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23. (11分)问题:已知方程$x^2+x-1=0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍。
解:设所求方程的根为$y$,则$y=2x$。$\therefore x=\frac{y}{2}$。把$x=\frac{y}{2}$代入已知方程,得$(\frac{y}{2})^2+\frac{y}{2}-1=0$。
化简,得$y^2+2y-4=0$。
故所求方程为$y^2+2y-4=0$。
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”。
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式)。
(1)已知方程$x^2+2x-1=0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为;
(2)已知关于$y$的一元二次方程$cy^2+by+a=0$($c≠0$,有两个不等于零的实数根)分别是某个已知一元二次方程的根的倒数,求该已知的一元二次方程;
(3)已知关于$x$的一元二次方程$(m^2+4)x^2+(4m+8)x+4=0$($m＜15$)有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数。
解:设所求方程的根为$y$,则$y=2x$。$\therefore x=\frac{y}{2}$。把$x=\frac{y}{2}$代入已知方程,得$(\frac{y}{2})^2+\frac{y}{2}-1=0$。
化简,得$y^2+2y-4=0$。
故所求方程为$y^2+2y-4=0$。
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”。
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式)。
(1)已知方程$x^2+2x-1=0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为;
(2)已知关于$y$的一元二次方程$cy^2+by+a=0$($c≠0$,有两个不等于零的实数根)分别是某个已知一元二次方程的根的倒数,求该已知的一元二次方程;
(3)已知关于$x$的一元二次方程$(m^2+4)x^2+(4m+8)x+4=0$($m＜15$)有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数。
答案
(1)
解：设所求方程的根为$y$，则$y=-x$，
$\therefore x=-y$。
把$x=-y$代入已知方程$x^2+2x-1=0$，得$(-y)^2 + 2·(-y) -1=0$，
化简得$y^2-2y-1=0$。
故所求方程为$\boldsymbol{y^2-2y-1=0}$。
---
(2)
解：设所求已知一元二次方程的根为$x$，由题意可知，$y=\frac{1}{x}$（$x≠0$），
$\therefore x=\frac{1}{y}$。
把$y=\frac{1}{x}$代入方程$cy^2+by+a=0$，得$c·(\frac{1}{x})^2 + b·\frac{1}{x} + a = 0$，
方程两边同乘$x^2$，得$c + bx + ax^2=0$，
整理为一般形式：$ax^2 + bx + c=0$。
故所求的已知一元二次方程为$\boldsymbol{ax^2 + bx + c=0}$。
---
(3)
解：设所求方程的根为$y$，则$y=\frac{1}{x}$（$x≠0$），
$\therefore x=\frac{1}{y}$。
把$x=\frac{1}{y}$代入方程$(m^2+4)x^2+(4m+8)x+4=0$，
得$(m^2+4)·(\frac{1}{y})^2 + (4m+8)·\frac{1}{y} + 4 = 0$，
方程两边同乘$y^2$，整理得：$4y^2 + (4m+8)y + m^2 + 4 = 0$。
由原方程的判别式$\Delta=(4m+8)^2 - 4·(m^2+4)·4=64m\ge0$，得$m\ge0$，
又$m＜15$，$\therefore 0\le m＜15$。
将上述关于$y$的方程变形，得$(2y + m + 2)^2=4m$。
$\because y$是整数，$\therefore 4m$必须为非负完全平方数。
设$4m=k^2$（$k$为非负整数），则$m=\frac{k^2}{4}$，
$\because y_1+y_2=-m-2$为整数，$\therefore m$为整数，因此$k$为偶数，令$k=2t$（$t$为非负整数），得$m=t^2$。
结合$0\le m＜15$，$t$可取$0,1,2,3$：
当$t=0$，$m=0$时，方程为$y^2+2y+1=0$，两根相等均为$-1$，不符合要求；
当$t=1$，$m=1$时，方程为$4y^2+12y+5=0$，根不是整数，舍去；
