH的长度求出CD总长，根据垂径定理得到CD一半的长度，再利用正方形的性质求出弦心距OF的长度，最后在Rt△OFD中用勾股定理计算半径即可。
【解析】
(1) 证明：如图，连接AO，OD。
由题意得∠EHF=∠OEH=∠OFH=90°，
根据垂径定理得$AE=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}CD$，
因此四边形OEHF是矩形。
∵AB=CD，
∴AE=DF。
在$\mathrm{Rt}△AEO$和$\mathrm{Rt}△DFO$中，
$\begin{cases}OA=OD,\\AE=DF,\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△AEO≌\mathrm{Rt}△DFO(\mathrm{HL})$，
∴OE=OF，
∴矩形OEHF是正方形。
(2) 解：
∵CH=2，DH=10，
∴CD=CH+DH=12，
∵$OF⊥ CD$，根据垂径定理得$CF=DF=\frac{1}{2}CD=6$，
∴FH=CF-CH=6-2=4，
由(1)知四边形OEHF是正方形，故OF=FH=4，
在$\mathrm{Rt}△OFD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OF^2+DF^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$。
【答案】
(1) 四边形OEHF为正方形，证明如下：如图,连接AO,OD.
由题意得∠EHF=∠OEH=∠OFH=90°,
$AE=\frac{1}{2}AB,DF=\frac{1}{2}CD$.
∴四边形OEHF是矩形.
∵AB=CD,
∴AE=DF.
在$\mathrm{Rt}△AEO$和$\mathrm{Rt}△DFO$中,
$\begin{cases}OA=OD,\\AE=DF,\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△AEO≌\mathrm{Rt}△DFO(\mathrm{HL})$.
∴OE=OF.
∴四边形OEHF是正方形.
(2) $\odot O$的半径长为$2\sqrt{13}$。
【知识点】
垂径定理、正方形的判定、勾股定理
【点评】
本题属于圆与几何图形结合的基础综合题，核心考查垂径定理的应用，同时结合了特殊四边形判定和勾股定理的知识点，解题时需理清各性质之间的关联，合理构造直角三角形即可顺利求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 证明四边形OEHF为正方形可按两步推导：第一步先证矩形，由已知的AB⊥CD、OE⊥AB、OF⊥CD可得四边形三个内角均为直角，即可判定为矩形；第二步证邻边相等，结合垂径定理，由AB=CD可得两条弦的一半相等，再通过HL证明Rt△AEO和Rt△DFO全等，得到OE=OF，邻边相等的矩形即为正方形。
(2) 求圆的半径需结合垂径定理和勾股定理计算：先由CH、DH的长度求出CD总长，根据垂径定理得到CD一半的长度，再利用正方形的性质求出弦心距OF的长度，最后在Rt△OFD中用勾股定理计算半径即可。
【解析】
(1) 证明：如图，连接AO，OD。
由题意得∠EHF=∠OEH=∠OFH=90°，
根据垂径定理得$AE=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}CD$，
因此四边形OEHF是矩形。
∵AB=CD，
∴AE=DF。
在$\mathrm{Rt}△AEO$和$\mathrm{Rt}△DFO$中，
$\begin{cases}OA=OD,\\AE=DF,\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△AEO≌\mathrm{Rt}△DFO(\mathrm{HL})$，
∴OE=OF，
∴矩形OEHF是正方形。
(2) 解：
∵CH=2，DH=10，
∴CD=CH+DH=12，
∵$OF⊥ CD$，根据垂径定理得$CF=DF=\frac{1}{2}CD=6$，
∴FH=CF-CH=6-2=4，
由(1)知四边形OEHF是正方形，故OF=FH=4，
在$\mathrm{Rt}△OFD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OF^2+DF^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$。
【答案】
(1) 四边形OEHF为正方形，证明如下：如图,连接AO,OD.
由题意得∠EHF=∠OEH=∠OFH=90°,
$AE=\frac{1}{2}AB,DF=\frac{1}{2}CD$.
∴四边形OEHF是矩形.
∵AB=CD,
∴AE=DF.
在$\mathrm{Rt}△AEO$和$\mathrm{Rt}△DFO$中,
$\begin{cases}OA=OD,\\AE=DF,\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△AEO≌\mathrm{Rt}△DFO(\mathrm{HL})$.
∴OE=OF.
∴四边形OEHF是正方形.
(2) $\odot O$的半径长为$2\sqrt{13}$。
【知识点】
垂径定理、正方形的判定、勾股定理
【点评】
本题属于圆与几何图形结合的基础综合题，核心考查垂径定理的应用，同时结合了特殊四边形判定和勾股定理的知识点，解题时需理清各性质之间的关联，合理构造直角三角形即可顺利求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
11.如图,两个圆都以点O为圆心,半径分别为$\sqrt{5}$和$2\sqrt{5}$,矩形ABCD的边AB,CD分别为两圆的弦.当矩形ABCD的面积最大时,AB的长为
4
.答案
11. 4 【解析】如图,过点O分别作$OM⊥ AD,ON⊥ AB$,垂足分别为M,N,连接OA,OD.
