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6. [2026长春汽开区第九中学月考]如图，△ABC三边上的中线AD，BE，CF相交于点G，若△ABC的面积为24，则图中阴影部分的面积是 (
A.6
B.8
C.10
D.12
B
)A.6
B.8
C.10
D.12
答案
$\because BE$ 是 $△ ABC$ 的中线, $\therefore AE = EC, \therefore S_{△ GEC}=\frac{1}{2}S_{△ GAC}. \because$ 点 $G$ 是 $△ ABC$ 的重心, $\therefore AG=\frac{2}{3}AD, \therefore S_{△ GAC}=\frac{2}{3}S_{△ ADC}. \because AD$ 是 $△ ABC$ 的中线, $\therefore BD = CD, \therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}, \therefore S_{△ GEC}=\frac{1}{6}S_{△ ABC}.$ 同理, 可得 $S_{△ GFB}=\frac{1}{6}S_{△ ABC}, \therefore$ 题图中阴影部分的面积为 $2 × \frac{1}{6}S_{△ ABC}=\frac{1}{3} × 24=8.$
解析
【分析】
解决这道题可从三角形中线和重心的性质入手推导：①三角形的中线可将三角形分为等底同高、面积相等的两个小三角形；②三角形三条中线的交点是重心，重心将每条中线分为长度比为2:1的两段（顶点到重心的距离:重心到对边中点的距离=2:1）。我们可以先推导其中一块阴影部分的面积占△ABC总面积的比例，再根据对称性得到另一块阴影的面积占比，最终结合总面积求出阴影部分的总面积。
【解析】
∵ BE 是 △ABC 的中线，
∴ AE = EC，△GEC与△GAE等底同高，
∴ $ S_{△ GEC}=\frac{1}{2}S_{△ GAC} $。
∵ 点 G 是 △ABC 的重心，
∴ $ AG=\frac{2}{3}AD $，△GAC与△ADC同高，底的比为2:3，
∴ $ S_{△ GAC}=\frac{2}{3}S_{△ ADC} $。
∵ AD 是 △ABC 的中线，
∴ BD = CD，△ADC与△ABC同高，底的比为1:2，
∴ $ S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC} $。
联立以上关系可得：$ S_{△ GEC}=\frac{1}{2} × \frac{2}{3} × \frac{1}{2} S_{△ ABC}=\frac{1}{6}S_{△ ABC} $。
同理可证 $ S_{△ GFB}=\frac{1}{6}S_{△ ABC} $。
∴ 阴影部分的面积为 $ 2 × \frac{1}{6}S_{△ ABC}=\frac{1}{3} × 24=8 $。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的性质，三角形重心的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形面积计算的常考题型，解题核心是熟练掌握三角形中线、重心的相关性质，通过逐步推导小三角形与大三角形的面积占比即可得到结果，能够有效考查学生对几何性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
解决这道题可从三角形中线和重心的性质入手推导：①三角形的中线可将三角形分为等底同高、面积相等的两个小三角形；②三角形三条中线的交点是重心，重心将每条中线分为长度比为2:1的两段（顶点到重心的距离:重心到对边中点的距离=2:1）。我们可以先推导其中一块阴影部分的面积占△ABC总面积的比例，再根据对称性得到另一块阴影的面积占比，最终结合总面积求出阴影部分的总面积。
【解析】
∵ BE 是 △ABC 的中线，
∴ AE = EC，△GEC与△GAE等底同高，
∴ $ S_{△ GEC}=\frac{1}{2}S_{△ GAC} $。
∵ 点 G 是 △ABC 的重心，
∴ $ AG=\frac{2}{3}AD $，△GAC与△ADC同高，底的比为2:3，
∴ $ S_{△ GAC}=\frac{2}{3}S_{△ ADC} $。
∵ AD 是 △ABC 的中线，
∴ BD = CD，△ADC与△ABC同高，底的比为1:2，
∴ $ S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC} $。
联立以上关系可得：$ S_{△ GEC}=\frac{1}{2} × \frac{2}{3} × \frac{1}{2} S_{△ ABC}=\frac{1}{6}S_{△ ABC} $。
同理可证 $ S_{△ GFB}=\frac{1}{6}S_{△ ABC} $。
