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1. 我们已学习过哪些判定三角形全等的方法？
答案
三角形全等的判定方法有：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS），针对直角三角形还有斜边直角边（HL）。
解析
【分析】
本题属于基础概念识记类题目，解题时先梳理普通三角形通用的全等判定方法，再补充直角三角形特有的判定方法即可，作答时要注意各判定方法的简称与对应内容匹配准确，不要遗漏直角三角形的特殊判定定理。
【解析】
三角形全等的判定方法分为两类：
1. 适用于所有三角形的通用判定方法：
（1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等；
（2）边角边（SAS）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；
（3）角边角（ASA）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；
（4）角角边（AAS）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
2. 仅适用于直角三角形的特殊判定方法：
斜边直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
【答案】
三角形全等的判定方法有：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS），针对直角三角形还有斜边直角边（HL）。
【知识点】
三角形全等的判定；直角三角形全等的特殊判定
【点评】
本题是对基础几何概念的考查，是学习三角形相似判定的预备知识，需要准确记忆各判定方法的内容，区分各判定定理的使用条件，为后续几何证明类题目的学习打好基础。
【难度系数】
0.9
本题属于基础概念识记类题目，解题时先梳理普通三角形通用的全等判定方法，再补充直角三角形特有的判定方法即可，作答时要注意各判定方法的简称与对应内容匹配准确，不要遗漏直角三角形的特殊判定定理。
【解析】
三角形全等的判定方法分为两类：
1. 适用于所有三角形的通用判定方法：
（1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等；
（2）边角边（SAS）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；
（3）角边角（ASA）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；
（4）角角边（AAS）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
2. 仅适用于直角三角形的特殊判定方法：
斜边直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
【答案】
三角形全等的判定方法有：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS），针对直角三角形还有斜边直角边（HL）。
【知识点】
三角形全等的判定；直角三角形全等的特殊判定
【点评】
本题是对基础几何概念的考查，是学习三角形相似判定的预备知识，需要准确记忆各判定方法的内容，区分各判定定理的使用条件，为后续几何证明类题目的学习打好基础。
【难度系数】
0.9
2. 如图,在$△ ABC$中,点$D$在$AB$上,如果$∠ ACD = ∠ B$,那么$△ ACD$与$△ ABC$相似吗？
答案
$△ ACD$与$△ ABC$相似。理由：$∠A$是两个三角形的公共角，又$∠ ACD = ∠ B$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ACD ∽ △ ABC$。
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，可先回忆三角形相似的判定定理，其中两角分别相等的两个三角形相似是最常用的判定方法之一。首先观察△ACD和△ABC，可发现∠A是两个三角形共有的公共角，再结合题目给出的∠ACD=∠B的已知条件，就能得到两个角分别对应相等，满足相似的判定条件，即可得出结论。
【解析】
解：△ACD与△ABC相似，理由如下：
在△ACD和△ABC中，∠A是公共角，因此∠A=∠A，
又已知∠ACD=∠B，
根据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理，可证得△ACD∽△ABC。
【答案】
△ACD与△ABC相似。理由：∠A是两个三角形的公共角，又∠ACD = ∠B，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ACD ∽ △ABC。
【知识点】
相似三角形的判定、公共角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题核心是准确识别两个三角形的公共角，结合已知的等角条件，运用对应的相似判定定理即可快速求解，是相似三角形判定部分的典型基础题。
【难度系数】
0.9
要判断两个三角形是否相似，可先回忆三角形相似的判定定理，其中两角分别相等的两个三角形相似是最常用的判定方法之一。首先观察△ACD和△ABC，可发现∠A是两个三角形共有的公共角，再结合题目给出的∠ACD=∠B的已知条件，就能得到两个角分别对应相等，满足相似的判定条件，即可得出结论。
【解析】
解：△ACD与△ABC相似，理由如下：
在△ACD和△ABC中，∠A是公共角，因此∠A=∠A，
又已知∠ACD=∠B，
根据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理，可证得△ACD∽△ABC。
【答案】
△ACD与△ABC相似。理由：∠A是两个三角形的公共角，又∠ACD = ∠B，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ACD ∽ △ABC。
【知识点】
相似三角形的判定、公共角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题核心是准确识别两个三角形的公共角，结合已知的等角条件，运用对应的相似判定定理即可快速求解，是相似三角形判定部分的典型基础题。
【难度系数】
0.9
3. 如图,在$△ ABC$中,点D在AB上,如果$AC^2 =AD· AB$,那么$△ ACD$与$△ ABC$相似吗？说说你的理由.
