1. 两个点同时运动 [2026无锡宜兴外国语学校月考] 如图，在平面直角坐标系中，点P从点A(0,6)开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动，同时点Q从点B(8,0)开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P,Q运动的时间为t秒。
(1)当t为何值时，$AP=AQ$？并说明理由。
(2)当t为何值时，$△ APQ$与$△ AOB$相似？并说明理由。

(1)当$t = \frac{10}{3}$时,$AP = AQ$. 理由如下：
根据题意可得$AP = t,BQ = 2t,AQ = AB - BQ$.
已知$A(0,6),B(8,0),\therefore OA = 6,OB = 8$.
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,$OA = 6,OB = 8$,
由勾股定理可得$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$.
$\because BQ = 2t,\therefore AQ = 10 - 2t,\therefore t = 10 - 2t$,解得$t = \frac{10}{3}$,
$\therefore$ 当$t = \frac{10}{3}$时,$AP = AQ$.
(2)当$t = \frac{50}{13}$或$\frac{30}{11}$时,$△ APQ$与$△ AOB$相似. 理由如下：
①当$∠ AQP = ∠ AOB$时,
$\because ∠ A = ∠ A,\therefore △ AQP ∽ △ AOB$,
$\therefore \frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AO},\therefore \frac{t}{10} = \frac{10 - 2t}{6}$,解得$t = \frac{50}{13}$.
②当$∠ APQ = ∠ AOB$时,
$\because ∠ A = ∠ A,\therefore △ APQ ∽ △ AOB$,
$\therefore \frac{AP}{AO} = \frac{AQ}{AB},\therefore \frac{t}{6} = \frac{10 - 2t}{10}$,解得$t = \frac{30}{11}$.
综上,当$t = \frac{50}{13}$或$\frac{30}{11}$时,$△ APQ$与$△ AOB$相似.

【分析】
(1) 首先根据A、B两点坐标得到OA、OB的长度，用勾股定理算出AB的长；再根据两点的运动速度和时间t，分别表示出AP、BQ的长度，进而得到AQ=AB-BQ，最后根据AP=AQ列一元一次方程求解即可。
(2) △APQ和△AOB有公共角∠A，要使两三角形相似需分两种情况讨论：①∠AQP=∠AOB，此时△AQP∽△AOB；②∠APQ=∠AOB，此时△APQ∽△AOB。分别根据相似三角形对应边成比例列方程，解出t后验证是否在合理运动时间范围内即可。
【解析】
(1) 当$t = \frac{10}{3}$时，$AP = AQ$，理由如下：
由题意得，点P的运动路程$AP = t$，点Q的运动路程$BQ = 2t$，因此$AQ = AB - BQ$。
已知$A(0,6)$，$B(8,0)$，故$OA = 6$，$OB = 8$。
在$\mathrm{Rt}△AOB$中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$，
因此$AQ = 10 - 2t$，令$AP = AQ$得：
$t = 10 - 2t$，解得$t = \frac{10}{3}$，符合运动时间范围。
(2) 当$t = \frac{50}{13}$或$\frac{30}{11}$时，$△APQ$与$△AOB$相似，理由如下：
∵$∠PAQ = ∠OAB$（公共角），分两种情况讨论：
① 当$∠AQP = ∠AOB = 90°$时，$△AQP ∽ △AOB$，
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AO}$，
代入得：$\frac{t}{10} = \frac{10 - 2t}{6}$，解得$t = \frac{50}{13}$，符合运动范围。
② 当$∠APQ = ∠AOB = 90°$时，$△APQ ∽ △AOB$，
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{AP}{AO} = \frac{AQ}{AB}$，
代入得：$\frac{t}{6} = \frac{10 - 2t}{10}$，解得$t = \frac{30}{11}$，符合运动范围。
综上，满足条件的t值为$\frac{50}{13}$或$\frac{30}{11}$。
【答案】
(1) $t=\frac{10}{3}$
(2) $t=\frac{50}{13}$或$t=\frac{30}{11}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形判定，动点问题
【点评】
本题是动点与相似三角形结合的典型题型，既考查了勾股定理、相似三角形的性质与判定，也考查了分类讨论的数学思想，解题时要注意相似三角形对应角的不同情况，避免漏解，同时要验证结果是否符合实际运动的取值范围。
【难度系数】
0.6

2. 一个点运动 [2026 衡阳衡山期中] 如图, 在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ C=90°$, 点 D 在 AC 上, 点 F 在 BC 上, $AC=BC=4\ \mathrm{cm}, AD=3\ \mathrm{cm}$, 点 E 从点 A 出发沿线段 AB 向终点 B 运动, $∠ DEF=45°$.
(1) 找出图中的一对相似三角形,并证明;
(2) 当 $△ BEF$ 为等腰三角形时,求 AE 的长.