∴ 阴影部分的面积为 $ 2 × \frac{1}{6}S_{△ ABC}=\frac{1}{3} × 24=8 $。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的性质，三角形重心的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形面积计算的常考题型，解题核心是熟练掌握三角形中线、重心的相关性质，通过逐步推导小三角形与大三角形的面积占比即可得到结果，能够有效考查学生对几何性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
7. 教材例题变式 [2025 上海浦东新区期中] 如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$于点$D$,给出下列等积式:
①$AD^2 = BD · CD$; ②$AB · CD = AC · AD$;
③$AC^2 = BC · CD$; ④$AB^2 = AC · BD$. 其中能证明$∠ BAC = 90°$的有 ()
A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ②③④
8. 教材练习变式 [2025 绵阳中考] 如图,小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量.他准备了一根竹竿,将竹竿垂直固定于离大树10 m远的C处,然后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由C点后退2 m至A点时,看大树顶部F视线恰好经过竹竿的顶端D,测得小明的眼睛距地面的高度AB为1.6 m,竹竿CD长3 m,则大树的高度EF为m.
9. [2026 长春南关区期中] 如图,在某小区内拐角处的一段道路上,有一个儿童在C处玩耍,一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来.已知$CM ⊥ DM$于点$M$,$MO$与$AB$的延长线交
①$AD^2 = BD · CD$; ②$AB · CD = AC · AD$;
③$AC^2 = BC · CD$; ④$AB^2 = AC · BD$. 其中能证明$∠ BAC = 90°$的有 ()
A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ②③④
8. 教材练习变式 [2025 绵阳中考] 如图,小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量.他准备了一根竹竿,将竹竿垂直固定于离大树10 m远的C处,然后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由C点后退2 m至A点时,看大树顶部F视线恰好经过竹竿的顶端D,测得小明的眼睛距地面的高度AB为1.6 m,竹竿CD长3 m,则大树的高度EF为m.
9. [2026 长春南关区期中] 如图,在某小区内拐角处的一段道路上,有一个儿童在C处玩耍,一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来.已知$CM ⊥ DM$于点$M$,$MO$与$AB$的延长线交
答案
$\because AD ⊥ BC, \therefore ∠ ADC = ∠ ADB = 90°. \because AD^2 = BD · CD, \therefore \frac{AD}{BD}=\frac{CD}{AD}, \therefore △ ADC ∽ △ BDA, \therefore ∠ DAC = ∠ ABD,$
$\therefore ∠ DAC + ∠ BAD = ∠ ABD + ∠ BAD = 90°$, 即 $∠ BAC = 90°$,
$\therefore$ ①符合题意. $\because AB · CD = AC · AD, \therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{CD}.$ 由 $∠ ADB = ∠ ADC = 90°$, 易得 $△ ABD ∽ △ CAD, \therefore ∠ ABD = ∠ CAD,$
$\therefore ∠ BAD + ∠ CAD = ∠ BAD + ∠ ABD = 90°, \therefore ∠ BAC = 90°,$
$\therefore$ ②符合题意. $\because AC^2 = BC · CD, \therefore \frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}. \because ∠ ACD = ∠ BCA, \therefore △ ACD ∽ △ BCA, \therefore ∠ ADC = ∠ BAC = 90°, \therefore$ ③符合题意. 由 $AB^2 = AC · BD$ 不能证明 $∠ BAC = 90°, \therefore$ ④不符合题意.
