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1. 回顾列方程解决实际问题的一般步骤,结合课前预习,给出教科书问题1、问题2方程的列法,并整理成方程右边为零、左边按未知数的降幂排列的形式.
问题1化简、整理后的方程:
问题2化简、整理后的方程:
问题1化简、整理后的方程:
$x^2-75x+350=0$
.问题2化简、整理后的方程:
$x^2-x-56=0$
.答案
1. 问题1：$x^2-75x+350=0$
问题2：$x^2-x-56=0$
问题2：$x^2-x-56=0$
解析
【分析】
解决本题首先要明确列方程解决实际问题的基本逻辑，再按照要求整理方程：第一步先审题找到题目中的等量关系，设出未知数后根据等量关系列出初始方程；第二步对初始方程做变形，通过去括号、去分母把方程转化为整式形式；第三步将所有项移到等号左侧，让等号右侧为0，合并同类项后，把左侧的项按未知数的次数从高到低（降幂）排列即可。
【解析】
1. 问题1：根据教材问题的等量关系列出初始方程后，先展开括号，再将所有项移至等号左侧，合并同类项后按x的降幂排列，最终得到整理后的方程。
2. 问题2：根据教材问题的等量关系列出初始方程后，先去分母，再将所有项移至等号左侧，合并同类项后按x的降幂排列，最终得到整理后的方程。
【答案】
问题1：$\boldsymbol{x^2-75x+350=0}$
问题2：$\boldsymbol{x^2-x-56=0}$
【知识点】
列方程解应用题；整式运算；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础概念应用类题目，既考查了列方程解决实际问题的核心思路，又巩固了一元二次方程标准化整理的方法，是后续学习一元二次方程解法和应用的重要基础。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确列方程解决实际问题的基本逻辑，再按照要求整理方程：第一步先审题找到题目中的等量关系，设出未知数后根据等量关系列出初始方程；第二步对初始方程做变形，通过去括号、去分母把方程转化为整式形式；第三步将所有项移到等号左侧，让等号右侧为0，合并同类项后，把左侧的项按未知数的次数从高到低（降幂）排列即可。
【解析】
1. 问题1：根据教材问题的等量关系列出初始方程后，先展开括号，再将所有项移至等号左侧，合并同类项后按x的降幂排列，最终得到整理后的方程。
2. 问题2：根据教材问题的等量关系列出初始方程后，先去分母，再将所有项移至等号左侧，合并同类项后按x的降幂排列，最终得到整理后的方程。
【答案】
问题1：$\boldsymbol{x^2-75x+350=0}$
问题2：$\boldsymbol{x^2-x-56=0}$
【知识点】
列方程解应用题；整式运算；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础概念应用类题目，既考查了列方程解决实际问题的核心思路，又巩固了一元二次方程标准化整理的方法，是后续学习一元二次方程解法和应用的重要基础。
【难度系数】
0.8
2. 如果一元一次方程的特点概括为①一个,②一次,③整式,那么上方两个方程的特点可概括为①
只含有一个未知数
,②未知数的最高次数是2
,③整式方程
.此类方程我们称为一元二次方程,写出一元二次方程的定义:只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程
.答案
2. ① 只含有一个未知数
② 未知数的最高次数是2
③ 整式方程
一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。
② 未知数的最高次数是2
③ 整式方程
一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。
解析
【分析】
解题时可类比一元一次方程的3个特点推导：一元一次方程的“一个”指只含有1个未知数，“一次”指未知数的最高次数为1，“整式”指属于整式方程。对应一元二次方程的命名，“一元”对应第一个特点，即只含有一个未知数；“二次”对应第二个特点，即未知数的最高次数是2；和一元一次方程的属性一致，第三个特点仍为整式方程。最后将三个特点组合，即可得到一元二次方程的完整定义。
【解析】
对比一元一次方程的三个特征，对应推导一元二次方程的特点：
① “一元”说明方程只含有一个未知数；
② “二次”说明未知数的最高次数是2；
③ 与一元一次方程同属整式类方程，因此第三个特点是整式方程。
将上述三个特征整合，即可得到一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。
【答案】
① 只含有一个未知数
② 未知数的最高次数是2
③ 整式方程
一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。
【知识点】
一元二次方程的概念；整式方程的判定
【点评】
