8. 「2025 山东烟台牟平期中，」如图，$O$是直线$AB$上一点，$OE$平分$∠BOD$，$OF ⊥ OE$，$∠D = 100°$，李军同学添加了一个条件后，仍不能判定$AB // CD$，他添加的条件可能是()


A.$∠BOE = 50°$
B.$∠BOE + ∠AOF = 90°$
C.$∠AOF = 40°$
D.$180° - ∠BOD = 80°$

8. B A. 因为 OE 平分∠BOD，所以∠BOD = 2∠BOE = 100°，因为∠D = 100°，所以∠D = ∠BOD，所以 AB // CD；B. 由∠BOE + ∠AOF = 90°不能判定 AB // CD；C. 因为 OF ⊥ OE，所以∠EOF = 90°，所以∠AOF + ∠BOE = 90°，因为∠AOF = 40°，所以∠BOE = 50°，所以∠BOD = 2∠BOE = 100°，所以∠D = ∠BOD，所以 AB // CD；D. 因为 180° - ∠BOD = 80°，所以∠BOD = 100°，所以∠BOD = ∠D，所以 AB // CD。故选 B。

9. 「」在同一平面内，有直线$a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$，$···$，$a_n$，已知$a_1 ⊥ a_2$，$a_2 // a_3$，$a_3 ⊥ a_4$，$a_4 // a_5$，$······$，按此规律，若$a_1 // a_n$，则$n$的值可以是()

A.42
B.47
C.63
D.85

9. D
∵ a₁ ⊥ a₂，a₂ // a₃，a₃ ⊥ a₄，a₄ // a₅，……，
∴ a₁ ⊥ a₂，a₁ ⊥ a₃，a₁ // a₄，a₁ // a₅，……，
∴ 从直线 a₂ 开始每条直线与 a₁ 的位置关系依次为两条与 a₁ 垂直，两条与 a₁ 平行，再两条与 a₁ 垂直，两条与 a₁ 平行，……，即每两条变化一次位置关系，4 条一循环，
∴$ a₁ ⊥ a_{4m + 2}（m $为自然数），$a₁ ⊥ a_{4m + 3}$，$a₁ // a_{4m + 4}$，$a₁ // a_{4m + 5}$，
∵ 42 = 4×10 + 2，47 = 4×11 + 3，63 = 4×15 + 3，85 = 4×20 + 5，
∴ 若 a₁ // aₙ，则 n 的值可以是 85，故选 D。

10. 「2025 山西晋中榆次期中，」如图所示的为一根弯折的铁丝，$∠ABC = 50°$，工人师傅准备对该铁丝进一步加工，在$BC$上的点$D$处进行弯折，欲使弯折后$CD // AB$，那么弯折后$∠BDC$的度数为.

10. 答案 50°或 130°解析 分两种情况：①如图，
　　　　　　　　
若∠BDC = ∠ABC = 50°，则 AB // CD；②如图，
　　　　　　　　
若∠BDC + ∠ABC = 180°，则 AB // CD，此时∠BDC = 130°。易错警示 本题容易漏掉∠BDC = 130°的情况。

11. 「2025 河南郑州期中改编，」如图，$△ ABC$是直角三角形，$∠ACB = 90°$，$CD ⊥ AB$于点$D$，$AF$是$△ ABC$中$∠BAC$的平分线，$∠CEF = ∠CGD$. 请说明$DG // AF$的理由.

11. 解析
∵ AF 是∠BAC 的平分线，
∴∠CAF = ∠BAF，
∵∠ACB = 90°，CD ⊥ AB，
∴∠CAF + ∠AFC = 90°，∠BAF + ∠AED = 90°，
∴∠AED = ∠CFA，
∵∠AED = ∠CEF，∠CEF = ∠CGD，
∴∠CFA = ∠CGD，
∴ DG // AF。

12. 「2025 河北石家庄九中期中」如图，将一副三角尺中的两个直角顶点$C$叠放在一起，其中$∠A = 30°$，$∠B = 60°$，$∠D = ∠E = 45°$.
【观察猜想】
(1) $∠BCD$与$∠ACE$的数量关系是，$∠BCE$与$∠ACD$的数量关系是.
【类比探究】
(2) 若保持三角尺$ABC$不动，将三角尺$CDE$绕直角顶点$C$顺时针转动，试探究当$∠ACD$的度数为多少时，$CE // AB$，简要说明理由.
【拓展应用】
(3) 若$∠BCE = 3∠ACD$，求$∠ACD$的度数，并直接写出此时$DE$与$AC$之间的位置关系.

12. 解析 （1）
∵∠BCD + ∠ACD = 90°，∠ACE + ∠ACD = 90°，
∴∠BCD = ∠ACE。
∵∠BCE = ∠ACB + ∠ACE = 90° + ∠ACE，
∴∠BCE + ∠ACD = 90° + ∠ACE + ∠ACD = 90° + 90° = 180°。故答案为∠BCD = ∠ACE；∠BCE + ∠ACD = 180°。（2）当∠ACD 等于 60°或 120°时，CE // AB。理由如下：分两种情况：①当∠ACE = ∠A = 30°时，CE // AB，此时∠ACD = ∠DCE - ∠ACE = 90° - 30° = 60°。②如图所示，
　　　　　　
当∠BCE = ∠B = 60°时，CE // AB，此时∠ACD = 360° - ∠ACB - ∠BCE - ∠DCE = 360° - 90° - 60° - 90° = 120°。综上所述，当∠ACD 等于 60°或 120°时，CE // AB。（3）设∠ACD = α，则∠BCE = 3α。易知无论三角尺 CDE 怎样放置，都有∠BCE + ∠ACD = 180°，
∴ 3α + α = 180°，
∴ α = 45°，即∠ACD = 45°，此时 DE ⊥ AC 或 DE // AC。