答案
$△ ACD$与$△ ABC$相似。理由：由$AC^2 =AD· AB$可得$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，又$∠A$是两个三角形的公共夹角，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ACD ∽ △ ABC$。
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，可优先结合已知条件匹配对应的相似判定定理。本题已知边的等积关系，且两个三角形有公共角∠A，因此选择“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法解题：第一步先将等积式转化为比例式，验证两组对应边的比是否相等；第二步确认两组边的夹角为公共角，满足夹角相等的条件，即可完成相似判定。
【解析】
解：△ACD与△ABC相似，推导过程如下：
已知$AC^2 =AD· AB$，根据比例的基本性质，将等积式变形为比例式，可得：
$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$
又
∵∠A是△ACD和△ABC的公共角，即$∠ A=∠ A$
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ ACD ∽ △ ABC$。
【答案】
$△ ACD$与$△ ABC$相似。理由：由$AC^2 =AD· AB$可得$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，又$∠A$是两个三角形的公共夹角，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ACD ∽ △ ABC$。
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题，核心考查两边及夹角的相似判定定理，解题关键是熟练掌握等积式和比例式的互化，同时准确找到两个三角形的公共夹角。
【难度系数】
0.8
要判断两个三角形是否相似，可优先结合已知条件匹配对应的相似判定定理。本题已知边的等积关系，且两个三角形有公共角∠A，因此选择“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法解题：第一步先将等积式转化为比例式，验证两组对应边的比是否相等；第二步确认两组边的夹角为公共角，满足夹角相等的条件，即可完成相似判定。
【解析】
解：△ACD与△ABC相似，推导过程如下：
已知$AC^2 =AD· AB$，根据比例的基本性质，将等积式变形为比例式，可得：
$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$
又
∵∠A是△ACD和△ABC的公共角，即$∠ A=∠ A$
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ ACD ∽ △ ABC$。
【答案】
$△ ACD$与$△ ABC$相似。理由：由$AC^2 =AD· AB$可得$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，又$∠A$是两个三角形的公共夹角，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ACD ∽ △ ABC$。
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题，核心考查两边及夹角的相似判定定理，解题关键是熟练掌握等积式和比例式的互化，同时准确找到两个三角形的公共夹角。
【难度系数】
0.8
三角形相似的判定定理1：
几何语言：∵ $∠ A = ∠ A'$, $∠ B = ∠ B'$
∴ $△ ABC ∽ △ A'B'C'$
三角形相似的判定定理2：
几何语言：∵ $\frac{AB}{AB'} = \frac{AC}{A'C}$, $∠ A = ∠ A'$
∴ $△ ABC ∽ △ A'B'C'$
两角分别相等
的两个三角形相似。几何语言：∵ $∠ A = ∠ A'$, $∠ B = ∠ B'$
∴ $△ ABC ∽ △ A'B'C'$
三角形相似的判定定理2：
两边成比例且夹角相等
的两个三角形相似。几何语言：∵ $\frac{AB}{AB'} = \frac{AC}{A'C}$, $∠ A = ∠ A'$
∴ $△ ABC ∽ △ A'B'C'$
答案
三角形相似的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。
三角形相似的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
三角形相似的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
解析
【分析】
本题考查相似三角形判定定理的识记，可结合题目给出的几何语言反推定理内容：①观察判定定理1的几何语言，给出的条件是两个角分别对应相等，由此可对应得到定理1的文字描述；②观察判定定理2的几何语言，给出的条件是两组对应边成比例，且两组边的夹角相等，由此可对应得到定理2的文字描述。
【解析】
1. 判定定理1的几何语言给出条件为$∠ A = ∠ A'$，$∠ B = ∠ B'$，即两个三角形有两个角分别相等，因此对应的判定定理为两角分别相等的两个三角形相似。