本题通过类比已学的一元一次方程特征推导新的方程概念，属于基础概念考查题，只要抓住未知数个数、未知数最高次数、方程类型三个核心要素即可轻松作答，是掌握一元二次方程概念的基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时可类比一元一次方程的3个特点推导：一元一次方程的“一个”指只含有1个未知数，“一次”指未知数的最高次数为1，“整式”指属于整式方程。对应一元二次方程的命名，“一元”对应第一个特点，即只含有一个未知数；“二次”对应第二个特点，即未知数的最高次数是2；和一元一次方程的属性一致，第三个特点仍为整式方程。最后将三个特点组合，即可得到一元二次方程的完整定义。
【解析】
对比一元一次方程的三个特征，对应推导一元二次方程的特点：
① “一元”说明方程只含有一个未知数；
② “二次”说明未知数的最高次数是2；
③ 与一元一次方程同属整式类方程，因此第三个特点是整式方程。
将上述三个特征整合，即可得到一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。
【答案】
① 只含有一个未知数
② 未知数的最高次数是2
③ 整式方程
一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。
【知识点】
一元二次方程的概念；整式方程的判定
【点评】
本题通过类比已学的一元一次方程特征推导新的方程概念，属于基础概念考查题，只要抓住未知数个数、未知数最高次数、方程类型三个核心要素即可轻松作答，是掌握一元二次方程概念的基础题型。
【难度系数】
0.9
3.结合教科书,我们把一元二次方程右边变为零、左边按未知数降幂排列的形式称为一元二次方程的一般形式,则一元二次方程的一般形式为
写出以下方程各部分的名称.
注意:各项系数一定要包括它前面的符号.
$ax^2+bx+c=0(a≠0)$
.写出以下方程各部分的名称.
注意:各项系数一定要包括它前面的符号.
答案
3. $ax^2+bx+c=0(a≠0)$
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程一般形式的定义：一元二次方程需整理为右边为0，左边按未知数降幂排列的形式，同时要保证二次项系数不为0，否则方程最高次低于2次，不属于一元二次方程。写完一般形式后，按项的次数区分各部分名称：含未知数二次方的项为二次项，对应的数字因数是二次项系数；含未知数一次方的项为一次项，对应的数字因数是一次项系数；不含未知数的项为常数项，注意所有系数都要包含项前面的符号。
【解析】
根据一元二次方程一般形式的定义，整理后满足右边为0、左边降幂排列、二次项系数不为0的一元二次方程形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$。
其中各部分名称如下：
1. $ax^2$叫做二次项，$a$是二次项系数；
2. $bx$叫做一次项，$b$是一次项系数；
3. $c$叫做常数项。
【答案】
$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数，$bx$是一次项，$b$是一次项系数，$c$是常数项
【知识点】
一元二次方程的一般形式，一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是基础概念考查题，重点要求学生掌握一元二次方程的一般形式，解题时需注意不要遗漏$a≠0$的限制条件，识别系数时要记得带上项前面的符号。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆一元二次方程一般形式的定义：一元二次方程需整理为右边为0，左边按未知数降幂排列的形式，同时要保证二次项系数不为0，否则方程最高次低于2次，不属于一元二次方程。写完一般形式后，按项的次数区分各部分名称：含未知数二次方的项为二次项，对应的数字因数是二次项系数；含未知数一次方的项为一次项，对应的数字因数是一次项系数；不含未知数的项为常数项，注意所有系数都要包含项前面的符号。
【解析】
根据一元二次方程一般形式的定义，整理后满足右边为0、左边降幂排列、二次项系数不为0的一元二次方程形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$。
其中各部分名称如下：
1. $ax^2$叫做二次项，$a$是二次项系数；
2. $bx$叫做一次项，$b$是一次项系数；
3. $c$叫做常数项。
【答案】
$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数，$bx$是一次项，$b$是一次项系数，$c$是常数项
【知识点】
一元二次方程的一般形式，一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是基础概念考查题，重点要求学生掌握一元二次方程的一般形式，解题时需注意不要遗漏$a≠0$的限制条件，识别系数时要记得带上项前面的符号。
【难度系数】
0.9
4. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项、一次项、常数项、二次项系数和一次项系数:
(1)$3x^2 + 2 = 7x$;
(2)$3x(x-1)=2(x+2)+8$.
(1)$3x^2 + 2 = 7x$;
(2)$3x(x-1)=2(x+2)+8$.