(1)$△ ADE ∽ △ BEF$. 证明如下：

$\because CA = CB,∠ C = 90°,\therefore ∠ A = ∠ B = 45°$.
$\because ∠ DEB = ∠ DEF + ∠ BEF = ∠ A + ∠ ADE,∠ A = ∠ DEF = 45°,\therefore ∠ ADE = ∠ BEF,\therefore △ ADE ∽ △ BEF$.
(2)①如图2,当$EF = BF$时,
$\because △ ADE ∽ △ BEF,\therefore DE = AE,\therefore ∠ A = ∠ ADE = 45°$,
$\therefore ∠ AED = 90°,\therefore AE = DE = \frac{AD}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ cm.
②如图3,当$EF = BE$时,
$\because △ ADE ∽ △ BEF,\therefore DE = AD,\therefore ∠ A = ∠ AED = 45°$,
$\therefore ∠ ADE = 90°,\therefore AE = \sqrt{2}AD = 3\sqrt{2}$ cm.
③如图4,当$BF = BE$时,
$\because △ ADE ∽ △ BEF,\therefore AE = AD = 3$ cm.

综上,当$△ BEF$为等腰三角形时,$AE$的长为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$ cm或$3\sqrt{2}$ cm或3 cm.

【分析】
(1) 首先根据等腰直角三角形的性质可得$∠ A=∠ B=45°$，再结合三角形外角性质，$∠ DEB$既是$△ ADE$的外角，也可拆分为$∠ DEF+∠ BEF$，结合已知$∠ DEF=45°=∠ A$，可推导出两组对应角相等，即可证明三角形相似。
(2) 等腰三角形需分三种情况讨论腰的组合：①$EF=BF$；②$EF=BE$；③$BF=BE$，结合第一问得到的相似三角形的对应关系，将$△ BEF$的等腰性质转化为$△ ADE$的边角关系，结合等腰直角三角形的边长计算规则，分别求解$AE$的长度即可，注意分类时不要遗漏情况。
【解析】
(1) 相似三角形为$\boldsymbol{△ ADE ∽ △ BEF}$，证明如下：
$\because CA = CB,∠ C = 90°$，$\therefore ∠ A = ∠ B = 45°$。
$\because ∠ DEB$是$△ ADE$的外角，$\therefore ∠ DEB = ∠ A + ∠ ADE$，
又$\because ∠ DEB = ∠ DEF + ∠ BEF$，且$∠ A = ∠ DEF = 45°$，
$\therefore ∠ ADE = ∠ BEF$，
又$\because ∠A=∠B=45°$，$\therefore △ ADE ∽ △ BEF$。
(2) 设$AE=x\ \mathrm{cm}$，已知$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，则$BE=(4\sqrt{2}-x)\ \mathrm{cm}$，分三种情况讨论：
① 当$EF = BF$时：
$\because △ ADE ∽ △ BEF$，$△ BEF$中$EF=BF$，可得对应$△ ADE$中$DE = AE$，
$\therefore ∠ A = ∠ ADE = 45°$，$\therefore ∠ AED = 90°$，$△ ADE$为等腰直角三角形，
$\therefore AE = \frac{AD}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{cm}$。
② 当$EF = BE$时：
$\because △ ADE ∽ △ BEF$，$△ BEF$中$EF=BE$，可得对应$△ ADE$中$DE = AD$，
$\therefore ∠ A = ∠ AED = 45°$，$\therefore ∠ ADE = 90°$，$△ ADE$为等腰直角三角形，
$\therefore AE = \sqrt{2}AD = 3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
③ 当$BF = BE$时：
$\because △ ADE ∽ △ BEF$，$△ BEF$中$BF=BE$，可得对应$△ ADE$中$AE = AD$，
$\therefore AE=3\ \mathrm{cm}$。
综上，当$△ BEF$为等腰三角形时，$AE$的长为$\frac{3\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{cm}$或$3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$或$3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)$△ ADE ∽ △ BEF$. 证明如下：

$\because CA = CB,∠ C = 90°,\therefore ∠ A = ∠ B = 45°$.
$\because ∠ DEB = ∠ DEF + ∠ BEF = ∠ A + ∠ ADE,∠ A = ∠ DEF = 45°,\therefore ∠ ADE = ∠ BEF,\therefore △ ADE ∽ △ BEF$.
(2)①如图2,当$EF = BF$时,
$\because △ ADE ∽ △ BEF,\therefore DE = AE,\therefore ∠ A = ∠ ADE = 45°$,
$\therefore ∠ AED = 90°,\therefore AE = DE = \frac{AD}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ cm.
②如图3,当$EF = BE$时,
$\because △ ADE ∽ △ BEF,\therefore DE = AD,\therefore ∠ A = ∠ AED = 45°$,
$\therefore ∠ ADE = 90°,\therefore AE = \sqrt{2}AD = 3\sqrt{2}$ cm.
③如图4,当$BF = BE$时,
$\because △ ADE ∽ △ BEF,\therefore AE = AD = 3$ cm.

综上,当$△ BEF$为等腰三角形时,$AE$的长为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$ cm或$3\sqrt{2}$ cm或3 cm.
【知识点】
相似三角形的判定；等腰三角形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于动态几何的典型题型，解题的关键是先通过角度推导证明相似三角形，再对等腰三角形的三种情况分类讨论，结合相似的性质转化边角关系求解，解题时要注意避免漏解。
【难度系数】
0.6