2. 判定定理2的几何语言给出条件为两组对应边的比值相等（即两边成比例），且两组边的夹角$∠ A = ∠ A'$，因此对应的判定定理为两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
【答案】
三角形相似的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。
三角形相似的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
【知识点】
1. 两角判定相似
2. 两边及夹角判定相似
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求学生掌握相似三角形判定定理的文字表述与对应的几何语言，是后续解决相似三角形相关证明、计算问题的基础，需牢固记忆。
【难度系数】
0.9
本题考查相似三角形判定定理的识记，可结合题目给出的几何语言反推定理内容：①观察判定定理1的几何语言，给出的条件是两个角分别对应相等，由此可对应得到定理1的文字描述；②观察判定定理2的几何语言，给出的条件是两组对应边成比例，且两组边的夹角相等，由此可对应得到定理2的文字描述。
【解析】
1. 判定定理1的几何语言给出条件为$∠ A = ∠ A'$，$∠ B = ∠ B'$，即两个三角形有两个角分别相等，因此对应的判定定理为两角分别相等的两个三角形相似。
2. 判定定理2的几何语言给出条件为两组对应边的比值相等（即两边成比例），且两组边的夹角$∠ A = ∠ A'$，因此对应的判定定理为两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
【答案】
三角形相似的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。
三角形相似的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
【知识点】
1. 两角判定相似
2. 两边及夹角判定相似
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求学生掌握相似三角形判定定理的文字表述与对应的几何语言，是后续解决相似三角形相关证明、计算问题的基础，需牢固记忆。
【难度系数】
0.9
如图，$△ ABC$ 是等腰三角形，$AB = AC$，$∠ A = 36°$，$BC = 1$，$BD$ 平分 $∠ ABC$，且交 $AC$ 于点 $D$.
(1) 求证: $△ BCD ∽ △ ABC$
(2) 求 $AC$ 的长.
(1) 求证: $△ BCD ∽ △ ABC$
(2) 求 $AC$ 的长.
答案
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，$∠ A = 36°$，
∴ $∠ABC=∠C=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
∵ $BD$ 平分 $∠ ABC$，
∴ $∠DBC=∠ABD=36°$。
∴ $∠DBC=∠A=36°$，又$∠C$是$△ BCD$和$△ ABC$的公共角，
∴ $△ BCD ∽ △ ABC$。
(2) 解：设$AC=x$，由$△ BCD ∽ △ ABC$得$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$，即$BC^2=AC·CD$。
∵ $∠A=∠ABD=36°$，
∴ $AD=BD$，又$∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C$，
∴ $BD=BC=1$，即$AD=1$，$CD=x-1$。
代入得$1^2=x(x-1)$，即$x^2-x-1=0$，解得$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（负根舍去），即$AC$的长为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
∵ $AB=AC$，$∠ A = 36°$，
∴ $∠ABC=∠C=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
∵ $BD$ 平分 $∠ ABC$，
∴ $∠DBC=∠ABD=36°$。
∴ $∠DBC=∠A=36°$，又$∠C$是$△ BCD$和$△ ABC$的公共角，
∴ $△ BCD ∽ △ ABC$。
(2) 解：设$AC=x$，由$△ BCD ∽ △ ABC$得$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$，即$BC^2=AC·CD$。
∵ $∠A=∠ABD=36°$，
∴ $AD=BD$，又$∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C$，
∴ $BD=BC=1$，即$AD=1$，$CD=x-1$。
代入得$1^2=x(x-1)$，即$x^2-x-1=0$，解得$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（负根舍去），即$AC$的长为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
解析
【分析】