答案
(1) 一般形式：$3x^2-7x+2=0$，二次项为$3x^2$，一次项为$-7x$，常数项为2，二次项系数为3，一次项系数为-7。
(2) 一般形式：$3x^2-5x-12=0$，二次项为$3x^2$，一次项为$-5x$，常数项为-12，二次项系数为3，一次项系数为-5。
(2) 一般形式：$3x^2-5x-12=0$，二次项为$3x^2$，一次项为$-5x$，常数项为-12，二次项系数为3，一次项系数为-5。
解析
【分析】
要解决这类问题，首先要牢记一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数，$bx$是一次项，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题步骤为：①先通过去括号、移项，把所有项都移到等号左侧，将右侧化为0；②合并同类项得到标准的一般形式；③根据一般形式对应找出各部分即可，注意项和系数都要保留本身的正负符号。
【解析】
(1) 对原方程$3x^2 + 2 = 7x$移项，将右侧的$7x$移到左侧，移项需变号，整理得一般形式：$3x^2 - 7x + 2 = 0$。
对照一般形式可得：二次项为$3x^2$，二次项系数为3；一次项为$-7x$，一次项系数为-7；常数项为2。
(2) 先对原方程$3x(x-1)=2(x+2)+8$去括号：左侧展开得$3x^2 - 3x$，右侧展开合并得$2x + 12$。
再移项，将右侧所有项移到左侧，变号后合并同类项，得一般形式：$3x^2 - 5x - 12 = 0$。
对照一般形式可得：二次项为$3x^2$，二次项系数为3；一次项为$-5x$，一次项系数为-5；常数项为-12。
【答案】
(1) 一般形式：$3x^2-7x+2=0$，二次项为$3x^2$，一次项为$-7x$，常数项为2，二次项系数为3，一次项系数为-7。
(2) 一般形式：$3x^2-5x-12=0$，二次项为$3x^2$，一次项为$-5x$，常数项为-12，二次项系数为3，一次项系数为-5。
【知识点】
一元二次方程一般形式、整式运算、移项合并
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考查对一元二次方程一般形式的理解，解题时需注意移项要变号，确定各项及对应系数时要带上本身的符号，避免因符号遗漏出错。
【难度系数】
0.8
要解决这类问题，首先要牢记一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数，$bx$是一次项，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题步骤为：①先通过去括号、移项，把所有项都移到等号左侧，将右侧化为0；②合并同类项得到标准的一般形式；③根据一般形式对应找出各部分即可，注意项和系数都要保留本身的正负符号。
【解析】
(1) 对原方程$3x^2 + 2 = 7x$移项，将右侧的$7x$移到左侧，移项需变号，整理得一般形式：$3x^2 - 7x + 2 = 0$。
对照一般形式可得：二次项为$3x^2$，二次项系数为3；一次项为$-7x$，一次项系数为-7；常数项为2。
(2) 先对原方程$3x(x-1)=2(x+2)+8$去括号：左侧展开得$3x^2 - 3x$，右侧展开合并得$2x + 12$。
再移项，将右侧所有项移到左侧，变号后合并同类项，得一般形式：$3x^2 - 5x - 12 = 0$。
对照一般形式可得：二次项为$3x^2$，二次项系数为3；一次项为$-5x$，一次项系数为-5；常数项为-12。
【答案】
(1) 一般形式：$3x^2-7x+2=0$，二次项为$3x^2$，一次项为$-7x$，常数项为2，二次项系数为3，一次项系数为-7。
(2) 一般形式：$3x^2-5x-12=0$，二次项为$3x^2$，一次项为$-5x$，常数项为-12，二次项系数为3，一次项系数为-5。
【知识点】
一元二次方程一般形式、整式运算、移项合并
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考查对一元二次方程一般形式的理解，解题时需注意移项要变号，确定各项及对应系数时要带上本身的符号，避免因符号遗漏出错。
【难度系数】
0.8
例 将方程 $3x(x-1)=5(x+2)$ 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
答案
例 去括号得$3x^2-3x=5x+10$，移项、合并同类项得到一般形式：$3x^2-8x-10=0$，二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10。
解析
【分析】
解题首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数、$b$是一次项系数、$c$是常数项。解题思路如下：第一步先利用去括号法则去掉方程两边的括号，第二步将所有项移到方程左侧（移项要变号），第三步合并同类项，将方程整理为左侧按$x$降幂排列、右侧为0的标准形式，最后对应提取各项系数即可，注意系数要包含项前的符号。
【解析】
1. 去括号：根据去括号法则展开方程左右两边，得$3x^2-3x=5x+10$；