$\therefore ∠ DAC + ∠ BAD = ∠ ABD + ∠ BAD = 90°$, 即 $∠ BAC = 90°$,
$\therefore$ ①符合题意. $\because AB · CD = AC · AD, \therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{CD}.$ 由 $∠ ADB = ∠ ADC = 90°$, 易得 $△ ABD ∽ △ CAD, \therefore ∠ ABD = ∠ CAD,$
$\therefore ∠ BAD + ∠ CAD = ∠ BAD + ∠ ABD = 90°, \therefore ∠ BAC = 90°,$
$\therefore$ ②符合题意. $\because AC^2 = BC · CD, \therefore \frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}. \because ∠ ACD = ∠ BCA, \therefore △ ACD ∽ △ BCA, \therefore ∠ ADC = ∠ BAC = 90°, \therefore$ ③符合题意. 由 $AB^2 = AC · BD$ 不能证明 $∠ BAC = 90°, \therefore$ ④不符合题意.
解析
【分析】
要判断给出的等积式能否证明∠BAC=90°，解题思路为：首先由AD⊥BC可得∠ADB=∠ADC=90°，将每个等积式转化为比例式，结合公共角或直角判断对应的三角形是否相似，再利用相似三角形对应角相等，推导角之间的关系，验证是否能得到∠BAC=90°，逐个验证4个等积式即可。
【解析】
已知AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
1. 验证①：
∵$AD^2 = BD · CD$，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{CD}{AD}$，又∠ADB=∠CDA=90°，
∴$△ ADC ∽ △ BDA$，
∴∠DAC=∠ABD。
∵在Rt△ABD中，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠DAC+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，故①符合题意。
2. 验证②：
∵$AB · CD = AC · AD$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{CD}$，又∠ADB=∠ADC=90°，
∴$△ ABD ∽ △ CAD$，
∴∠ABD=∠CAD。
∵在Rt△ABD中，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠CAD+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，故②符合题意。
3. 验证③：
∵$AC^2 = BC · CD$，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}$，又∠ACD=∠BCA（公共角），
∴$△ ACD ∽ △ BCA$，
∴∠ADC=∠BAC。
∵∠ADC=90°，
∴∠BAC=90°，故③符合题意。
4. 验证④：由$AB^2 = AC · BD$转化得到的比例式无法结合已知条件证明对应三角形相似，不能推出∠BAC=90°，故④不符合题意。
综上，能证明∠BAC=90°的是①②③。
【答案】C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题核心是将等积式转化为比例式，结合已知的垂直条件或公共角判定三角形相似，再通过相似三角形的角的关系推导结论，能有效考查对相似相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要判断给出的等积式能否证明∠BAC=90°，解题思路为：首先由AD⊥BC可得∠ADB=∠ADC=90°，将每个等积式转化为比例式，结合公共角或直角判断对应的三角形是否相似，再利用相似三角形对应角相等，推导角之间的关系，验证是否能得到∠BAC=90°，逐个验证4个等积式即可。
【解析】
已知AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
1. 验证①：
∵$AD^2 = BD · CD$，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{CD}{AD}$，又∠ADB=∠CDA=90°，
∴$△ ADC ∽ △ BDA$，
∴∠DAC=∠ABD。
∵在Rt△ABD中，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠DAC+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，故①符合题意。
2. 验证②：
∵$AB · CD = AC · AD$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{CD}$，又∠ADB=∠ADC=90°，
∴$△ ABD ∽ △ CAD$，
∴∠ABD=∠CAD。
∵在Rt△ABD中，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠CAD+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，故②符合题意。
3. 验证③：
∵$AC^2 = BC · CD$，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}$，又∠ACD=∠BCA（公共角），
∴$△ ACD ∽ △ BCA$，
∴∠ADC=∠BAC。
∵∠ADC=90°，
∴∠BAC=90°，故③符合题意。
4. 验证④：由$AB^2 = AC · BD$转化得到的比例式无法结合已知条件证明对应三角形相似，不能推出∠BAC=90°，故④不符合题意。
综上，能证明∠BAC=90°的是①②③。
【答案】C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题核心是将等积式转化为比例式，结合已知的垂直条件或公共角判定三角形相似，再通过相似三角形的角的关系推导结论，能有效考查对相似相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图,王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部,当他向前再步行12 m到达Q点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部.已知王华同学的身高是1.6 m,两个路灯的高度都是9.6 m.
(1)求两个路灯之间的距离;
(2)当王华同学走到路灯BD处时,他在路灯AC下的影子长是多少?