(1) 要证明△BCD∽△ABC，可使用两角对应相等的相似判定定理：首先利用等腰三角形AB=AC、顶角∠A=36°计算出底角∠ABC和∠C的度数；再结合BD是角平分线推出∠DBC=∠A=36°，加上公共角∠C，即可得到两组对应角相等，完成相似证明。
(2) 求AC的长度时，先借助相似三角形的性质得到对应边成比例的关系式；再通过角度推导得出AD=BD=BC=1，设AC=x，用x表示出CD的长度，代入比例式得到一元二次方程，求解后舍去不符合实际的负根即可得到AC的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，$∠ A = 36°$，
∴ $∠ABC=∠C=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
∵ $BD$ 平分 $∠ ABC$，
∴ $∠DBC=∠ABD=36°$。
∴ $∠DBC=∠A=36°$，又$∠C$是$△ BCD$和$△ ABC$的公共角，
∴ $△ BCD ∽ △ ABC$。
(2) 解：设$AC=x$，
由$△ BCD ∽ △ ABC$得$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$，即$BC^2=AC·CD$。
∵ $∠A=∠ABD=36°$，
∴ $AD=BD$，又$∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C$，
∴ $BD=BC=1$，即$AD=1$，$CD=x-1$。
代入得$1^2=x(x-1)$，即$x^2-x-1=0$，
解得$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（负根不符合边长为正的要求，舍去）。
【答案】
(1) $△ BCD ∽ △ ABC$得证；
(2) $AC$的长为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
【知识点】
等腰三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题综合考查等腰三角形和相似三角形的相关知识，通过角度推导得到等角是证明相似的核心，再结合相似的比例关系和方程思想求解边长，是几何与代数结合的典型习题，同时涉及黄金分割的相关结论，能够有效考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△BCD∽△ABC，可使用两角对应相等的相似判定定理：首先利用等腰三角形AB=AC、顶角∠A=36°计算出底角∠ABC和∠C的度数；再结合BD是角平分线推出∠DBC=∠A=36°，加上公共角∠C，即可得到两组对应角相等，完成相似证明。
(2) 求AC的长度时，先借助相似三角形的性质得到对应边成比例的关系式；再通过角度推导得出AD=BD=BC=1，设AC=x，用x表示出CD的长度，代入比例式得到一元二次方程，求解后舍去不符合实际的负根即可得到AC的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，$∠ A = 36°$，
∴ $∠ABC=∠C=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
∵ $BD$ 平分 $∠ ABC$，
∴ $∠DBC=∠ABD=36°$。
∴ $∠DBC=∠A=36°$，又$∠C$是$△ BCD$和$△ ABC$的公共角，
∴ $△ BCD ∽ △ ABC$。
(2) 解：设$AC=x$，
由$△ BCD ∽ △ ABC$得$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$，即$BC^2=AC·CD$。
∵ $∠A=∠ABD=36°$，
∴ $AD=BD$，又$∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C$，
∴ $BD=BC=1$，即$AD=1$，$CD=x-1$。
代入得$1^2=x(x-1)$，即$x^2-x-1=0$，
解得$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（负根不符合边长为正的要求，舍去）。
【答案】
(1) $△ BCD ∽ △ ABC$得证；
(2) $AC$的长为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
【知识点】
等腰三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题综合考查等腰三角形和相似三角形的相关知识，通过角度推导得到等角是证明相似的核心，再结合相似的比例关系和方程思想求解边长，是几何与代数结合的典型习题，同时涉及黄金分割的相关结论，能够有效考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
1.（2025·上海浦东新区期中）下列命题中，是假命题的是(
A.各有一个角是$45°$的两个等腰三角形是相似三角形
B.各有一个角是$60°$的两个等腰三角形是相似三角形
C.各有一个角是$105°$的两个等腰三角形是相似三角形
D.两个等腰直角三角形是相似三角形
A
)A.各有一个角是$45°$的两个等腰三角形是相似三角形
B.各有一个角是$60°$的两个等腰三角形是相似三角形
C.各有一个角是$105°$的两个等腰三角形是相似三角形
D.两个等腰直角三角形是相似三角形
答案
1. A