2. 移项：将右侧含$x$的项和常数项都移到左侧，得$3x^2-3x-5x-10=0$；
3. 合并同类项：合并一次项后得到一元二次方程的一般形式：$3x^2-8x-10=0$；
对照一般形式可得：二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10。
【答案】
一元二次方程的一般形式为$3x^2-8x-10=0$，二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10。
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 去括号法则
3. 合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考查对一元二次方程一般形式的理解，解题时要注意移项需变号，写各项系数时要保留项前的符号，避免因符号疏漏出错。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数、$b$是一次项系数、$c$是常数项。解题思路如下：第一步先利用去括号法则去掉方程两边的括号，第二步将所有项移到方程左侧（移项要变号），第三步合并同类项，将方程整理为左侧按$x$降幂排列、右侧为0的标准形式，最后对应提取各项系数即可，注意系数要包含项前的符号。
【解析】
1. 去括号：根据去括号法则展开方程左右两边，得$3x^2-3x=5x+10$；
2. 移项：将右侧含$x$的项和常数项都移到左侧，得$3x^2-3x-5x-10=0$；
3. 合并同类项：合并一次项后得到一元二次方程的一般形式：$3x^2-8x-10=0$；
对照一般形式可得：二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10。
【答案】
一元二次方程的一般形式为$3x^2-8x-10=0$，二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10。
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 去括号法则
3. 合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考查对一元二次方程一般形式的理解，解题时要注意移项需变号，写各项系数时要保留项前的符号，避免因符号疏漏出错。
【难度系数】
0.9
变式1 将下列一元二次方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) $5x^2 - 1 = 4x$；
(2) $4x^2 = 81$；
(3) $4x(x + 2) = 25$；
(4) $(3x - 2)(x + 1) = 8x - 3$。
(1) $5x^2 - 1 = 4x$；
(2) $4x^2 = 81$；
(3) $4x(x + 2) = 25$；
(4) $(3x - 2)(x + 1) = 8x - 3$。
答案
变式1 (1) 一般形式：$5x^2-4x-1=0$，二次项系数5，一次项系数-4，常数项-1。
(2) 一般形式：$4x^2-81=0$，二次项系数4，一次项系数0，常数项-81。
(3) 一般形式：$4x^2+8x-25=0$，二次项系数4，一次项系数8，常数项-25。
(4) 一般形式：$3x^2-7x+1=0$，二次项系数3，一次项系数-7，常数项1。
(2) 一般形式：$4x^2-81=0$，二次项系数4，一次项系数0，常数项-81。
(3) 一般形式：$4x^2+8x-25=0$，二次项系数4，一次项系数8，常数项-25。
(4) 一般形式：$3x^2-7x+1=0$，二次项系数3，一次项系数-7，常数项1。
解析
【分析】
要解这道题，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题思路分三步：①对每个方程，先通过去括号、移项、合并同类项等运算，将所有项移到等号左侧，使等号右侧为0；②将左侧多项式按$x$的降幂排列，得到一般形式；③根据一般形式对应找出各项系数，注意系数要包含前面的符号，若缺少某一项，则该项系数为0。
【解析】
(1) 对$5x^2 - 1 = 4x$，将$4x$移到等号左侧（移项要变号），整理得$5x^2-4x-1=0$，对应二次项系数为5，一次项系数为-4，常数项为-1。
(2) 对$4x^2 = 81$，将81移到等号左侧，整理得$4x^2-81=0$，该方程无一次项，因此一次项系数为0，对应二次项系数为4，常数项为-81。
(3) 对$4x(x + 2) = 25$，先去括号得$4x^2+8x=25$，再将25移到等号左侧，整理得$4x^2+8x-25=0$，对应二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为-25。
(4) 对$(3x - 2)(x + 1) = 8x - 3$，先展开左侧得$3x^2+x-2=8x-3$，再将右侧所有项移到左侧，合并同类项后整理得$3x^2-7x+1=0$，对应二次项系数为3，一次项系数为-7，常数项为1。
【答案】
(1) 一般形式：$5x^2-4x-1=0$，二次项系数5，一次项系数-4，常数项-1。