(1)求两个路灯之间的距离;
(2)当王华同学走到路灯BD处时,他在路灯AC下的影子长是多少?
答案
解:(1)易知 $AP = BQ$, 设 $AP = BQ = x\ \mathrm{m}.$
$\because MP // BD, \therefore △ APM ∽ △ ABD, \therefore \frac{MP}{BD}=\frac{AP}{AB},$
$\therefore \frac{1.6}{9.6}=\frac{x}{2x + 12}$, 解得 $x = 3$, 经检验, $x = 3$ 是原分式方程的根,
$\therefore AB = 2x + 12 = 2 × 3 + 12 = 18(\mathrm{m}).$
答:两个路灯之间的距离为 $18\ \mathrm{m}.$
(2)设王华同学走到路灯 $BD$ 处时头的顶部为点 $E$, 连接 $CE$ 并延长交 $AB$ 的延长线于点 $F$,
则 $BF$ 的长为此时他在路灯 $AC$ 下的影子长, 设 $BF = y\ \mathrm{m}.$
$\because BE // AC, \therefore △ FEB ∽ △ FCA,$
$\therefore \frac{BE}{AC}=\frac{BF}{AF}$, 即 $\frac{1.6}{9.6}=\frac{y}{y + 18}$, 解得 $y = 3.6$, 经检验, $y = 3.6$ 是原分式方程的根.
答:当王华同学走到路灯 $BD$ 处时, 他在路灯 $AC$ 下的影子长是 $3.6\ \mathrm{m}.$
$\because MP // BD, \therefore △ APM ∽ △ ABD, \therefore \frac{MP}{BD}=\frac{AP}{AB},$
$\therefore \frac{1.6}{9.6}=\frac{x}{2x + 12}$, 解得 $x = 3$, 经检验, $x = 3$ 是原分式方程的根,
$\therefore AB = 2x + 12 = 2 × 3 + 12 = 18(\mathrm{m}).$
答:两个路灯之间的距离为 $18\ \mathrm{m}.$
(2)设王华同学走到路灯 $BD$ 处时头的顶部为点 $E$, 连接 $CE$ 并延长交 $AB$ 的延长线于点 $F$,
则 $BF$ 的长为此时他在路灯 $AC$ 下的影子长, 设 $BF = y\ \mathrm{m}.$
$\because BE // AC, \therefore △ FEB ∽ △ FCA,$
$\therefore \frac{BE}{AC}=\frac{BF}{AF}$, 即 $\frac{1.6}{9.6}=\frac{y}{y + 18}$, 解得 $y = 3.6$, 经检验, $y = 3.6$ 是原分式方程的根.
答:当王华同学走到路灯 $BD$ 处时, 他在路灯 $AC$ 下的影子长是 $3.6\ \mathrm{m}.$
解析
【分析】
(1) 首先观察图形特征：路灯、人的身高均垂直于地面，因此人的身高和路灯高度互相平行，可得到相似三角形。由于两个路灯高度相同、人的身高固定，可得$AP=BQ$，设$AP=BQ=x\ \mathrm{m}$，则两路灯间距$AB$可表示为$(2x+12)\ \mathrm{m}$，利用相似三角形对应边成比例列方程求解$x$，即可得到$AB$的长度。
(2) 当人走到路灯$BD$处时，人的身高仍与路灯$AC$平行，可构造新的相似三角形，设此时影子长为$y\ \mathrm{m}$，再次利用相似三角形对应边成比例列方程求解即可。
【解析】
(1) 由对称性可知$AP = BQ$，设 $AP = BQ = x\ \mathrm{m}$。
$\because MP ⊥ AB$，$BD ⊥ AB$，$\therefore MP // BD$，
$\therefore ∠ AMP = ∠ ADB$，$∠ APM = ∠ ABD = 90°$，
$\therefore △ APM ∽ △ ABD$，
$\therefore \frac{MP}{BD}=\frac{AP}{AB}$，代入数据得$\frac{1.6}{9.6}=\frac{x}{2x + 12}$，
解得 $x = 3$，经检验，$x = 3$ 是原分式方程的根，
$\therefore AB = 2x + 12 = 2 × 3 + 12 = 18(\mathrm{m})$。