当$t=2$，$m=4$时，方程化简得$y^2+6y+5=0$，根为$-1$和$-5$，均为整数，符合要求；
当$t=3$，$m=9$时，方程根不是整数，舍去。
故所求方程为$\boldsymbol{y^2+6y+5=0}$。
解：设所求方程的根为$y$，则$y=-x$，
$\therefore x=-y$。
把$x=-y$代入已知方程$x^2+2x-1=0$，得$(-y)^2 + 2·(-y) -1=0$，
化简得$y^2-2y-1=0$。
故所求方程为$\boldsymbol{y^2-2y-1=0}$。
---
(2)
解：设所求已知一元二次方程的根为$x$，由题意可知，$y=\frac{1}{x}$（$x≠0$），
$\therefore x=\frac{1}{y}$。
把$y=\frac{1}{x}$代入方程$cy^2+by+a=0$，得$c·(\frac{1}{x})^2 + b·\frac{1}{x} + a = 0$，
方程两边同乘$x^2$，得$c + bx + ax^2=0$，
整理为一般形式：$ax^2 + bx + c=0$。
故所求的已知一元二次方程为$\boldsymbol{ax^2 + bx + c=0}$。
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(3)
解：设所求方程的根为$y$，则$y=\frac{1}{x}$（$x≠0$），
$\therefore x=\frac{1}{y}$。
把$x=\frac{1}{y}$代入方程$(m^2+4)x^2+(4m+8)x+4=0$，
得$(m^2+4)·(\frac{1}{y})^2 + (4m+8)·\frac{1}{y} + 4 = 0$，
方程两边同乘$y^2$，整理得：$4y^2 + (4m+8)y + m^2 + 4 = 0$。
由原方程的判别式$\Delta=(4m+8)^2 - 4·(m^2+4)·4=64m\ge0$，得$m\ge0$，
又$m＜15$，$\therefore 0\le m＜15$。
将上述关于$y$的方程变形，得$(2y + m + 2)^2=4m$。
$\because y$是整数，$\therefore 4m$必须为非负完全平方数。
设$4m=k^2$（$k$为非负整数），则$m=\frac{k^2}{4}$，
$\because y_1+y_2=-m-2$为整数，$\therefore m$为整数，因此$k$为偶数，令$k=2t$（$t$为非负整数），得$m=t^2$。
结合$0\le m＜15$，$t$可取$0,1,2,3$：
当$t=0$，$m=0$时，方程为$y^2+2y+1=0$，两根相等均为$-1$，不符合要求；
当$t=1$，$m=1$时，方程为$4y^2+12y+5=0$，根不是整数，舍去；
当$t=2$，$m=4$时，方程化简得$y^2+6y+5=0$，根为$-1$和$-5$，均为整数，符合要求；
当$t=3$，$m=9$时，方程根不是整数，舍去。
故所求方程为$\boldsymbol{y^2+6y+5=0}$。
解析
【分析】
本题是阅读理解类题型，核心是运用材料给出的“换根法”构造新的一元二次方程，解题思路如下：(1)第一问要求新方程根是原方程根的相反数，设新方程根为$y$，可得$y=-x$，将$x=-y$代入原方程化简即可；(2)第二问要求所求方程的根是已知方程根的倒数，设所求方程根为$x$，可得$y=\frac{1}{x}$，将$x=\frac{1}{y}$代入已知方程，去分母整理为一般形式即可，注意根不为0的条件；(3)第三问先按倒数的换根关系得到关于$y$的方程，再结合原方程判别式求出$m$的取值范围，再根据$y$是整数的条件筛选符合要求的$m$值，最终得到所求方程。
【解析】
(1) 设所求方程的根为$y$，则$y=-x$，
$\therefore x=-y$。
把$x=-y$代入已知方程$x^2+2x-1=0$，得$(-y)^2 + 2·(-y) -1=0$，
化简得$y^2-2y-1=0$。
(2) 设所求已知一元二次方程的根为$x$，由题意可知，$y=\frac{1}{x}$（$x≠0$），
$\therefore x=\frac{1}{y}$。
把$y=\frac{1}{x}$代入方程$cy^2+by+a=0$，得$c·(\frac{1}{x})^2 + b·\frac{1}{x} + a = 0$，
方程两边同乘$x^2$，得$c + bx + ax^2=0$，
整理为一般形式：$ax^2 + bx + c=0$。
(3) 设所求方程的根为$y$，则$y=\frac{1}{x}$（$x≠0$），
$\therefore x=\frac{1}{y}$。
把$x=\frac{1}{y}$代入方程$(m^2+4)x^2+(4m+8)x+4=0$，
得$(m^2+4)·(\frac{1}{y})^2 + (4m+8)·\frac{1}{y} + 4 = 0$，
方程两边同乘$y^2$，整理得：$4y^2 + (4m+8)y + m^2 + 4 = 0$。
由原方程的判别式$\Delta=(4m+8)^2 - 4·(m^2+4)·4=64m\ge0$，得$m\ge0$，