(2) 一般形式：$4x^2-81=0$，二次项系数4，一次项系数0，常数项-81。
(3) 一般形式：$4x^2+8x-25=0$，二次项系数4，一次项系数8，常数项-25。
(4) 一般形式：$3x^2-7x+1=0$，二次项系数3，一次项系数-7，常数项1。
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 整式乘法运算
3. 移项与合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考察一元二次方程一般形式的化简规则，解题时需注意等号右侧需化为0，各项系数要保留前面的符号，缺项的对应系数为0，熟练掌握整式运算规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题思路分三步：①对每个方程，先通过去括号、移项、合并同类项等运算，将所有项移到等号左侧，使等号右侧为0；②将左侧多项式按$x$的降幂排列，得到一般形式；③根据一般形式对应找出各项系数，注意系数要包含前面的符号，若缺少某一项，则该项系数为0。
【解析】
(1) 对$5x^2 - 1 = 4x$，将$4x$移到等号左侧（移项要变号），整理得$5x^2-4x-1=0$，对应二次项系数为5，一次项系数为-4，常数项为-1。
(2) 对$4x^2 = 81$，将81移到等号左侧，整理得$4x^2-81=0$，该方程无一次项，因此一次项系数为0，对应二次项系数为4，常数项为-81。
(3) 对$4x(x + 2) = 25$，先去括号得$4x^2+8x=25$，再将25移到等号左侧，整理得$4x^2+8x-25=0$，对应二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为-25。
(4) 对$(3x - 2)(x + 1) = 8x - 3$，先展开左侧得$3x^2+x-2=8x-3$，再将右侧所有项移到左侧，合并同类项后整理得$3x^2-7x+1=0$，对应二次项系数为3，一次项系数为-7，常数项为1。
【答案】
(1) 一般形式：$5x^2-4x-1=0$，二次项系数5，一次项系数-4，常数项-1。
(2) 一般形式：$4x^2-81=0$，二次项系数4，一次项系数0，常数项-81。
(3) 一般形式：$4x^2+8x-25=0$，二次项系数4，一次项系数8，常数项-25。
(4) 一般形式：$3x^2-7x+1=0$，二次项系数3，一次项系数-7，常数项1。
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 整式乘法运算
3. 移项与合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考察一元二次方程一般形式的化简规则，解题时需注意等号右侧需化为0，各项系数要保留前面的符号，缺项的对应系数为0，熟练掌握整式运算规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
变式2 若关于x的方程$(a-2)x^2 -2ax +a+2=0$是一元二次方程，则(
A.$a=2$
B.$a=-2$
C.$a=0$
D.$a≠2$
D
)A.$a=2$
B.$a=-2$
C.$a=0$
D.$a≠2$
答案
变式2 D
解析
【分析】
要解决本题，需紧扣一元二次方程的定义进行思考：一元二次方程的一般形式为$Ax^2+Bx+C=0$（$A、B、C$为常数，$A≠0$），核心要求是未知数的最高次数为2，且二次项系数不能为0。本题中方程的二次项系数为$(a-2)$，因此只需保证二次项系数不为0，即可求出$a$的取值范围，再对应选项判断即可。
【解析】
解：
∵关于$x$的方程$(a-2)x^2 -2ax +a+2=0$是一元二次方程
∴二次项系数不能为0，即$a-2≠0$
解得$a≠2$，对应选项为D
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的概念
【点评】
本题属于基础题，核心考察一元二次方程定义的隐含限制条件，解题时很容易忽略二次项系数不为0的要求，只要牢记这个要点就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
要解决本题，需紧扣一元二次方程的定义进行思考：一元二次方程的一般形式为$Ax^2+Bx+C=0$（$A、B、C$为常数，$A≠0$），核心要求是未知数的最高次数为2，且二次项系数不能为0。本题中方程的二次项系数为$(a-2)$，因此只需保证二次项系数不为0，即可求出$a$的取值范围，再对应选项判断即可。
【解析】
解：
∵关于$x$的方程$(a-2)x^2 -2ax +a+2=0$是一元二次方程
∴二次项系数不能为0，即$a-2≠0$
解得$a≠2$，对应选项为D
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的概念
【点评】
本题属于基础题，核心考察一元二次方程定义的隐含限制条件，解题时很容易忽略二次项系数不为0的要求，只要牢记这个要点就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