(2) 设王华同学走到路灯 $BD$ 处时头的顶部为点 $E$，连接 $CE$ 并延长交 $AB$ 的延长线于点 $F$，则 $BF$ 的长为此时他在路灯 $AC$ 下的影子长，设 $BF = y\ \mathrm{m}$。
$\because BE ⊥ AB$，$AC ⊥ AB$，$\therefore BE // AC$，
$\therefore ∠ FEB = ∠ FCA$，$∠ FBE = ∠ FAC = 90°$，
$\therefore △ FEB ∽ △ FCA$，
$\therefore \frac{BE}{AC}=\frac{BF}{AF}$，即 $\frac{1.6}{9.6}=\frac{y}{y + 18}$，
解得 $y = 3.6$，经检验，$y = 3.6$ 是原分式方程的根。
【答案】
(1) 两个路灯之间的距离为$\boldsymbol{18\ \mathrm{m}}$；
(2) 当王华同学走到路灯$BD$处时，他在路灯$AC$下的影子长是$\boldsymbol{3.6\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的应用
【点评】
本题是相似三角形在投影问题中的实际应用，解题关键是从实际场景中抽象出相似三角形模型，利用“垂直于同一直线的两条线段平行”证明三角形相似，再结合方程思想求解未知量，考查了数学建模能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 首先观察图形特征：路灯、人的身高均垂直于地面，因此人的身高和路灯高度互相平行，可得到相似三角形。由于两个路灯高度相同、人的身高固定，可得$AP=BQ$，设$AP=BQ=x\ \mathrm{m}$，则两路灯间距$AB$可表示为$(2x+12)\ \mathrm{m}$，利用相似三角形对应边成比例列方程求解$x$，即可得到$AB$的长度。
(2) 当人走到路灯$BD$处时，人的身高仍与路灯$AC$平行，可构造新的相似三角形，设此时影子长为$y\ \mathrm{m}$，再次利用相似三角形对应边成比例列方程求解即可。
【解析】
(1) 由对称性可知$AP = BQ$，设 $AP = BQ = x\ \mathrm{m}$。
$\because MP ⊥ AB$，$BD ⊥ AB$，$\therefore MP // BD$，
$\therefore ∠ AMP = ∠ ADB$，$∠ APM = ∠ ABD = 90°$，
$\therefore △ APM ∽ △ ABD$，
$\therefore \frac{MP}{BD}=\frac{AP}{AB}$，代入数据得$\frac{1.6}{9.6}=\frac{x}{2x + 12}$，
解得 $x = 3$，经检验，$x = 3$ 是原分式方程的根，
$\therefore AB = 2x + 12 = 2 × 3 + 12 = 18(\mathrm{m})$。
(2) 设王华同学走到路灯 $BD$ 处时头的顶部为点 $E$，连接 $CE$ 并延长交 $AB$ 的延长线于点 $F$，则 $BF$ 的长为此时他在路灯 $AC$ 下的影子长，设 $BF = y\ \mathrm{m}$。
$\because BE ⊥ AB$，$AC ⊥ AB$，$\therefore BE // AC$，
$\therefore ∠ FEB = ∠ FCA$，$∠ FBE = ∠ FAC = 90°$，
$\therefore △ FEB ∽ △ FCA$，
$\therefore \frac{BE}{AC}=\frac{BF}{AF}$，即 $\frac{1.6}{9.6}=\frac{y}{y + 18}$，
解得 $y = 3.6$，经检验，$y = 3.6$ 是原分式方程的根。
【答案】
(1) 两个路灯之间的距离为$\boldsymbol{18\ \mathrm{m}}$；
(2) 当王华同学走到路灯$BD$处时，他在路灯$AC$下的影子长是$\boldsymbol{3.6\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的应用
【点评】
本题是相似三角形在投影问题中的实际应用，解题关键是从实际场景中抽象出相似三角形模型，利用“垂直于同一直线的两条线段平行”证明三角形相似，再结合方程思想求解未知量，考查了数学建模能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