又$m＜15$，$\therefore 0\le m＜15$。
将上述关于$y$的方程变形，得$(2y + m + 2)^2=4m$。
$\because y$是整数，$\therefore 4m$必须为非负完全平方数。
设$4m=k^2$（$k$为非负整数），则$m=\frac{k^2}{4}$，
$\because y_1+y_2=-m-2$为整数，$\therefore m$为整数，因此$k$为偶数，令$k=2t$（$t$为非负整数），得$m=t^2$。
结合$0\le m＜15$，$t$可取$0,1,2,3$：
当$t=0$，$m=0$时，方程为$y^2+2y+1=0$，两根相等均为$-1$，不符合要求；
当$t=1$，$m=1$时，方程为$4y^2+12y+5=0$，根不是整数，舍去；
当$t=2$，$m=4$时，方程化简得$y^2+6y+5=0$，根为$-1$和$-5$，均为整数，符合要求；
当$t=3$，$m=9$时，方程根不是整数，舍去。
【答案】
(1)$\boldsymbol{y^2-2y-1=0}$；(2)$\boldsymbol{ax^2 + bx + c=0}$；(3)$\boldsymbol{y^2+6y+5=0}$
【知识点】
换根法构造方程，一元二次方程一般形式，整数根求解
【点评】
本题考查知识迁移应用能力，前两问侧重对换根法的直接运用，难度较低；第三问结合了一元二次方程判别式、整数根的筛选，需要细心验证符合条件的参数值，避免漏选或错选。
【难度系数】
0.6
本题是阅读理解类题型，核心是运用材料给出的“换根法”构造新的一元二次方程，解题思路如下：(1)第一问要求新方程根是原方程根的相反数，设新方程根为$y$，可得$y=-x$，将$x=-y$代入原方程化简即可；(2)第二问要求所求方程的根是已知方程根的倒数，设所求方程根为$x$，可得$y=\frac{1}{x}$，将$x=\frac{1}{y}$代入已知方程，去分母整理为一般形式即可，注意根不为0的条件；(3)第三问先按倒数的换根关系得到关于$y$的方程，再结合原方程判别式求出$m$的取值范围，再根据$y$是整数的条件筛选符合要求的$m$值，最终得到所求方程。
【解析】
(1) 设所求方程的根为$y$，则$y=-x$，
$\therefore x=-y$。
把$x=-y$代入已知方程$x^2+2x-1=0$，得$(-y)^2 + 2·(-y) -1=0$，
化简得$y^2-2y-1=0$。
(2) 设所求已知一元二次方程的根为$x$，由题意可知，$y=\frac{1}{x}$（$x≠0$），
$\therefore x=\frac{1}{y}$。
把$y=\frac{1}{x}$代入方程$cy^2+by+a=0$，得$c·(\frac{1}{x})^2 + b·\frac{1}{x} + a = 0$，
方程两边同乘$x^2$，得$c + bx + ax^2=0$，
整理为一般形式：$ax^2 + bx + c=0$。
(3) 设所求方程的根为$y$，则$y=\frac{1}{x}$（$x≠0$），
$\therefore x=\frac{1}{y}$。
把$x=\frac{1}{y}$代入方程$(m^2+4)x^2+(4m+8)x+4=0$，
得$(m^2+4)·(\frac{1}{y})^2 + (4m+8)·\frac{1}{y} + 4 = 0$，
方程两边同乘$y^2$，整理得：$4y^2 + (4m+8)y + m^2 + 4 = 0$。
由原方程的判别式$\Delta=(4m+8)^2 - 4·(m^2+4)·4=64m\ge0$，得$m\ge0$，
又$m＜15$，$\therefore 0\le m＜15$。
将上述关于$y$的方程变形，得$(2y + m + 2)^2=4m$。
$\because y$是整数，$\therefore 4m$必须为非负完全平方数。
设$4m=k^2$（$k$为非负整数），则$m=\frac{k^2}{4}$，
$\because y_1+y_2=-m-2$为整数，$\therefore m$为整数，因此$k$为偶数，令$k=2t$（$t$为非负整数），得$m=t^2$。
结合$0\le m＜15$，$t$可取$0,1,2,3$：
当$t=0$，$m=0$时，方程为$y^2+2y+1=0$，两根相等均为$-1$，不符合要求；
当$t=1$，$m=1$时，方程为$4y^2+12y+5=0$，根不是整数，舍去；
当$t=2$，$m=4$时，方程化简得$y^2+6y+5=0$，根为$-1$和$-5$，均为整数，符合要求；
当$t=3$，$m=9$时，方程根不是整数，舍去。
【答案】
(1)$\boldsymbol{y^2-2y-1=0}$；(2)$\boldsymbol{ax^2 + bx + c=0}$；(3)$\boldsymbol{y^2+6y+5=0}$
【知识点】
换根法构造方程，一元二次方程一般形式，整数根求解
【点评】
本题考查知识迁移应用能力，前两问侧重对换根法的直接运用，难度较低；第三问结合了一元二次方程判别式、整数根的筛选，需要细心验证符合条件的参数值，避免漏选或错选。
【难度系数】
0.6