∵四边形ABCD是矩形,
∴$∠ BAD=90°$.
∴四边形OMAN是矩形.
∴OM=AN.
∵$ON⊥ AB$,
∴$AB=2AN=2OM$.
∴$S_{△ OAD}=\frac{1}{2}AD· OM=\frac{1}{4}AD· AB$.
∵$S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AD· AB$,
∴$S_{\mathrm{矩形}ABCD}=4S_{△ OAD}$.
∴当$△ OAD$的面积最大时,矩形ABCD的面积最大.
∵$OA=\sqrt{5},OD=2\sqrt{5}$,当$OA⊥ OD$时,$△ OAD$的面积最大,
∴此时$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=5$,$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}AD· OM=\frac{1}{2}OA· OD$.
∴$5OM=\sqrt{5}×2\sqrt{5}$.
∴OM=2.
∴AB=2OM=4.
∴当矩形ABCD的面积最大时,AB的长为4.
解析
【分析】
要解决这个问题，可按以下思路推导：1. 先作辅助线，利用垂径定理和矩形性质，建立矩形边长与圆心到矩形边的距离的对应关系；2. 将矩形面积转化为△OAD面积的倍数，由于OA、OD是定值（同心圆半径），可知△OAD面积最大时矩形面积最大；3. 明确两边固定的三角形面积最大的条件是两边夹角为直角，再结合勾股定理、等面积法计算对应线段长度，最终求出AB的长。
【解析】
如图，过点O分别作$OM⊥ AD,ON⊥ AB$，垂足分别为M,N，连接OA,OD。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ BAD=90°$，
∴四边形OMAN是矩形，
∴$OM=AN$。
∵$ON⊥ AB$，根据垂径定理，
∴$AB=2AN=2OM$。
$S_{△ OAD}=\frac{1}{2}AD· OM=\frac{1}{2}AD· \frac{AB}{2}=\frac{1}{4}AD· AB$，
∵$S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AD· AB$，
∴$S_{\mathrm{矩形}ABCD}=4S_{△ OAD}$，
即当$△ OAD$的面积最大时，矩形ABCD的面积最大。
已知$OA=\sqrt{5},OD=2\sqrt{5}$，两边长度固定的三角形，夹角为直角时面积最大，即当$OA⊥ OD$时，$△ OAD$的面积最大。
此时由勾股定理得：$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5+20}=5$。
△OAD的面积可表示为$\frac{1}{2}OA· OD$，也可表示为$\frac{1}{2}AD· OM$，因此：
$\frac{1}{2}×5×OM=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}$，
化简得$5OM=10$，解得$OM=2$，
∴$AB=2OM=2×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
垂径定理，矩形的性质，三角形面积最值
【点评】
本题综合了圆、矩形的性质与几何最值问题，核心是通过转化思想将矩形面积最值转化为定边三角形的面积最值，能够考查几何知识的综合运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，可按以下思路推导：1. 先作辅助线，利用垂径定理和矩形性质，建立矩形边长与圆心到矩形边的距离的对应关系；2. 将矩形面积转化为△OAD面积的倍数，由于OA、OD是定值（同心圆半径），可知△OAD面积最大时矩形面积最大；3. 明确两边固定的三角形面积最大的条件是两边夹角为直角，再结合勾股定理、等面积法计算对应线段长度，最终求出AB的长。
【解析】
如图，过点O分别作$OM⊥ AD,ON⊥ AB$，垂足分别为M,N，连接OA,OD。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ BAD=90°$，
∴四边形OMAN是矩形，
∴$OM=AN$。
∵$ON⊥ AB$，根据垂径定理，
∴$AB=2AN=2OM$。
$S_{△ OAD}=\frac{1}{2}AD· OM=\frac{1}{2}AD· \frac{AB}{2}=\frac{1}{4}AD· AB$，
∵$S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AD· AB$，
∴$S_{\mathrm{矩形}ABCD}=4S_{△ OAD}$，
即当$△ OAD$的面积最大时，矩形ABCD的面积最大。
已知$OA=\sqrt{5},OD=2\sqrt{5}$，两边长度固定的三角形，夹角为直角时面积最大，即当$OA⊥ OD$时，$△ OAD$的面积最大。
此时由勾股定理得：$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5+20}=5$。
△OAD的面积可表示为$\frac{1}{2}OA· OD$，也可表示为$\frac{1}{2}AD· OM$，因此：
$\frac{1}{2}×5×OM=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}$，
化简得$5OM=10$，解得$OM=2$，
∴$AB=2OM=2×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
垂径定理，矩形的性质，三角形面积最值
【点评】
本题综合了圆、矩形的性质与几何最值问题，核心是通过转化思想将矩形面积最值转化为定边三角形的面积最值，能够考查几何知识的综合运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