8. 教材练习变式 [2025绵阳中考] 如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量. 他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10 m远的C处，然后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由C点后退2 m至A点时，看大树顶部F视线恰好经过竹竿的顶端D，测得小明的眼睛距地面的高度AB为1.6 m，竹竿CD长3 m，则大树的高度EF为
10
m.答案
如图,过点 $B$ 作 $BH ⊥ EF$ 于点 $H$, 交 $CD$ 于点 $G$(构造相似三角形), 易得四边形 $ABGC, ABHE, CGHE$ 为矩形. $\because$ 竹竿和树都垂直于地面, $\therefore CD // EF, △ BDG ∽ △ BFH, \therefore \frac{DG}{FH}=\frac{BG}{BH}. \because AC = BG = 2\ \mathrm{m}, CE = GH = 10\ \mathrm{m}, \therefore BH = BG + GH = 2 + 10 = 12(\mathrm{m}). \because AB = CG = EH = 1.6\ \mathrm{m}, CD = 3\ \mathrm{m}, \therefore DG = CD - CG = 3 - 1.6 = 1.4(\mathrm{m}), \therefore \frac{1.4}{FH}=\frac{2}{12}, \therefore FH = 8.4\ \mathrm{m}$, 经检验, $FH = 8.4$ 是原分式方程的解且符合实际, $\therefore EF = FH + EH = 8.4 + 1.6 = 10(\mathrm{m}).$
解析
【分析】
这是利用相似三角形测量物体高度的实际应用题，解题思路如下：首先过点B作水平线BH垂直EF，交CD于点G，构造出相似三角形与矩形；再利用矩形对边相等的性质，得到相似三角形对应边的长度；接着根据CD和EF平行证明△BDG与△BFH相似，依据相似三角形对应边成比例列方程求出FH的长度；最后将FH与EH（等于AB的长度）相加，即可得到大树EF的高度。
【解析】
解：过点 $B$ 作 $BH ⊥ EF$ 于点 $H$，交 $CD$ 于点 $G$。
∵ $AB⊥AE$，$CD⊥AE$，$EF⊥AE$，
∴ 四边形 $ABGC$、$ABHE$、$CGHE$ 都是矩形，
∴ $AB=CG=EH=1.6\ \mathrm{m}$，$AC=BG=2\ \mathrm{m}$，$CE=GH=10\ \mathrm{m}$，
∴ $BH=BG+GH=2+10=12\ \mathrm{m}$。
∵ $CD=3\ \mathrm{m}$，
∴ $DG=CD-CG=3-1.6=1.4\ \mathrm{m}$。
∵ $CD// EF$，
∴ $△ BDG ∽ △ BFH$，
∴ $\frac{DG}{FH}=\frac{BG}{BH}$，代入数据得 $\frac{1.4}{FH}=\frac{2}{12}$，
解得 $FH=8.4\ \mathrm{m}$，经检验该解符合实际意义。
∴ $EF=FH+EH=8.4+1.6=10\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boxed{10}$
【知识点】
相似三角形的应用，矩形的性质，比例计算
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的典型应用，解题的关键是合理作辅助线构造相似三角形，将实际问题转化为几何中的线段比例问题求解，解题时要注意对应边不要混淆。
【难度系数】
0.7
这是利用相似三角形测量物体高度的实际应用题，解题思路如下：首先过点B作水平线BH垂直EF，交CD于点G，构造出相似三角形与矩形；再利用矩形对边相等的性质，得到相似三角形对应边的长度；接着根据CD和EF平行证明△BDG与△BFH相似，依据相似三角形对应边成比例列方程求出FH的长度；最后将FH与EH（等于AB的长度）相加，即可得到大树EF的高度。
【解析】
解：过点 $B$ 作 $BH ⊥ EF$ 于点 $H$，交 $CD$ 于点 $G$。
∵ $AB⊥AE$，$CD⊥AE$，$EF⊥AE$，
∴ 四边形 $ABGC$、$ABHE$、$CGHE$ 都是矩形，
∴ $AB=CG=EH=1.6\ \mathrm{m}$，$AC=BG=2\ \mathrm{m}$，$CE=GH=10\ \mathrm{m}$，