解析：A选项中，若一个等腰三角形的45°角是顶角，另一个等腰三角形的45°角是底角，两个三角形的内角分别为45°、67.5°、67.5°和45°、45°、90°，不相似，为假命题；B选项有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，所有等边三角形都相似；C选项105°的角只能是等腰三角形的顶角，两个这样的等腰三角形内角都为105°、37.5°、37.5°，相似；D选项等腰直角三角形的内角都是90°、45°、45°，相似。
解析：A选项中，若一个等腰三角形的45°角是顶角，另一个等腰三角形的45°角是底角，两个三角形的内角分别为45°、67.5°、67.5°和45°、45°、90°，不相似，为假命题；B选项有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，所有等边三角形都相似；C选项105°的角只能是等腰三角形的顶角，两个这样的等腰三角形内角都为105°、37.5°、37.5°，相似；D选项等腰直角三角形的内角都是90°、45°、45°，相似。
解析
【分析】
要判断各命题的真假，核心依据是“两角分别相等的两个三角形相似”，同时结合等腰三角形的性质与三角形内角和定理分析：首先明确等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°，因此已知等腰三角形的一个角时，需先判断该角是顶角还是底角：若为钝角则只能是顶角，若为锐角则可能是顶角也可能是底角，逐一验证每个选项中两个等腰三角形的内角是否一定对应相等即可。
【解析】
对每个选项逐一分析如下：
A选项：45°是锐角，既可以作为等腰三角形的顶角，也可以作为底角。若一个等腰三角形的45°为顶角，其余两个底角均为$\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，三个内角为45°、67.5°、67.5°；若另一个等腰三角形的45°为底角，其余两个角为45°、90°，三个内角为45°、45°、90°。此时两个三角形的角不对应相等，不相似，因此该命题为假命题。
B选项：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，所有等边三角形的内角均为60°，满足两角分别相等，因此一定相似，是真命题。
C选项：105°是钝角，等腰三角形的底角不可能为钝角（否则两个底角之和超过180°，不符合内角和定理），因此105°只能是等腰三角形的顶角，两个底角均为$\frac{180°-105°}{2}=37.5°$，两个三角形的内角均为105°、37.5°、37.5°，满足两角分别相等，一定相似，是真命题。
D选项：所有等腰直角三角形的内角均为90°、45°、45°，满足两角分别相等，一定相似，是真命题。
综上，假命题为A选项。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；等腰三角形的性质；真假命题判断
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是不要默认等腰三角形的已知锐角是顶角或底角，需先结合三角形内角和定理确定角的可能位置，再判断两个三角形的内角是否对应相等，避免因考虑不全面出错。
【难度系数】
0.7
要判断各命题的真假，核心依据是“两角分别相等的两个三角形相似”，同时结合等腰三角形的性质与三角形内角和定理分析：首先明确等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°，因此已知等腰三角形的一个角时，需先判断该角是顶角还是底角：若为钝角则只能是顶角，若为锐角则可能是顶角也可能是底角，逐一验证每个选项中两个等腰三角形的内角是否一定对应相等即可。
【解析】
对每个选项逐一分析如下：
A选项：45°是锐角，既可以作为等腰三角形的顶角，也可以作为底角。若一个等腰三角形的45°为顶角，其余两个底角均为$\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，三个内角为45°、67.5°、67.5°；若另一个等腰三角形的45°为底角，其余两个角为45°、90°，三个内角为45°、45°、90°。此时两个三角形的角不对应相等，不相似，因此该命题为假命题。
B选项：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，所有等边三角形的内角均为60°，满足两角分别相等，因此一定相似，是真命题。
C选项：105°是钝角，等腰三角形的底角不可能为钝角（否则两个底角之和超过180°，不符合内角和定理），因此105°只能是等腰三角形的顶角，两个底角均为$\frac{180°-105°}{2}=37.5°$，两个三角形的内角均为105°、37.5°、37.5°，满足两角分别相等，一定相似，是真命题。
D选项：所有等腰直角三角形的内角均为90°、45°、45°，满足两角分别相等，一定相似，是真命题。
综上，假命题为A选项。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；等腰三角形的性质；真假命题判断
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是不要默认等腰三角形的已知锐角是顶角或底角，需先结合三角形内角和定理确定角的可能位置，再判断两个三角形的内角是否对应相等，避免因考虑不全面出错。
【难度系数】
0.7
