1.如图 6-1-27,在直角三角形 ABC 中,∠C 为直角,两条直角边的长分别是 6cm,8cm,斜边长为 10cm,若分别以一边所在直线为轴旋转一周,试比较所得到的几何体的体积的大小.

1.解:以6cm长的边所在直线为轴,所得圆锥的体积为$V_1=\frac{1}{3}×π×8^2×6=128π(\mathrm{cm}^3)$;以8cm长的边所在直线为轴,所得圆锥的体积为$V_2=\frac{1}{3}×π×6^2×8=96π(\mathrm{cm}^3)$;以10cm长的边所在直线为轴,所得图形的体积为$V_3=\frac{1}{3}×π×4.8^2×10=76.8π(\mathrm{cm}^3)$,其中4.8cm是AB边上的高,可用三角形面积求得,所以以6cm长的边所在直线为轴旋转,所得几何体的体积最大;以10cm长的边即斜边所在直线为轴旋转,所得几何体的体积最小.
点拨:本题先判断出旋转后的几何体的形状,再根据圆锥的体积公式计算、比较体积的大小.

2.【推理问题】18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察如图6-1-28所示的几种简单多面体模型，解答下列问题：

(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：

你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是；
(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是；
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成的，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值.

2.解:(1)6 6 $V+F-E=2$
(2)20
(3)这个多面体的面数为$x+y$,棱数为$\frac{24×3}{2}=36$(条),根据$V+F-E=2$可得$24+(x+y)-36=2$,所以$x+y=14$.