∴ $BH=BG+GH=2+10=12\ \mathrm{m}$。
∵ $CD=3\ \mathrm{m}$，
∴ $DG=CD-CG=3-1.6=1.4\ \mathrm{m}$。
∵ $CD// EF$，
∴ $△ BDG ∽ △ BFH$，
∴ $\frac{DG}{FH}=\frac{BG}{BH}$，代入数据得 $\frac{1.4}{FH}=\frac{2}{12}$，
解得 $FH=8.4\ \mathrm{m}$，经检验该解符合实际意义。
∴ $EF=FH+EH=8.4+1.6=10\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boxed{10}$
【知识点】
相似三角形的应用，矩形的性质，比例计算
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的典型应用，解题的关键是合理作辅助线构造相似三角形，将实际问题转化为几何中的线段比例问题求解，解题时要注意对应边不要混淆。
【难度系数】
0.7
9. [2026长春南关区期中]如图,在某小区内拐角处的一段道路上,有一个儿童在C处玩耍,一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来.已知$CM ⊥ DM$于点M,$MO$与$AB$的延长线交于点$D$,点$C,O,B$在一条直线上,$OM = 4\ \mathrm{m}$,$CO = 5\ \mathrm{m}$,$OD = 3\ \mathrm{m}$,$AO = \sqrt{73}\ \mathrm{m}$,则汽车从A处前行
$\frac{23}{4}$
$\mathrm{m}$才能发现C处的儿童.答案
根据题意可得 $AB = AD - BD$. 在 $\mathrm{Rt} △ AOD$ 中, $AO = \sqrt{73}\ \mathrm{m}, OD = 3\ \mathrm{m}$, 由勾股定理可得 $AD = \sqrt{OA^2 - OD^2} = \sqrt{(\sqrt{73})^2 - 3^2} = 8(\mathrm{m}). \because ∠ CMO = ∠ BDO, ∠ COM = ∠ BOD,$
$\therefore △ COM ∽ △ BOD, \therefore \frac{CM}{BD}=\frac{OM}{OD}.$ 在 $\mathrm{Rt} △ OMC$ 中, $OM = 4\ \mathrm{m}, OC = 5\ \mathrm{m}, \therefore CM = \sqrt{OC^2 - OM^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3(\mathrm{m}), \therefore \frac{3}{BD}=\frac{4}{3}, \therefore BD = \frac{9}{4}\ \mathrm{m}.$ 经检验, $BD = \frac{9}{4}$ 是原分式方程的解且符合实际, $\therefore AB = AD - BD = 8 - \frac{9}{4} = \frac{23}{4}(\mathrm{m}), \therefore$ 汽车从 $A$ 处前行 $\frac{23}{4}\ \mathrm{m}$ 才能发现 $C$ 处的儿童.
$\therefore △ COM ∽ △ BOD, \therefore \frac{CM}{BD}=\frac{OM}{OD}.$ 在 $\mathrm{Rt} △ OMC$ 中, $OM = 4\ \mathrm{m}, OC = 5\ \mathrm{m}, \therefore CM = \sqrt{OC^2 - OM^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3(\mathrm{m}), \therefore \frac{3}{BD}=\frac{4}{3}, \therefore BD = \frac{9}{4}\ \mathrm{m}.$ 经检验, $BD = \frac{9}{4}$ 是原分式方程的解且符合实际, $\therefore AB = AD - BD = 8 - \frac{9}{4} = \frac{23}{4}(\mathrm{m}), \therefore$ 汽车从 $A$ 处前行 $\frac{23}{4}\ \mathrm{m}$ 才能发现 $C$ 处的儿童.
解析
【分析】
要解决本题，首先明确汽车能发现儿童的临界位置是视线经过点O时，此时汽车到达B点，因此所求的前行距离为AB的长度，即AB=AD-BD。解题思路分为三步：第一步，先在Rt△AOD中用勾股定理求出AD的长度；第二步，先在Rt△OMC中用勾股定理求出CM的长度，再证明△COM与△BOD相似，利用相似三角形对应边成比例求出BD的长度；最后用AD减去BD即可得到AB的长度。
【解析】
解：由题意得，汽车行驶到B点时可看到C处儿童，所求前行距离为AB的长，AB=AD-BD。
1. 在$\mathrm{Rt} △ AOD$中，$∠ ADO=90°$，$AO = \sqrt{73}\ \mathrm{m}$，$OD = 3\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AD = \sqrt{OA^2 - OD^2} = \sqrt{(\sqrt{73})^2 - 3^2} = \sqrt{64} = 8(\mathrm{m})$。
2. $\because CM ⊥ DM$，$\therefore ∠ CMO = ∠ BDO = 90°$，
又$\because ∠ COM = ∠ BOD$（对顶角相等），
$\therefore △ COM ∽ △ BOD$，$\therefore \frac{CM}{BD}=\frac{OM}{OD}$。
在$\mathrm{Rt} △ OMC$中，$OM = 4\ \mathrm{m}$，$OC = 5\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$CM = \sqrt{OC^2 - OM^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3(\mathrm{m})$。
将$CM=3\ \mathrm{m}$，$OM=4\ \mathrm{m}$，$OD=3\ \mathrm{m}$代入比例式得：$\frac{3}{BD}=\frac{4}{3}$，
解得$BD = \frac{9}{4}\ \mathrm{m}$，经检验，$BD = \frac{9}{4}$是原方程的解且符合实际意义。
3. 计算AB：$AB = AD - BD = 8 - \frac{9}{4} = \frac{23}{4}(\mathrm{m})$。
【答案】
$\frac{23}{4}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题的核心是将实际问题转化为几何模型，找准对应的直角三角形和相似三角形，利用相关性质计算线段长度，侧重考查学生的模型转换能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确汽车能发现儿童的临界位置是视线经过点O时，此时汽车到达B点，因此所求的前行距离为AB的长度，即AB=AD-BD。解题思路分为三步：第一步，先在Rt△AOD中用勾股定理求出AD的长度；第二步，先在Rt△OMC中用勾股定理求出CM的长度，再证明△COM与△BOD相似，利用相似三角形对应边成比例求出BD的长度；最后用AD减去BD即可得到AB的长度。
【解析】
解：由题意得，汽车行驶到B点时可看到C处儿童，所求前行距离为AB的长，AB=AD-BD。
1. 在$\mathrm{Rt} △ AOD$中，$∠ ADO=90°$，$AO = \sqrt{73}\ \mathrm{m}$，$OD = 3\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AD = \sqrt{OA^2 - OD^2} = \sqrt{(\sqrt{73})^2 - 3^2} = \sqrt{64} = 8(\mathrm{m})$。
2. $\because CM ⊥ DM$，$\therefore ∠ CMO = ∠ BDO = 90°$，
又$\because ∠ COM = ∠ BOD$（对顶角相等），
$\therefore △ COM ∽ △ BOD$，$\therefore \frac{CM}{BD}=\frac{OM}{OD}$。
在$\mathrm{Rt} △ OMC$中，$OM = 4\ \mathrm{m}$，$OC = 5\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$CM = \sqrt{OC^2 - OM^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3(\mathrm{m})$。
将$CM=3\ \mathrm{m}$，$OM=4\ \mathrm{m}$，$OD=3\ \mathrm{m}$代入比例式得：$\frac{3}{BD}=\frac{4}{3}$，
解得$BD = \frac{9}{4}\ \mathrm{m}$，经检验，$BD = \frac{9}{4}$是原方程的解且符合实际意义。
3. 计算AB：$AB = AD - BD = 8 - \frac{9}{4} = \frac{23}{4}(\mathrm{m})$。
【答案】
$\frac{23}{4}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题的核心是将实际问题转化为几何模型，找准对应的直角三角形和相似三角形，利用相关性质计算线段长度，侧重考查学生的模型转换能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
